第21章一元二次方程达标测试卷（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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第21章一元二次方程达标测试卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（ ）
3.1 3.2 3.3 3.4
0.5
A． B． C． D．
3．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B．
C． D．．
4．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
5．若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（ ）
A． B．1 C． D．
6．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题∶“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（ ）
A．3步 B．6步 C．9步 D．12步
8．2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”．其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图所示，所求竿长为（ ）
A．10尺 B．12尺
C．2尺或10尺 D．12尺或10尺
10．已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点：
甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为，
乙同学：若方程有公共解，则公共解为，，
正确的结论为（　　）
A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误
B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确
C．甲、乙同学的观点均正确
D．甲、乙同学的观点均错误
二、填空题
11．把方程化成的形式，则的值是 ．
12．关于的方程有一根，则该方程的两根积与两根和相乘的结果是 ．
13．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14．若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为 ．
15．已知等腰的一边，而另外两边的边长恰好是关于的一元二次方程的两实数根，则这个三角形的周长为 ．
16．某县政府2022年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2024年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2022年到2024年投资此项目资金的年增长率相同，设年增长率为，可列方程为 ．
三、解答题
17．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)
18．关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根是正数，求的取值范围．
19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根．
20．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用．
例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题：
(1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少．
(2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积．
21．已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元．经市场调查发现，甲种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为，乙种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表：
每件售价z （单位：元） … 20 25 30
销量y （单位：件） … 100 80 60
其中x、z均为非负整数．商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价．
(1)直接写出乙种玩具每天的销量y 与每件售价z的关系式是 ；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是 （用x表示z） ；
(2)当甲种玩具的总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？
22．阅读与思考
配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________；
(2)用配方法因式分解：；
(3)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值．
《第21章一元二次方程达标测试卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A C D A B B A C
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，未知项的最高次数是的整式方程是一元二次方程，解决本题的关键是根据一元二次方程的定义进行判断．
【详解】解：A选项：方程中只含有一个未知数，未知项的最高次数是，是整式方程，所以方程是一元二次方程，故A选项符合题意；
B选项：方程中含有二个未知数，未知项的最高次数是，所以方程不是一元二次方程，故选项B不符合题意；
C选项：方程中的未知数在分母的位置，是分式方程，不是一元二次方程，故C选项不符合题意；
D选项：方程整理后得到：，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程，故D选项不符合题意．
故选：A．
2．D
【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果．
【详解】解：由表格可知：当时，，当时，，
∴当时，必然存在一个，使，
∴（，，，为常数）一个解的范围是；
故选D．
3．A
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解决此题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴ ，即，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，解题时应注意把当成一个整体，利用了整体的思想．
将代入原方程求出，然后整体代入代数式求解即可．
【详解】解：将代入方程，
得，即，
∴，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次根式化简，解题的关键在于正确掌握相关知识．
根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，建立不等式推出的取值范围，再结合完全平方公式变形，以及二次根式性质，绝对值性质化简求解，即可解题．
【详解】解：关于的方程有两个实数根，
，
两根之和不小于，
，
解得，
综上，
， ，
，
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键．先化为一般形式，再根据判别式，求出的范围，进而即可得到答案．
【详解】解：，即
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
的值可能是：8．
故选：A.
7．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设矩形田地的长为x步，则宽为步，根据矩形田地的面积为891平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合长不小于宽，即可确定x的值，再将其代入中即可求出结论．
【详解】解：设矩形田地的长为x步，则宽为步，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，符合题意，此时；
当时，，不符合题意，舍去．
∴长比宽多6步．
故选B．
8．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、根据等量关系列出方程是解题的关键．
设平均每天的票房增长率为x，然后根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设平均每天的票房增长率为x，
根据题意，得．
故选B．
9．A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设竿长为尺，则为尺，为尺，利用勾股定理，可得出关于的一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设竿长为尺，则为尺，为尺，
根据题意得：．
解得：（舍去）或
故选：A．
10．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的解的定义可知是的解，则有，因为，方程两边同时乘以，可得：，所以方程一定有一个解为，所以可知甲同学的观点正确；如果方程有公共解，则有，可得解为：或，即这两个方程的公共解是或中的一个．
【详解】解：是的解，
方程两边同时乘以，
可得：，
方程一定有一个解为，
故甲同学的观点正确；
方程有公共解，
，
整理得：，
方程的公共解为：或，
故乙同学的观点正确．
故选：C．
11．
【分析】本题考查配方法，将方程通过配方法转化为完全平方形式是解题的关键．将方程通过配方法转化为完全平方形式，确定和值后再相加即可．
【详解】，
，
，即，
则，，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则，，
先根据求出方程的另一个根，再代入求解即可．
【详解】.
