5.3 第1课时 实际问题与一元一次方程（1） 教学课件 初中数学北师大版七年级上册
文档属性
| 名称 | 5.3 第1课时 实际问题与一元一次方程（1） 教学课件 初中数学北师大版七年级上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-16 17:32:19 | ||
图片预览
文档简介
(共27张PPT)
第五章 一元一次方程
5.３ 实际问题与一元一次方程
第1课时 实际问题与一元
一次方程（1）
情 境 导 入
第1课时 实际问题与一元
一次方程（1）
某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6 cm，12 cm的圆柱形易拉罐饮料.经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米
(1)这个问题中包含哪些量 它们之间有怎样的等量关系
生活中的数学
包含的量有①改造前：直径6.6 cm，高12 cm，②改造后：直径6cm
等量关系：改造前的体积等于改造后的体积.
改题目如何求解呢？
生活中的数学
情境导入
新课探究
课堂小结
（2）设新包装的高度为 x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？
有关量 旧包装 新包装
底面半径/cm
高/cm
容积/cm3
12
3.3
3
x
V
V
3.32 π×12
32πx
你能根据以上信息找出等量关系吗？
生活中的数学
情境导入
新课探究
课堂小结
(3)若设改造后易拉罐的高度为h cm.你能根据找出的等量关系列出方程吗？
3.32×π·12=32×πh.
解这个方程，得 x = .
因此，易拉罐的高度变为 cm.
14.52
14.52
列方程时，关键是找出问题中的等量关系.
(1) 如果该长方形的长比宽多 1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？
例1 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
新 课 探 究
第1课时 实际问题与一元
一次方程（1）
典例精析
x m
(x + 1.4) m
等量关系：
（长 + 宽）× 2 = 周长
典例精析
x m
(x + 1.4) m
解： 设此时长方形的宽为 x m，则它的长为(x + 1.4)m. 根据题意，得
(x + 1.4 + x) ×2 = 10.
解得 x = 1.8.
1.8 + 1.4 = 3.2.
答：此时长方形的长为 3.2 m，宽为 1.8 m.
新课探究
情境导入
课堂小结
(1) 如果该长方形的长比宽多 1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？
例1 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
(2) 如果该长方形的长比宽多 0.8 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与 (1) 中的长方形相比，面积有什么变化？
新课探究
情境导入
课堂小结
哪些量改变了，哪些量没有变？
变化的量：长、宽.
不变的量：周长.
例1 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
典例精析
新课探究
情境导入
课堂小结
先求出长和宽:
解：设此时长方形的宽为 x m，则它的长为
(x + 0.8) m. 根据题意，得
(x + 0.8 + x) ×2 = 10
解得 x = 2.1
2.1 + 0.8 = 2.9
此时长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m.
典例精析
(2) 如果该长方形的长比宽多 0.8 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与 (1) 中的长方形相比，面积有什么变化？
例1 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
(1) 中长方形的面积为 3.2×1.8 = 5.76(m2)；
(2)中长方形的面积为 2.9×2.1 = 6.09 (m2).
此时(2)中长方形的面积比 (1) 中长方形的面积增大了，增大了6.09－5.76 = 0.33(m2).
新课探究
情境导入
课堂小结
再比较面积的大小
长为 3.2 m，
宽为 1.8 m
长为 2.9 m，
宽为 2.1 m.
李师傅正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙 (墙 面长度不限)，三面用篱笆，篱笆总长 60 米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多 6 米，请你用所学的知识解决以下问题 (篱笆的占地面积忽略不计).
(1) 如图，如果长方形鸡舍的长与墙为对面，长方形鸡舍的面积是多少？
新课探究
情境导入
课堂小结
练一练
解：(1) 设鸡舍的宽为 x 米，则长为 (x + 6) 米，依题意得
x + x + 6 + x = 60，
解得 x = 18.
所以鸡舍的长为 18 + 6 = 24 (米).
鸡舍面积 = 18×24 = 432 (平方米).
答：鸡舍面积 432 平方米.
李师傅正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙 (墙 面长度不限)，三面用篱笆，篱笆总长 60 米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多 6 米，请你用所学的知识解决以下问题 (篱笆的占地面积忽略不计).
(2) 如果要在墙的对面留一个 3 米宽的门 (门不使用篱笆)， 那么长方形鸡舍的面积又是多少？
(2) 设鸡舍的宽为 x 米，则鸡舍的长 (x + 6) 米.
①当鸡舍的长与墙为对面时，依题意得
x + x + (x + 6 - 3) = 60，解得 x = 19.
鸡舍面积 = 19×(19 + 6) = 475 (平方米).
练一练
新课探究
情境导入
课堂小结
②当鸡舍的宽与墙为对面时，依题意得
2(x + 6) + x - 3 = 60，解得 x = 17.
