第22章二次函数能力提升卷（含答案）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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第22章二次函数能力提升卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．1
2．二次函数的图象顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … m 2 3 2 …
其中m的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．将函数的图象平移后得到函数的图象，平移方式正确的是（ ）
A．向右平移3个单位，再向上平移2个单位
B．向右平移3个单位，再向下平移2个单位
C．向左平移3个单位，再向上平移2个单位
D．向左平移3个单位，再向下平移2个单位
5．已知二次函数，其图象的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
6．如图，四边形为矩形，，，点从点出发沿以的速度向终点匀速运动，同时，点从点出发沿以的速度向终点匀速运动，设点运动的时间为，的面积为，下列选项中能表示与之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知关于的二次函数的图象经过点，，，其中为常数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若点都在二次函数图象上，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）1米，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是（　　）
A．6米 B．5米 C．4米 D．1米
10．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：
①；②方程必有一个根大于2且小于3；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围为 ．
12．当和时，二次函数的函数值相等，当时，函数的值为 ．
13．二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个正根为 ．
14．已知抛物线经过两点，则t的值为 ．
15．如图，与交于、两点，则的解集为 ．
16．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是 ．
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点，且抛物线经过．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)若对于，，都有，求的取值范围．
18．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点．
(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标；
(2)的面积；
(3)点在抛物线上，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标．
19．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出400个，调查表明：该台灯的售价不超过50元（售价为整数），台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x元．
(1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出 个台灯（用含x的代数式表示）；
(2)为了实现平均每月5250元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？
(3)台灯售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？
20．如图，在中，，，，点、分别是、的中点，连接．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，过点作的垂线交于点，以为直角边向下方作，使，且．设点的运动时间为（秒）．
(1)填空：________，________（用含的代数式表示）；
(2)当点落在线段上时，求的值；
(3)当与重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积为平方单位，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
21．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标．
22．根据以下素材，探索完成任务：
任务 如何设计隧道的限高方案
素材1 如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，经测量，其高度为8米，宽度为16米，图②是其示意图．
素材2 此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙不少于0.5米．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．
(1)确定隧道形状：在备用图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
(2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材2的要求安全通过，求该隧道限高多少米？
(3)尝试隧道设计：在隧道中心线两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6米，求两排灯的水平距离最小值．
《第22章二次函数能力提升卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D C B B A B C
1．C
【分析】此题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图像与性质和用配方法将二次函数的解析式化为顶点式求最值是解决问题的关键．
通过配方法，将二次函数解析式的一般式化成顶点式，然后求函数的最小值即可．
【详解】解：
，
抛物线开口向上，二次函数有最小值，
当时，二次函数的最小值是．
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
根据二次函数，其顶点坐标为，即可获得答案．
