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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册第十三章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。3.证明三角形的任意两边之和大于第三边。4.理解三角形的基本元素（边、角）及其关系，掌握三角形内角和定理及其推论；5.了解命题、定理、证明的概念，能进行简单的几何推理与证明；
内容分析 本章是初中几何推理与证明的入门章节，内容涵盖三角形的基本性质、边角关系、命题结构与证明方法。学生将通过观察、操作、推理等活动，理解三角形内角和定理、外角定理、三边关系等基本结论，并初步接触几何证明的书写规范与逻辑结构，为后续学习全等三角形、相似三角形等打下基础。
学情分析 本章是初中几何推理与证明的入门章节，内容涵盖三角形的基本性质、边角关系、命题结构与证明方法。学生将通过观察、操作、推理等活动，理解三角形内角和定理、外角定理、三边关系等基本结论，并初步接触几何证明的书写规范与逻辑结构，为后续学习全等三角形、相似三角形等打下基础。
单元目标 （一）教学目标1.掌握三角形的基本元素及其分类，理解三角形的边角关系；2.掌握三角形内角和定理、外角定理及其推论，并能初步应用；3.了解命题、定理、证明的概念，能写出简单的几何命题并尝试证明；4.初步掌握几何证明的基本步骤和书写规范，发展逻辑推理能力。（二）教学重点、难点重点：1.三角形内角和定理及其应用；2.几何证明的基本结构与书写规范难点：1.几何证明的逻辑推理与语言表达；2.外角定理的理解与应用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1 三角形中的边角关系313.2 命题与证明4
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1.1三角形中边的关系1.通过动手操作和实验探究，理解三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边。2.掌握判断三条线段能否组成三角形的方法，并能运用定理解决实际问题。3.培养观察、比较、分析和归纳的数学思维能力，发展空间观念。1.学生能准确表述三角形三边关系定理，并能举例说明。2.能正确判断给定三条线段能否组成三角形，正确率达到85%以上。3.能运用三角形三边关系解决简单的实际问题（如选择木料、计算取值范围等）任务一：给定多组不同长度的小棒，让学生实际操作选择能组成三角形的小棒组合，并记录说明理由。任务二：提供若干组线段长度数据，让学生判断哪些能组成三角形，并说明依据。任务三：设计实际问题情境，让学生运用三边关系解决问题。13.1.2 三角形中角的关系1.通过测量、撕拼等操作活动，发现并验证三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。2.掌握利用三角形内角和定理求未知角度的方法，并能解决相关问题。3.培养动手操作能力、空间想象能力和逻辑推理能力。1.学生能通过实验操作准确得出三角形内角和为180°的结论。2.能正确运用三角形内角和定理计算三角形中未知角的度数，正确率达到90%以上。3.能解决与三角形内角相关的实际问题（如判断三角形类型、解决角度计算问题等）任务一：提供各种类型的三角形纸片，让学生通过测量或撕拼的方法验证三角形内角和定理。任务二：给出三角形中两个角的度数，让学生计算第三个角的度数，并说明计算依据。任务三：设计实际问题让学生运用三角形内角和定理解决问题。13.1.3 三角形中几条重要线段1.理解三角形的中线、角平分线和高线的定义，掌握它们的性质和作图方法。2.能够识别和画出三角形的中线、角平分线和高线，了解它们的应用。3.培养几何直观和空间想象能力，提高动手操作和解决问题的能力。1.学生能准确说出三角形的中线、角平分线和高线的定义和性质。2.能正确使用尺规作出三角形的中线、角平分线和高线，正确率达到85%以上。3.能运用重要线段的性质解决简单的几何问题（如计算长度、证明等）。任务一：给定一个三角形，让学生用尺规分别作出它的三条中线、三条角平分线和三条高线。任务二：提供几个三角形中的重要线段问题，让学生计算并说明理由。任务三：设计实际问题，让学生运用重要线段的知识解决。13.2命题与证明(第一课时)1.理解命题的概念，能够区分命题与非命题，并能判断命题的真假。2.掌握命题的组成结构，能够将命题改写成“如果...那么...”的形式。3.初步了解证明的必要性，培养逻辑思维能力和严谨的数学态度。1.学生能准确判断一个语句是否为命题，并能区分真命题与假命题。2.能正确分析命题的条件和结论，并能将命题改写成标准形式。3.能通过举反例的方法判断命题的真假，并初步尝试简单的逻辑证明。任务一：给出多个语句，让学生判断哪些是命题，并说明理由。任务二：提供几个简单命题，让学生改写成“如果...那么...”的形式，并指出条件和结论。任务三：设计几个真假命题，让学生判断真假，并通过举反例或简单推理说明理由。13.2命题与证明(第二课时)1.掌握数学证明的基本方法和步骤，能够进行简单的几何证明。2.理解直接证明法的推理过程，能够规范书写证明过程。3.培养逻辑推理能力和严谨的数学思维习惯1.学生能准确理解证明的步骤，能够按照规范格式书写证明过程。2.能运用直接证明法完成简单的几何命题证明，正确率达到80%以上。3.能在证明过程中正确使用数学符号和术语，表述清晰、推理严谨。