鸡舍面积 = 17×(17+6) = 391 (平方米)
答：鸡舍面积为 475 平方米或 391 平方米.
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖掉这两件衣服后，总体上是盈利还是亏损，或是不盈不亏
问题1：如何判断这两件衣服总体的盈亏？
这两件衣服的进价之和，如果进价大于售价就亏损，如果进价小于售价就盈利.
新课探究
情境导入
课堂小结
拓展一 商品利润问题
问题2：如果盈利的衣服进价为x元，亏损衣服的进价为y元，那么他们的利润分别为多少？
盈利：25%x元，亏损：－25%y元
新课探究
情境导入
课堂小结
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖掉这两件衣服后，总体上是盈利还是亏损，或是不盈不亏
拓展一 商品利润问题
问题3：根据进价与利润的和等于售价，列出方程：
盈利衣服：x+25%x=60，解得x=48.
亏损衣服：y－25%y=60，解得y=80.
新课探究
情境导入
课堂小结
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖掉这两件衣服后，总体上是盈利还是亏损，或是不盈不亏
拓展一 商品利润问题
新课探究
情境导入
课堂小结
总结归纳
成本价：
售价：
标价：
打折：
销售价占标价的百分率.
例如某种服装打8折即按标价的80%出售.
购进商品时的价格(有时也叫进价).
在销售商品时的售出价(有时称成交价).
在销售时标出的价(有时称定价).
新课探究
情境导入
课堂小结
商品利润
利润率=
= 商品售价－商品进价
售价、进价、利润的关系：
商品利润
进价、利润、利润率的关系：
商品进价
×100%
折扣数
标价、折扣数、商品售价的关系：
商品售价＝
标价×
10
商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价=
×(1+利润率)
销
售
中
的
盈
亏
总结归纳
练一练
新课探究
情境导入
课堂小结
解： 设这件衣服的进价是x元，
则提价后的售价是(1＋25%)x 元，
依题意，得(1＋25%)x×0.8＝60.
解得 x＝60.
所以这件衣服不赢不亏.
一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售，此时售价为60元. 问:促销期间每件商品是盈是亏，还是不盈不亏？
整理一批图书，由一个人做要40 h完成.现计划由一部分人先做4 h，然后增加2人与他们一起做8 h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
提示：在工程问题中：
工作量=人均效率×人数×时间；
工作总量=各部分工作量之和.
题中的工作总量是多少呢？
拓展二 工程问题
新课探究
情境导入
课堂小结
题中没有给出工作总量是多少 那该怎么处理呢？
一般情况下，当题中的工作总量是未知时，可设工作总量为单位1.
分析：如果把工作总量设为1，则人均工作效率（一个人1h完成的工作量）为 ，x人先做4 h完成的工作量为 ，增加2人后再左8 h完成的工作量为 ，这两个工作量之和应等于总工作量 .
1
整理一批图书，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
新课探究
情境导入
课堂小结
解：设先安排x人做4 h，根据题意,得等量关系：
前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1.
可列方程
解方程，得 x=2.
答：应先安排 2人做4小时.
新课探究
情境导入
课堂小结
整理一批图书，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
工程问题解题思路：
1.三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
2.相等关系：工作总量=各部分工作量之和.
(1)按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和；
(2)按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和.
3.通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1.
总结归纳
新课探究
情境导入
课堂小结
1.某商店以每件60元的价格卖出一件衣服,盈利25%,这件衣服的进价是多少 利润是多少
解:设这件衣服的进价是x元，由题意，得
25%x =60－x .
解得 x=48.
利润为25%x =12元.
所以这件衣服的进价是48元，利润为12元.
练习
新课探究
情境导入
课堂小结
2.若进货价降低 8 %，而售出价不变, 那么利润率可由目前的 p% 增加到(p+10)%(即增加10个百分点),求原来的利润率是多少
解:设原进货价为a元,则售出价为(1+p%)a元,
现在的进货价为0.92a元,
列方程0.92a×[1+(p+10)%]=(1+p%)a.
解得p=15.
所以原来的利润率为15%.
练习
新课探究
情境导入
课堂小结
3.国庆节期间，文峰大世界搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按售价的70%销售）和九折（按售价的90%销售），共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元，那么这两种商品的原销售价分别是多少元？
练习
解：设甲种商品的原销售价为x元，则乙种商品的原销售价为(500－x)元，则
x×70%＋(500－x)×90%＝386.
解得 x＝320.
500－x＝180.
答：甲、乙两种商品的原销售价分别为320元、180元.
新课探究
情境导入
课堂小结
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
第1课时 实际问题与一元
一次方程（1）
情境导入
新课探究
课堂小结
列一元一次方程解应用题的主要步骤
1.审——通过审题找出等量关系.
6.答——得出结论.
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符
合实际问题.
