24.3 正多边形和圆 教学课件 初中数学人教版九年级上册

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24.3 正多边形和圆
第二十四章 圆
情 境 导 入
24.3 正多边形和圆
问题1：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点
都是各边相等，各内角相等的多边形
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问题2：观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗
思考：什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？
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24.3 正多边形和圆
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边， 那么这个正多边形叫作正n边形.
正多边形的概念：
回顾
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矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？
矩形不符合各边相等
菱形不符合各角相等
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
说一说你还能找出哪些正多边形呢？
是正多边形
思考
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问题3 你知道正多边形与圆的关系吗？
把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什么图形？
弧相等
弦相等
圆周角相等
（多边形的边相等）
（多边形的角相等）
多边形是正多边形
如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？
将一个圆分成n等份，依次连接各分点得到一个正n边形.
任务一 正多边形和圆
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∴ AB=BC=CD=DE=EA,
∴ ∠A=∠B.
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴ 五边形ABCDE是.⊙O的内接正五边形，⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
我们以圆内接正五边形为例证明.
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
⌒
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∴BCE=CDA=3AB
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⌒
⌒
O
A
B
C
D
E
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O
A
B
C
D
E
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
总结归纳
归纳
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问题4 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例。
解：各边相等的圆内接多边形是正多边形.各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，例如圆内接矩形，它不是正多边形.
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1.下列说法正确的是（ ）
A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.各边相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角相等的圆内接多边形是正多边形
C
2.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么对这个四边形描述最准确的是（ ）
A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形
C
练一练
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证明：∵AB = AC，∴∠ABC= ∠ACB.
又∠BAC= 36°，∴∠ABC= ∠ACB= (180°-∠BAC )= 72°.
又BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°.
∴BC=BE=AE=AD= CD
∴五边形AEBCD是正五边形.
3.如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC= 36°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形 AEBCD是正五边形.
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⌒
⌒
⌒
⌒
练一练
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外接圆的圆心
外接圆的半径
正多边形的每一条边所对的圆心角
弦心距
正多边形的中心
正多边形的半径
正多边形的中心角
正多边形的边心距
O
圆心
半径
圆心角
弦心距
弦
O
中心
半径
边心距
中心角
类比学习
圆内接正多边形
任务二 正多边形相关概念
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正n边形的一个内角的度数是____________；
中心角是___________；
正多边形的中心角与外角的大小关系是________；
正多边形的中心角与内角的大小关系是________.
相等
互补
想一想
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有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).
因此，亭子地基的周长
l =4×6=24(m).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
例
O
典例精析
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利用勾股定理，可得边心距
亭子地基的面积
在Rt△OPC中，OC=4，PC=
O
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添加辅助线的方法：
连半径，得中心角；
作边心距，构造直角三角形
圆内接正多边形的辅助线
边心距r
半径R
中心角一半
边长一半
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1.一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（ ）
A.3 B.6
C.8 D.12
D
2.如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点Р在⊙O上（点Р不与点A，B重合），则∠APB的度数为_____________.
30°或150°
练一练
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实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关，要制造下图中的零件，也需要等分圆周.
任务三 正多边形的画法
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操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边形？你是怎么画的？
操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正六边形。
　　（2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝ ＝60°，将360°圆心角六等分，即可得到圆的 6 个等分点；
O
60°
60°
F
60°
E
60°
D
60°
C
60°
A
B
　　解：方法 1 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ；
　　（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．
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　　（2）用量角器画∠AOB＝ ＝60°，再用圆规依次截取 ，得到圆的 6 个等分点；
A
B
O
C
D
E
F
　　方法 2 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ；
　　（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．
还有其他方法吗？
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对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作．
A
B
O
C
D
E
F
　　方法 3 先作一个⊙O ，因为正六边形的边长等于半径，所以在⊙O上用圆规依次截取等于半径的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到正六边形，如图所示．
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你能用以上方法画出正三边形、正四边形、正五边形吗？
·
A
B
C
D
O
·
A
B
C
D
E
O
O
A
B
C
·
90°
72°
120°
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1.如图，已知⊙O的内接正方形的边长为2，则⊙O的半径是（ ）
A.1 B.2
C. D.2
C
2.如图，有一个边长为2 cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大的圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是___________ .
练一练
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(1)画一个以任意点O为圆心,以2cm长为半径的圆;
(2)用量角器画一个等于 =72°的圆心角,得到此角所对的弧;
(3)在圆上依次截取这条弧的等弧,得圆的五等分点;
(4)顺次连接各等分点,得到此圆的内接正五边形;
(5)连接正五边形的各条对角线得到五角星.如图所示:
3. 画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的
各条对角线，画出一个五角星.
.
O
练一练
课 堂 小 结
通过本节课的学习
1.你掌握了哪些知识？
2.你学会了哪些解题方法？
3.你运用了哪些数学思想？
4.你总结了哪些学习经验？
5.还有什么感悟和思考？
24.3 正多边形和圆
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正多边形的性质
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正多边形的
画法
THANK YOU