【详解】解：对于二次函数，
其顶点坐标是．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查二次函数的对称性，找到表格中函数值相等的两个自变量的值，求出对称轴，再根据对称性求出的值即可．
【详解】解：由表格可知，和的函数值相等，均为，
∴二次函数的对称轴为，
∴和的函数值相同，
∴；
故选：D．
4．D
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移；根据“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由题意得：平移方式正确的是向左平移3个单位，再向下平移2个单位；
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了学生对于二次函数顶点式的应用，通过顶点式可得到对称轴．
【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线，
故选C．
6．B
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的应用，矩形的性质，熟练掌握相关知识点，求出每一段对应的函数解析式是解题的关键．分类讨论，利用三角形面积公式求出每一阶段对应的函数解析式，结合对应的函数图像及性质分析即可．
【详解】解：当时，如图，
此时，
∴，
∴当时，图像为二次函数的部分图像，开口向上，且当时，；
当时，如图，
此时，
∴当时，图像为一次函数图像一部分，且当时，；
当时，如图，
此时，
则，
∴，
∴当时，图像为开口向下的二次函数的图像一部分，且时，．
综合分析，只有B符合题意．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查二次函数的顶点式以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式以及性质是解答本题的关键．
根据二次函数经过，得对称轴为，从而可得的值，再将代入化简得，从而求出的值，即可得解．
【详解】解：将代入得：
，
，
二次函数经过，，
抛物线对称轴为，
，
，
，
，
故答案为：B．
8．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由，可得．
【详解】解：∵，，
∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，
∵，
∴．
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．用待定系数法求出二次函数解析式，再令，算出x的值，即可解答．
【详解】解：由图可知抛物线的顶点为，
设水流形成的抛物线为，
将点代入可得
∴抛物线为
当时，，
解得（舍去）或，
∴水流喷射的最远水平距离是5米，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据二次函数的图象与性质进行判断即可．
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标，且对称轴是直线，
∴与x轴的另一个交点的横坐标，
∴方程必有一个根大于2且小于3，故②正确；
当时，，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵对称轴是直线，抛物线开口向下，
∴当时，函数取得最大值，为，
殷伟对于任意实数m，都有，
∴，
∴，
即，故④错误；
故选：C
11．
【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，先分情况讨论确定是一次函数还是二次函数，再求解即可．
【详解】解：当即时，是一次函数，与轴有交点；
当即时，是二次函数，
∵的图象与轴有交点，
∴一元二次方程有实数根，
∴，
解得，
此时且，
综上所述，，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上纵坐标相同的两个点关于对称轴对称．
根据当和时，二次函数的函数值相等，得出以m、n为横坐标的点关于直线对称，得出，求出，然后将，代入函数解析式，得出即可．
【详解】解：∵当和时，二次函数的函数值相等，
∴以m、n为横坐标的点关于直线对称，则 ，
∴，
∵，
∴，函数．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由抛物线和轴交点和对称轴知，，解得：，即抛物线和轴的另外一个交点为：，即可求解．
【详解】解：由抛物线和轴交点和对称轴知，，
解得：，
即抛物线和轴的另外一个交点为：，
则关于x的一元二次方程的一个正根为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求出对称轴和函数解析式是解题的关键．
先根据对称点求出对称轴为直线，继而求出b，再将代入函数解析式即可．
【详解】解∵抛物线经过两点，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
所以解析式为：，
当，则，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，利用函数图象交点解不等式是解题的关键．由图象判断出两个交点、横坐标分别是0和5，结合图象即可求出不等式的解集．
【详解】解：由图象可得，点的横坐标为0，点的横坐标为5，
结合图象可得，的解集为．
故答案为：．
16．①②④
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解．
【详解】解：∵点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴，，
∴，，
代入
得 ，
∴，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
∴，
∴，
∴，
∴④正确，符合题意，
∵，
∴，，
当时，，
∵，
∴，
∴，即，③错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②④．
故答案为：①②④．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线经过，得到且，求抛物线的对称轴即可．
（2）根据，，都有，分和，解答即可．
【详解】（1）解：根据抛物线经过，
得到且，
故即，
故抛物线的对称轴为：直线．
（2）解：根据题意，得，，
∴
解得，
∴，
∵，是抛物线上两点，且对称轴为直线，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
当，且时，，即，
根据抛物线的性质，与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵，
∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∴中点在对称轴的右侧，
则即，
解得，无解；
当，且时，，即，
根据抛物线的性质，与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵，
∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∴中点在对称轴的左侧，
则即，
解得；
当，且时，，即，
则即，无解；
当，且时，，即，
则，无解，
综上所述，符合题意的范围是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性和增减性，解一元一次不等式组，熟练掌握性质是解题的关键．
18．(1)；；
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图象性质，割补法求三角形面积，等腰三角形的判定等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键．
（1）把，代入运算求解即可；
（2）利用割补法运算求解即可；
（3）根据等腰三角形的性质推出，列方程运算求解即可．
【详解】（1）解：把，代入可得：
，
解得：，
∴，
∵，
∴顶点坐标；
（2）解：过点作，交轴于点，，垂足为如图所示：
∵，
∴，
把代入可得：，
解得：或，
∴，
∴，
∴，，，，，，
∴；
（3）解：令且满足，，，
∵是以底的等腰三角形，
∴，即，
化简得：，
由，
解得：或，
∴点的坐标为或．
19．(1)
(2)这种台灯的售价应定为元
(3)台灯售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是6000元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列代数式，正确理解题意列出代数式，方程和函数关系式是解题的关键．
（1）根据台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个列式求解即可；
（2）根据题意可得每个台灯的利润为元，再根据总利润等于每个台灯的利润乘以销售量列出方程求解即可；
（3）设月销售利润为W元，根据总利润等于每个台灯的利润乘以销售量列出W关于x的二次函数关系式，再求出x的取值范围，即可利用二次函数的性质求出答案．
【详解】（1）解：由题意得，售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个台灯；
（2）解：由题意得，，
整理得：，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
∴，
答：这种台灯的售价应定为元；
（3）解：设月销售利润为W元，
由题意得，
，
∵该台灯的售价不超过50元（售价为整数），
∴，
解得，且x为非负整数，
∵，
∴当时，W随x增大而增大，
∴当时，W最大，最大值为，
∴此时，
答：台灯售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是6000元．
20．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可；
（2）利用矩形的性质求解即可；
（3）分类讨论的取值情况，利用面积公式列式即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
由题意可得：，，
∴，
∴，即，
，
故答案为：；；
（2）解：如图①，当点落在线段上时，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图②，当时，重叠部分是四边形，
；
如图③，当时，重叠部分是四边形，
．
【点睛】本题为动点与几何综合，涉及到了相似三角形的判定即性质，矩形的性质，二次函数，一次函数等知识点，合理分析图象作出图形是解题的关键．
21．(1)
(2)存在满足条件的点，其坐标为或
(3)点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为
【分析】（1）由的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可设出点坐标，则可表示出、和的长，分、两种情况分别得到关于点坐标的方程，可求得点坐标；
（3）由、的坐标可求得直线的解析式，可设出M点坐标，则可表示出N点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点M的坐标．
【详解】（1）解：在抛物线上，
，解得，
抛物线解析式为；
（2），
抛物线对称轴为直线，
当时，，
，且，
，
点在对称轴上，
可设，
，，
当时，，
解得，此时点坐标为；
当时，
解得（与重合，舍去）或，此时点坐标为；
综上可知：存在满足条件的点，其坐标为或；
（3）当时，即，解得或，
，，
设直线解析式为，
由题意可得，解得，
直线解析式为，
点M是线段上的一个动点，
可设，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为4，
此时，
，即M为的中点，
点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用点的坐标表示出和是解题的关键，在（3）中用M点坐标表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
22．(1)见解析，
(2)该隧道限高3米
(3)8米
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用问题及二次函数的性质，建立直角坐标系，求出函数解析式，利用二次函数的性质进行求解是解题的关键．
（1）首先建立坐标系，结合图象设出函数表达式，再用待定系数法求解即可；
（2）首先求出，然后当车高一定，时，求出，得到车辆顶部与隧道的最小空隙，进而求解即可；
（3）将代入求出，进而求解即可．
【详解】（1）解：如解图，以为原点，以所在直线为轴，以垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，
由题意得，顶点的坐标为，
设抛物线的函数表达式为．
又图象经过原点，
，
，
抛物线的函数表达式为，
即；
（2）解：设该隧道限高米，
，
，
当车高一定，时，车辆顶部与隧道的空隙最小，
此时，，
此时，车辆顶部与隧道的最小空隙，
由题意，车辆顶部与隧道的最小空隙，
．
该隧道限高3米；
（3）由题意，当时，，
解得，
，
两排灯的水平距离最小值是8米．
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