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解).
3.列——依据找到的等量关系，列出方程.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
THANK YOU
第五章 一元一次方程
5.３ 实际问题与一元一次方程
第1课时 实际问题与一元
一次方程（1）
情 境 导 入
第1课时 实际问题与一元
一次方程（1）
某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6 cm，12 cm的圆柱形易拉罐饮料.经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米
(1)这个问题中包含哪些量 它们之间有怎样的等量关系
生活中的数学
包含的量有①改造前：直径6.6 cm，高12 cm，②改造后：直径6cm
等量关系：改造前的体积等于改造后的体积.
改题目如何求解呢？
生活中的数学
情境导入
新课探究
课堂小结
（2）设新包装的高度为 x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？
有关量 旧包装 新包装
底面半径/cm
高/cm
容积/cm3
12
3.3
3
x
V
V
3.32 π×12
32πx
你能根据以上信息找出等量关系吗？
生活中的数学
情境导入
新课探究
课堂小结
(3)若设改造后易拉罐的高度为h cm.你能根据找出的等量关系列出方程吗？
3.32×π·12=32×πh.
解这个方程，得 x = .
因此，易拉罐的高度变为 cm.
14.52
14.52
列方程时，关键是找出问题中的等量关系.
(1) 如果该长方形的长比宽多 1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？
例1 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
新 课 探 究
第1课时 实际问题与一元
一次方程（1）
典例精析
x m
(x + 1.4) m
等量关系：
（长 + 宽）× 2 = 周长
典例精析
x m
(x + 1.4) m
解： 设此时长方形的宽为 x m，则它的长为(x + 1.4)m. 根据题意，得
(x + 1.4 + x) ×2 = 10.
解得 x = 1.8.
1.8 + 1.4 = 3.2.
答：此时长方形的长为 3.2 m，宽为 1.8 m.
新课探究
情境导入
课堂小结
(1) 如果该长方形的长比宽多 1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？
例1 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
(2) 如果该长方形的长比宽多 0.8 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与 (1) 中的长方形相比，面积有什么变化？
新课探究
情境导入
课堂小结
哪些量改变了，哪些量没有变？
变化的量：长、宽.
不变的量：周长.
例1 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
典例精析
新课探究
情境导入
课堂小结
先求出长和宽:
解：设此时长方形的宽为 x m，则它的长为
(x + 0.8) m. 根据题意，得
(x + 0.8 + x) ×2 = 10
解得 x = 2.1
2.1 + 0.8 = 2.9
此时长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m.
典例精析
(2) 如果该长方形的长比宽多 0.8 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与 (1) 中的长方形相比，面积有什么变化？
例1 用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
(1) 中长方形的面积为 3.2×1.8 = 5.76(m2)；
(2)中长方形的面积为 2.9×2.1 = 6.09 (m2).
此时(2)中长方形的面积比 (1) 中长方形的面积增大了，增大了6.09－5.76 = 0.33(m2).
新课探究
情境导入
课堂小结
再比较面积的大小
长为 3.2 m，
宽为 1.8 m
长为 2.9 m，
宽为 2.1 m.
李师傅正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙 (墙 面长度不限)，三面用篱笆，篱笆总长 60 米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多 6 米，请你用所学的知识解决以下问题 (篱笆的占地面积忽略不计).
(1) 如图，如果长方形鸡舍的长与墙为对面，长方形鸡舍的面积是多少？
新课探究
情境导入
课堂小结
练一练
解：(1) 设鸡舍的宽为 x 米，则长为 (x + 6) 米，依题意得
x + x + 6 + x = 60，
解得 x = 18.
所以鸡舍的长为 18 + 6 = 24 (米).
鸡舍面积 = 18×24 = 432 (平方米).
答：鸡舍面积 432 平方米.
李师傅正在准备用篱笆修建一个长方形鸡舍栅栏，栅栏一面靠墙 (墙 面长度不限)，三面用篱笆，篱笆总长 60 米，篱笆围成的长方形鸡舍的长比宽多 6 米，请你用所学的知识解决以下问题 (篱笆的占地面积忽略不计).
(2) 如果要在墙的对面留一个 3 米宽的门 (门不使用篱笆)， 那么长方形鸡舍的面积又是多少？
(2) 设鸡舍的宽为 x 米，则鸡舍的长 (x + 6) 米.
①当鸡舍的长与墙为对面时，依题意得
x + x + (x + 6 - 3) = 60，解得 x = 19.
鸡舍面积 = 19×(19 + 6) = 475 (平方米).
练一练
新课探究
情境导入
课堂小结
②当鸡舍的宽与墙为对面时，依题意得
2(x + 6) + x - 3 = 60，解得 x = 17.
鸡舍面积 = 17×(17+6) = 391 (平方米)
答：鸡舍面积为 475 平方米或 391 平方米.
