22.1 第7课时 用待定系数法求二次函数的解析式 教学课件 初中数学人教版九年级上册

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第7课时 用待定系数法求二次函数的解析式
第二十二章 二次函数
情 境 导 入
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？
2个
2个
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
待定系数法
(1)设：（解析式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)写：（写表达式）
步骤
复习
第7课时
用待定系数法求二次函数的解析式
我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，探究下面的问题：
由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
分析：确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式y=kx+b，需求出k，b的值.用待定系数法，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标，列出关于k，b的二元一次方程组就可以求出k，b的值.
类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值. 由不在同一直线上的三点(任意两点的连线不与y轴平行)的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值.
新 课 探 究
第7课时
用待定系数法求二次函数的解析式
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情境导入
课堂小结
例1.如果一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
解：设所求二次函数为y=ax2+bx+c.
由已知，函数图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，
得三元一次方程组
解得
因此，所求二次函数的解析式为y=2x2-3x+5.
待定系数法
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课堂小结
这种已知三点求二次函数解析式的方法叫作一般式法.
其步骤是：
①设函数解析式为y=ax2+bx+c；
②代入三个点的坐标得到三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用求得的值换掉，写出函数解析式.
一般式法求二次函数的解析式
总 结
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课堂小结
例2.已知抛物线的顶点为(1,-4)，且经过点(2,-3)，求其解析式.
解：∵抛物线顶点为(1,-4)
∴设其解析式为y=a(x-1)2-4，
又抛物线过点(2,-3)，
则-3=a(2-1)2-4，则a=1.
∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.
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顶点式法求二次函数的解析式
这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫作顶点式法.其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到只含参数a的解析式；
③将另一点的坐标代入上步中的解析式，求出a值；
④将a用求得的值换掉，写出函数解析式.
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课堂小结
解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的解析式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标).因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
∴a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的解析式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
例3.已知抛物线上三个点的坐标：(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出对应的二次函数的解析式.
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课堂小结
交点式法求二次函数的解析式
这种已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫作交点式法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1, x2代入解析式中，得到只含参数a的解析式；③将另一点的坐标代入上步中的解析式，求出a值；
④将a用求得的值换掉，写出函数解析式.
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课堂小结
根据已知条件选设函数解析式：
用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：
①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
②已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
③已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；
④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式（可求出对称轴）.
总结归纳
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课堂小结
1.过点(2,4),且当x=1时,y有最值为6,则其表达式是__________.
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(0,-5),B(5,0)两点,它的对称轴为直线x=2,那么这个二次函数的解析式是_　　　　　.
3.一个二次函数,当自变量x=0时,函数值y=-1,当x=-2与0.5时,y=0.则这个二次函数的解析式是_____________.
4.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-6),则函数的解析式是___________.
练习
y=x2-4x-5
y=-2(x-1)2+6
y=x2+1.5x-1
y=-2x2+4x
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5.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：∵点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点
∴设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)
又∵抛物线过点M(0，1)
∴ 1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1
∴所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)
即y＝－x2＋1.
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6.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(-4，-3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝-3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(-4，-3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝-3，c-4b＝-19.
∵对称轴是x＝-3
∴ ＝-3
∴b＝6
∴c＝5
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5
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(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
解：∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
∴△BCD的面积＝ ×8×7＝28.
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
第7课时
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用一般式法：y=ax2+bx+c
待定系数法求二次函数的解析式
步骤
类型
已知三点坐标
设、代、解、写
用顶点法：y=a(x-h)2+k
已知顶点坐标或对称轴或最值
已知抛物线与x轴的两个交点
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
THANK YOU