解：∵关于x的方程有一根，设另一个根为．
∴，
解得：，
∴方程的两根积与两根和相乘的结果，
故答案为：．
13．或/或
【分析】本题考查了根的判别式，利用判别式的意义得到，然后解关于m的不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
解得或．
故答案为：或．
14．25
【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程—直接开平方法是解题的关键．利用解一元二次方程—直接开平方法，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
，
，
，
故答案为：25．
15．14或16/16或14
【分析】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．先解一元二次方程可得，再根据等腰三角形的定义可得或，然后分两种情况，结合三角形的三边关系求解即可得．
【详解】解：，
，
，
或，
，
∵是等腰三角形，
∴或，
∴或，
①当等腰的三边长分别为时，满足三角形的三边关系，
则此时这个三角形的周长为；
②当等腰的三边长分别为时，满足三角形的三边关系，
则此时这个三角形的周长为；
综上，这个三角形的周长为14或16，
故答案为：14或16．
16．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意得到2024年投资保障性房建设的资金2022年投资保障性房建设的资金，即可求解．
【详解】解：由题得：，
故答案为：．
17．(1)，
(2)．
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法以及公式法是解题的关键．
（1）利用因式分解解方程，即可得到答案；
（2）先把方程进行整理，然后利用公式法解方程，即可得到答案．
【详解】（1）解：
或
，．
（2）解：
，
，
，
．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的知识是解题的关键．
（1）利用根的判别式进行求解即可；
（2）利用公式法解方程得到，，再根据方程的一个根为正数进行求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得：
方程总有两个实数根；
（2）解：
，
方程有一个根是正数，
．
19．(1)
(2)，
【分析】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
（1）根据方程有两个不相等实数根，可知，然后即可求得的取值范围；
（2）将代入题目中的方程，可以求得的值，然后即可求出方程的根，从而可以得到方程的另一个根．
【详解】（1）解： 方程有两个不相等实数根，
，
解得；
（2）解：是方程的一个根，
，
解得，
方程为，
解得，，
方程的另一个根是．
20．(1)当时，代数式有最小值，最小值为
(2)当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是．
【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式．
（1）将代数式配方成，再根据非负数的性质可得答案；
（2）设，则，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后配方即可求得结果，注意求出的边长要符合题意．
【详解】（1）解：∵，
∵，
∴．
当时，代数式有最小值，最小值为．
（2）解：设，则，
∴，
解得．
∴．
∵，
∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是．
21．(1)；；
(2)乙种玩具的总利润是800元
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键．
（1）设每天的销量与每件售价z的函数关系式为，利用待定系数法即可求解；分别表示出甲、乙两种玩具每件的利润，再根据每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍，即可得到关系式；
（2）先根据甲种玩具的总利润列一元二次方程，求出甲种玩具每件的售价，进而求出乙种玩具每件的售价，即可得出乙种玩具的总利润．
【详解】（1）解：设每天的销量与每件售价z的函数关系式为，
则，解得：，
即每天的销量与每件售价z的关系式是；
甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元．
甲、乙两种玩具每件的利润分别为元和元，
每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍，
，
，
故答案为：；；
（2）解：甲种玩具的总利润为800元，
则，
解得：，即甲种玩具每件的售价为元，
，即乙种玩具每件的售价为元，
乙种玩具的总利润是元，
22．(1)4
(2)
(3)当时，多项式有最大值，最大值为20
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键．
（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可；
（2）将35化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；
（3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：4；
（2）解：
；
（3）解：
，
，
，
，
当时，多项式有最大值，最大值为20．
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