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖掉这两件衣服后，总体上是盈利还是亏损，或是不盈不亏
问题1：如何判断这两件衣服总体的盈亏？
这两件衣服的进价之和，如果进价大于售价就亏损，如果进价小于售价就盈利.
新课探究
情境导入
课堂小结
拓展一 商品利润问题
问题2：如果盈利的衣服进价为x元，亏损衣服的进价为y元，那么他们的利润分别为多少？
盈利：25%x元，亏损：－25%y元
新课探究
情境导入
课堂小结
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖掉这两件衣服后，总体上是盈利还是亏损，或是不盈不亏
拓展一 商品利润问题
问题3：根据进价与利润的和等于售价，列出方程：
盈利衣服：x+25%x=60，解得x=48.
亏损衣服：y－25%y=60，解得y=80.
新课探究
情境导入
课堂小结
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖掉这两件衣服后，总体上是盈利还是亏损，或是不盈不亏
拓展一 商品利润问题
新课探究
情境导入
课堂小结
总结归纳
成本价：
售价：
标价：
打折：
销售价占标价的百分率.
例如某种服装打8折即按标价的80%出售.
购进商品时的价格(有时也叫进价).
在销售商品时的售出价(有时称成交价).
在销售时标出的价(有时称定价).
新课探究
情境导入
课堂小结
商品利润
利润率=
= 商品售价－商品进价
售价、进价、利润的关系：
商品利润
进价、利润、利润率的关系：
商品进价
×100%
折扣数
标价、折扣数、商品售价的关系：
商品售价＝
标价×
10
商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价=
×(1+利润率)
销
售
中
的
盈
亏
总结归纳
练一练
新课探究
情境导入
课堂小结
解： 设这件衣服的进价是x元，
则提价后的售价是(1＋25%)x 元，
依题意，得(1＋25%)x×0.8＝60.
解得 x＝60.
所以这件衣服不赢不亏.
一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售，此时售价为60元. 问:促销期间每件商品是盈是亏，还是不盈不亏？
整理一批图书，由一个人做要40 h完成.现计划由一部分人先做4 h，然后增加2人与他们一起做8 h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
提示：在工程问题中：
工作量=人均效率×人数×时间；
工作总量=各部分工作量之和.
题中的工作总量是多少呢？
拓展二 工程问题
新课探究
情境导入
课堂小结
题中没有给出工作总量是多少 那该怎么处理呢？
一般情况下，当题中的工作总量是未知时，可设工作总量为单位1.
分析：如果把工作总量设为1，则人均工作效率（一个人1h完成的工作量）为 ，x人先做4 h完成的工作量为 ，增加2人后再左8 h完成的工作量为 ，这两个工作量之和应等于总工作量 .
1
整理一批图书，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
新课探究
情境导入
课堂小结
解：设先安排x人做4 h，根据题意,得等量关系：
前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1.
可列方程
解方程，得 x=2.
答：应先安排 2人做4小时.
新课探究
情境导入
课堂小结
整理一批图书，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
工程问题解题思路：
1.三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
2.相等关系：工作总量=各部分工作量之和.
(1)按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和；
(2)按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和.
3.通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1.
总结归纳
新课探究
情境导入
课堂小结
1.某商店以每件60元的价格卖出一件衣服,盈利25%,这件衣服的进价是多少 利润是多少
解:设这件衣服的进价是x元，由题意，得
25%x =60－x .
解得 x=48.
利润为25%x =12元.
所以这件衣服的进价是48元，利润为12元.
练习
新课探究
情境导入
课堂小结
2.若进货价降低 8 %，而售出价不变, 那么利润率可由目前的 p% 增加到(p+10)%(即增加10个百分点),求原来的利润率是多少
解:设原进货价为a元,则售出价为(1+p%)a元,
现在的进货价为0.92a元,
列方程0.92a×[1+(p+10)%]=(1+p%)a.
解得p=15.
所以原来的利润率为15%.
练习
新课探究
情境导入
课堂小结
3.国庆节期间，文峰大世界搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按售价的70%销售）和九折（按售价的90%销售），共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元，那么这两种商品的原销售价分别是多少元？
练习
解：设甲种商品的原销售价为x元，则乙种商品的原销售价为(500－x)元，则
x×70%＋(500－x)×90%＝386.
解得 x＝320.
500－x＝180.
答：甲、乙两种商品的原销售价分别为320元、180元.
新课探究
情境导入
课堂小结
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
第1课时 实际问题与一元
一次方程（1）
情境导入
新课探究
课堂小结
列一元一次方程解应用题的主要步骤
1.审——通过审题找出等量关系.
6.答——得出结论.
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符
合实际问题.
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解).
3.列——依据找到的等量关系，列出方程.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
THANK YOU
同课章节目录