22.2 二次函数与一元二次方程 教学课件 初中数学人教版九年级上册

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22.2 二次函数与一元二次方程
第二十二章 二次函数
情 境 导 入
22.2 二次函数与一元二次方程
1.二次函数的一般式：_________________，
____是自变量，____是____的函数.
2.二次函数与一元二次方程有什么联系？
3.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由什么确定？
当y=0时，ax2+bx+c=0.
y=ax2+bx+c（a≠0）
x
y
x
b2-4ac＞0 方程有两个不等的实数根；
b2-4ac＝0 方程有两个相等的实数根；
b2-4ac＜0 方程无实数根.
复习
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：
h=20t-5t2，
考虑以下问题：
新 课 探 究
22.2 二次函数与一元二次方程
新课探究
情境导入
课堂小结
（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
15
1
3
∴当小球飞行1s或3s时，它的飞行高度为15m.
解：解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？
新课探究
情境导入
课堂小结
（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？
O
h
t
2
解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
∴当小球飞行2秒时，它的飞行高度为20米.
20
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情境导入
课堂小结
（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度
解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
所以方程无解.
即小球的飞行高度达不到20.5米.
O
h
t
20.5
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情境导入
课堂小结
（4）小球从飞出到落地要用多少时间？
解方程：
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
即0秒时球从地面飞出，4秒时球落回地面.
O
h
t
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课堂小结
由函数到方程
h=20t-5t2
20t-5t2=15
20t-5t2=20
20t-5t2=20.5
20t-5t2=0.
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．
例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
已知二次函数的值，求自变量x的值.
解一元二次方程
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课堂小结
从以上问题的解法中，可以发现：
(1)求y=ax2+bx+c的值为k时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程 解决；
(2)求y=ax2+bx+c的值为0时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程 解决.
ax2+bx+c=k
ax2+bx+c=0
总结归纳
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课堂小结
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
(1)y=x2+x-2；(2)y=x2-6x+9；(3)y=x2-x+1.
可以看出：
(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1.
思考
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课堂小结
(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.
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情境导入
课堂小结
(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根.
反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数图象与x轴的位置关系.
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课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有两个重合的交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
总结归纳
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1．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关
于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一
个解x2= ；
-1
y
O
x
1
3
2.一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根是x1=-2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标是 .
(-2，0) ， ( ，0)
练习
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判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
C
3.根据下列表格的对应值:
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4.不与x轴相交的抛物线是( )
A.y =2x2-3 B.y=-2x2+3 C.y=-x2-3x D.y=-2(x+1)2-3
5.若抛物线y=ax2+bx+c,当a＞0,c＜0时,与x轴交点情况是( )
A.无交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.不能确定
6.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的情况是( 　)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
D
C
A
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7.在图中画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答:
(1)方程x2-2x-3=0的解是多少；
(2)x取什么值时，y>0；
(3)x取什么值时，y<0.
解：图象如图所示.
(1) 方程x2-2x-3=0的解为x1=-1，x2=3.
(2) x>3或x<-1时，y>0.
(3) -13
y
O
-3
3
x
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
22.2 二次函数与一元二次方程
判别式△=b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c （a>0） 的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集
不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集
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课堂小结
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x2
x1
x
y
O
O
x1= x2
x
y
x
O
y
△＞0
△＝0
△＜0
x1 ; x2
没有实数根
xx2
x ≠ x1的一切实数
所有实数
x1无解
无解
x1 =x2
＝－
THANK YOU