任务一：给出简单几何命题，让学生写出完整的证明过程，包括已知、求证和证明。任务二：提供有缺陷的证明过程，让学生找出错误并改正，说明理由。任务三：设计几个需要证明的几何问题，让学生独立完成证明并相互评价。13.2命题与证明(第三课时)1.掌握三角形内角和定理的证明方法，理解其证明过程。2.理解直角三角形的性质与推论，能够进行相关证明。3.培养逻辑推理能力，掌握几何证明的基本方法和技巧。1.学生能独立完成三角形内角和定理的证明，正确率达到85%以上。2.能运用三角形内角和定理解决角度计算问题，正确率达到90%以上。3.能证明直角三角形的性质与推论，并运用于相关问题解决。任务一：让学生用至少两种方法（如辅助线法、拼图法等）证明三角形内角和等于180°。任务二：给出几个三角形角度计算问题，要求学生运用内角和定理求解并说明理由。任务三：设计直角三角形性质证明题，要求学生完成证明过程。任务四：提供综合应用题，要求学生运用直角三角形性质解决实际问题。13.2命题与证明(第四课时)1.理解三角形外角的定义，掌握三角形外角定理及其证明方法。2.能够运用外角性质解决角度计算和证明问题。3.掌握外角推论的证明和应用，培养逻辑推理能力。1.学生能准确表述三角形外角定理，正确完成其证明过程。2.能运用外角性质解决角度计算问题，正确率达到85%以上。3.能独立证明外角推论，并运用于几何证明中。任务一：给出三角形图形，让学生指出外角并说明外角定理的内容。任务二：设计角度计算题，要求运用外角定理求解。任务三：提供证明题，要求学生用外角定理证明几何命题。任务四：设计综合应用题，让学生运用外角性质解决实际问题。
《三角形中的边角关系、命题与证明》单元教学设计
活动1：引入课题
活动2：探究三角形的分类
13.1.1三角形中边的关系
活动3：探究三角形边的基本关系
活动4：例题讲解
活动1：温故知新，引入课题
13.1.2三角形中角的关系
活动2：实验探究，发现内角和定理
活动3：例题讲解与应用
三角形中的边角关系、命题与证明
活动1：创设情境，引入课题
13.1.3三角形中几条重要线段
活动2：分组探究三条重要线段。
活动3：例题讲解
活动1：生活中的判断与推理
13.2命题与证明(第一课时)
活动2：探究命题的结构与类型
活动3：命题的真假判断与证明初探
活动4：例题讲解
活动1：复习巩固，温故知新
活动2：探究证明的方法与步骤
13.2命题与证明(第二课时)
活动3：分组实践，证明训练
三角形中的边角关系、命题与证明
活动4：例题讲解
活动3：探究直角三角形的性质与推论
活动2：证明三角形内角和等于180°
活动1：引入课题
13.2命题与证明(第三课时)
活动1：引入课题
13.2命题与证明(第四课时)
活动2：探究三角形外角的推论
活动3：例题讲解
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13.1.1三角形中边的关系教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 13
课题 13.1.1三角形中边的关系 课时 1
教材分析 本节内容以三角形边的关系为核心，重点探讨“三角形任意两边之和大于第三边”的性质。教材通过观察、操作、猜想、验证等环节，引导学生从具体实例中抽象出数学结论，并强调其在解决实际问题中的应用，逻辑清晰，层次分明。
学情 分析 学生已具备三角形的基本概念和尺规作图基础，但对边的关系的理性认识尚浅。容易混淆“两边之和大于第三边”与“两边之差小于第三边”，且在实际判断中可能忽略“任意”二字，需通过实践强化理解。
核心素养目标 1. 理解三角形概念及其基本要素。 2. 证明三角形两边的和大于第三边，并能运用它解决有关问题 3. 经历探索三角形三边关系的过程，培养学生的分类讨论的思想；运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价值
教学重点 证明三角形两边的和大于第三边，并能运用它解决有关问题
教学难点 探索三角形三边关系的过程
教学 准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 想一想：我们学过的图形有哪些？ 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固上节内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题 请观察图片中的实物包含哪些几何图形？ 学生观察图片找出图形 让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究 合作探究，活动领悟 下面三根小棒摆成的图形，是否构成了三角形呢？ 条件： ①不能在同一条直线上； ②不能有“缺口”“尾巴”； 归纳：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形. 三角形中有几条线段 有几个角 有三条线段，三个角 边：线段AB，BC，CA是三角形的边. 线段a，b，c是三角形的边 顶点：点A，B，C是三角形的顶点， 角：∠A，∠B，∠C 叫做三角形的内角，简称三角形的角. 如何用符号表示三角形？△ABC ①字母没有先后顺序； ②通常情况下按逆时针的顺序写. △BCA、△CAB 以边之间的相等关系可分三种情况． 如图所示，在△ABC中，AB=AC △ABC是一个等腰三角形 在等腰三角形中， 相等的两边叫作腰，剩余的一边叫作底边. 