5 一元二次方程的根与系数的关系 教学课件 初中数学北师大版九年级上册

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第二章 一元二次方程
*5 一元二次方程的根与系数的关系
*5 一元二次方程的根与系数
的关系
情 境 导 入
回忆旧知
1. 一元二次方程的一般形式？
ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )
2.一元二次方程有实数根的条件是什么？
△ = b2-4ac ≥ 0
3. 当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？
△ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
△ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
△ < 0 时，方程没有实数根.
回忆旧知
4. 一元二次方程的求根公式是什么？
通过前面的学习我们发现：
除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢
求根公式就是根与系数关系的一种形式.
一元二次方程的根完全由它的系数确定.
根与系数的关系
看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？
（1）x2-2x+1=0 （2）x2 - x-1=0 （3） 2x2-3x +1=0
方程 x1 x2 x1+x2 x1x2
x2-2x+1=0
x2 - x-1=0
2x2-3x +1=0
1
1
2
1
-1
1
每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？
对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？与同伴交流。
新 课 探 究
*5 一元二次方程的根与系数
的关系
【注意】能用这个结论的前提为b2－4ac≥0
一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）当b2-4ac ≥ 0 时有两个根：
x1+x2 =
x1x2 =
根与系数的关系
x1+x2 =
x1x2 =
根与系数的关系
例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1）x2 +7x +6 = 0 ; （2）2x2 - 3x =2 .
解： （1）这里 a = 1，b = 7，c = 6.
△ =b2-4ac = 72-4×1×6 = 49-24 = 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2=-7， x1x2 = 6.
根与系数的关系
例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
解： （2）方程化成一般式：2x2 - 3x -2 = 0
这里 a = 2，b = -3，c = -2.
△ =b2-4ac = (-3)2-4×2×(-2) = 9+16 = 25 > 0
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，
那么.
x1+x2= ， x1x2 = -1.
（1）x2 +7x +6 = 0 ; （2）2x2 - 3x =2 .
根与系数的关系
例2：
A
例3：
4
1
=14
=12
根与系数的关系
根与系数的关系
另外几种常见的求值:
根与系数的关系
例4.已知方程 x2- x-7=0的一个根是3，求它的另一个根.
解：x1x2 = -7.
x1 = 3.
x2 = .
根与系数的关系
例5.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=1.
所以 x1 + x2=1+x2=6，
即x2=5 .
由x1·x2=1×5=
得m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
巩固练习
1.若 , 是一元二次方程的两个实数根，则：
____， _____， _____.
____,
_ ___＝_ _____.
2
-6
-1
3


巩固练习
2.若是方程的两个根，则的值是( @9@ )
A. B. C. D.
B
3.若方程的两根分别为 ， 则 ____， ______.
6
-15
巩固练习
4.已知关于的方程 的一个根为1，求的值及方
程的另一个根.
_____，
-3
解得
____， _____.
故 的值为____，
方程的另一个根为_____.
2
-3
2
-3
解：设方程的两根分别为1和 ，
则
拓展延伸
5.设 ， 是方程 的两个不相等的实数根.
（1） _____, __________；
-1

（2） 求代数式 的值.
拓展延伸
5.设 ， 是方程 的两个不相等的实数根.
解: 是方程 的实数根，
2025 .
.
由（1）得 ，
2024 .
（2） 求代数式 的值.
课 堂 小 结
1、这节课你都学会了什么？
2、将你的所学形成网络框架.
*5 一元二次方程的根与系数
的关系
应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系的应用
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