5 相似三角形判定定理的证明 教学课件 初中数学北师大版九年级上册

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第四章 图形的相似
*5 相似三角形判定定理的证明
情 境 导 入
探究相似三角形
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似.
② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
③ 三边对应成比例,两三角形相似.
你能对它们进行证明吗？
*5 相似三角形判定定理的证明
证明相似三角形的判定定理
在△ABC和△A'B'C'中，
如果∠A＝∠A'，∠B＝ ∠B'，
那么△ABC∽△A'B'C'.
A
B
C
A'
C'
B'
①定理:两角分别相等的两个三角形相似.
新 课 探 究
*5 相似三角形判定定理的证明
已知：如图，在△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠ADE＝∠B，
∠AED＝∠C，
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
证明相似三角形的判定定理
已知：如图，在△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
证明 ：
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
证明相似三角形的判定定理
过点D作AC的平行线，交BC于点F，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形.
∴DE＝CF.
F
已知：如图，在△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
证明 ：
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
证明相似三角形的判定定理
F
∵∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C,
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A＝∠A′，∠ADE＝∠B＝∠B′，AD＝A′B′,
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'.
证明相似三角形的判定定理
在△ABC和△A'B'C'中，
那么△ABC∽△A'B'C'
A
B
C
A'
C'
B'
② 定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A′，
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠ADE＝∠B，
∠AED＝∠C，
（两角分别相等的两个三角形相似.）
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
证明相似三角形的判定定理
已知：如图，在△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，
∴△ABC∽△ADE
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
证明 ：
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
证明相似三角形的判定定理
已知：如图，在△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，
而∠A＝∠A′，
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
证明相似三角形的判定定理
在△ABC和△A'B'C'中，
那么△ABC∽△A'B'C'
A
B
C
A'
C'
B'
③ 定理:三边成比例的两个三角形相似．
∵
探究相似三角形
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
AE＝A′C′
,连接DE.
已知：如图，在△ABC和△ A′B′C′中，
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
探究相似三角形
证明 ：
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
而∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
巩固练习
1. 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各
组条件判定这两个三角形是否相似.
(1) ∠A=35°，∠B′=55°： ；
(2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ；
(3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： .
相似
相似
相似
巩固练习
2.如图，下列条件中不能判定 的是( @9@ )
A. B.
C.
B
D.
巩固练习
3 .如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
①
②
③
④
①③
巩固练习
4. 如图，在矩形 中， ， 分别是 ， 上的点，若
，则一定有( @11@ )
A. B.
C. D.
C
拓展延伸
5. 如图,在 中, , ,动点 从点 开始沿 边运动,速度为 ；动点 从点 开始沿 边运动,速度为 .如果 , 两动点同时运动,那么何时 与 相似？
拓展延伸
解：设经过 s 时, 与 相似,
则 , , .
.
当 时, ,
即 ,解得 ；
当 时, ,
即 ,解得 ；
答：经过2 s 或0.8 s 时, 与 相似.
课 堂 小 结
1、这节课你都学会了什么？
2、将你的所学形成网络框架.
相似三角形判定定理的证明
定理的运用
定理的证明
两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似．
*5 相似三角形判定定理的证明
THANK YOU