两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角. AB=AC=BC 等边三角形 思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？ 也可以用图形表示三角形按边分类的情况： 思考：在一个三角形中，任意两边之和与第三边的 大小关系如何？ 你判断的根据是什么？ 在△ABC中，如果把它的任意两个顶点看作定点，则两定点之间的所有连线中，线段最短。 例如，将B、C看作定点，则AB+AC>BC 同理，得AC+BC>AB， AB+BC>AC. 归纳 三角形中任意两边的和大于第三边. 三角形中任意两边的差小于第三边. 即：两边之差<第三边<两边之和 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，归纳 学生通过画图等方式得出三角形的三边情况 小组讨论，归纳 学生总结三角形的分类 学生思考并探究三角形三边关系 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度. 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
四、变式 师生互动，变式深化 例1 等腰三角形的周长为18cm。 （1）如果腰长是底边长的2倍，求各边长； （2）如果一边长为4cm，求另两边长。 解 （1）设等腰三角形的底边长为x cm， 则腰长为 2x cm 根据题意，得x+2x+2x=18. 解方程，得x=3.6. 所以该三角形的三边长为3.6cm，7.2cm，7.2 cm。 (2)① 若等腰三角形的底边长为4cm，设腰长为ycm 根据题意，得2y+4=18. 解方程，得y=7. ② 若等腰三角形的腰长为4cm，设底边长为zcm. 根据题意，得2x4+z=18. 解方程，得z= 10. 由于4 +4 < 10，可知以 4cm 为腰长不能构成周长为 18cm 的等腰三角形. 所以该三角形的另两边长都是7cm. 注意：求出三角形的三边后，需要判断是否符合三角形三边的构成条件 学生思考解答 通过例题的讲解，巩固三角形三边关系，培养学生的归纳能力。
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1. 若一个三角形的三边长之比是 ，周长是10，则此三角形按边分是( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边都不相等的三角形 D. 以上都不对 2.某中学八年级（2）班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和 ，那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是( ) A. B. C. D. 3.若，则以， 为边长的等腰三角形的周长为________. 4.若 的两边长是方程组的解，第三边长为整数，则符合条件的三角形有___个. 5.如图，D是△ABC 的边AC上一点，AD=BD，试判断AC 与BC 的大小. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形. 三角形的分类(按边分)： 三边关系： 三角形中两边之和大于第三边. 三角形中两边之差小于第三边. 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( ) A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．－3＜x＜11 D．x＞3 2.若一个三角形的三边长分别为2， ，7，化简 的结果是( ) B. C. D. ３.五条线段的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，以其中三条线为边长可以构成________个三角形. ４.如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长为______________. 5.已知 的三边长均为整数， 的周长为偶数. （1）若，，求 的长； （2）若，求 的最大值.
教学反思 本节课通过拼图、测量等活动激发学生兴趣，但部分学生未能从具体操作上升到抽象规律。后续需增加反例辨析环节，强化“任意”这一关键点的理解，并联系生活实际，提升应用能力。
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13.1.1三角形中边的关系
第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解三角形概念及其基本要素.
01
证明三角形两边的和大于第三边，并能运用它解决有关问题
02
经历探索三角形三边关系的过程，培养学生的分类讨论的思想；运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价值
03
02
复习旧知
想一想：小学我们学过的图形有哪些？
线段，三角形，正方形，长方形，圆形
02
创设情境
请观察图片中的实物包含哪些几何图形？
03
新知探究
下面三根小棒摆成的图形，是否构成了三角形呢？
C
A
B
D
B
A
C
(3)
A B C D
(1)
(2)
条件：
A
B
C
①不能在同一条直线上；
②不能有“缺口”“尾巴”；
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形.
构成三角形的要素有哪些？
03
新知探究
三角形中有几条线段 有几个角
边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
线段a，b，c是三角形的边
顶点：点A，B，C是三角形的顶点，
角：∠A，∠B，∠C 叫做三角形的内角，简称三角形的角.
有三条线段，三个角
A
B
C
a
b
c
03
新知探究
如何用符号表示三角形？
A
B
C
△ABC
①字母没有先后顺序；
②通常情况下按逆时针的顺序写.
△BCA、
△CAB
03
新知探究
以边之间的相等关系可分三种情况．
三边都不相等的三角形
不等边三角形
两条边相等的三角形
等腰三角形
三条边都相等的三角形
等边三角形
也叫正三角形
03
新知探究
腰
顶角
腰
底边
底角
底角
如图所示，在△ABC中，AB=AC
△ABC是一个等腰三角形
在等腰三角形中,
相等的两边叫作腰,剩余的一边叫作底边.
两腰的夹角叫作顶角,腰与底边的夹角叫作底角.
Ａ
Ｂ
Ｃ
03
新知探究
思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？
三角形
等腰三角形
不等边三角形
底边和腰不想等的等腰三角形
等边三角形
Ａ
Ｂ
Ｃ
AB=AC=BC
等边三角形
03
新知探究
三边都不相等的三角形
等腰三角形
等边三角形
也可以用图形表示三角形按边分类的情况：
03
新知探究
思考
在一个三角形中，任意两边之和与第三边的 大小关系如何？ 你判断的根据是什么？
在△ABC中，如果把它的任意两个顶点看作定点，则两定点之间的所有连线中，线段最短。
03
新知探究
例如，将B、C看作定点，
则AB+AC>BC
同理，得AC+BC>AB, AB+BC>AC.
不等式的性质
AB>BC-AC
03
新知探究
三角形中任意两边的和大于第三边.
三角形中任意两边的差小于第三边.
归纳
即：两边之差<第三边<两边之和
03
新知探究
例1 等腰三角形的周长为18cm。
（1）如果腰长是底边长的2倍，求各边长；
解 （1）设等腰三角形的底边长为x cm,
则腰长为 2x cm
根据题意,得x+2x+2x=18.
解方程,得x=3.6.
所以该三角形的三边长为3.6cm，7.2cm，7.2 cm。
方法技巧
根据腰长和底边的数量关系，由周长的定义列出方程即可求解．
03
新知探究
（2）如果一边长为4cm，求另两边长。
４ｃｍ为底边长
４ｃｍ为腰长
(2)① 若等腰三角形的底边长为4cm,设腰长为ycm
根据题意,得2y+4=18.
解方程,得y=7.
03
新知探究
② 若等腰三角形的腰长为4cm,设底边长为zcm.
根据题意,得2x4+z=18.
解方程,得z= 10.
由于4 +4 < 10,可知以 4cm 为腰长不能构成周长为 18cm 的等腰三角形.
所以该三角形的另两边长都是7cm.
求出三角形的三边后，需要判断是否符合三角形三边的构成条件
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 若一个三角形的三边长之比是 ，周长是10，则此三角形按边分是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 三边都不相等的三角形 D. 以上都不对
2.某中学八年级（2）班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和
那么杨冲、李锐两家的直线距离不可能是( )
A. B. C. D.
A
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.若，则以, 为边长的等腰三角形的
周长为________.
4.若 的两边长是方程组的解，第三边长为整数，
则符合条件的三角形有___个.
11或13
3
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.如图，D是△ABC 的边AC上一点，AD=BD，试判断AC 与BC 的大小.
解：在△BDC 中，
有 BD+DC >BC（三角形的
任意两边之和大于第三边）
又因为 AD = BD，
则BD+DC = AD+DC = AC，
所以 AC >BC.
05
课堂小结
三角形的定义：
三角形的分类(按边分)：
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形.
三边关系：
三角形中两边之和大于第三边.
三角形中两边之差小于第三边.
三角形中边的关系
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( )
A．3＜x＜11 B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11 D．x＞3
2.若一个三角形的三边长分别为2， ，7，化简 的结果是( )
B. C. D.
A
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
４.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰 三角形的周长为______________.
３.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线为 边长可以构成________个三角形.
3
18cm或21cm
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知 的三边长均为整数， 的周长为偶数.
（1）若，，求 的长；
（2）若，求 的最大值.
【解】因为由三角形的三边关系知，
，即 ，所以 .
又因为的周长为偶数，而， 为奇数，
所以为偶数，且为正整数，故或 .
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）因为，的周长为偶数，所以 为
奇数.
又因为，所以 的最大值为13.
Thanks!
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