第十八章相似三角形同步练习 北京版数学九年级上册

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第十八章相似三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．，、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，且，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（ ）
A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度
3．如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不能相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．如果两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．10 B．15 C．8 D．12
6．如图1是古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．黄金分割数是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，照片E放大到F这种图形变化是（ ）
A．相似 B．平移 C．旋转 D．轴对称
10．如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，下列四个三角形中，与相似的是（ ）

A． B．
C． D．
12．如图，是的重心，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．且
二、填空题
13．如图，l1l2l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=5，DE=2，AC=15，则EF= ．
14．如图所示，能判定的有 ．
①；②；③；④．
15．已知为线段上的一点，且，则线段与的比为 ．
16．如图，在中，D，E分别是，的中点．若，则的面积为 ．

17．如图，四边形四边形，若，，，则 ．
三、解答题
18．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．
求证：
(1)；
(2)．
19．已知．
(1)求代数式的值．
(2)若，求，，的值．
20．如图，中，，，把边长分别为的个正方形依次放在中。第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依此规律放入．
(1)求第1个正方形的边长．
(2)求第2个正方形的边长．
(3)第2025个正方形的边长为___________．
21．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点和点，观察者在点．适当调整，使得与都与河岸垂直．此时与相交于点，若测得，，请利用这些数据计算河的宽度．

22．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，作轴，垂足为点D，连接，，．求证：．
23．根据以下素材，探索解决问题．
测量旗杆的高度
素材1 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子中刚好可以看见旗杆的顶端，测得． 说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛离地面的距离．
素材2 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点，，在同一直线上，标杆，测得，．
问题解决
任务1 完善测量数据 在素材1中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为，请你用含的式子表示出旗杆的高度．
任务2 推理计算高度 利用素材2求出旗杆的高度．
24．如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆高1.2m，测得，，楼高是多少？
《第十八章相似三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A A D B C A C
题号 11 12
答案 B B
1．A
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应高和对应中线的比等于相似比解答即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
2．C
【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相关结论即可解答．
【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系，
用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，
每个内角的度数保持不变，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．
【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；
C、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意；
D、，，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意．
阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，，故两三角形相似，不符合题意，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．
根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：两个相似三角形的周长比为，
两个相似三角形的相似比为，
这两个相似三角形的面积比为．
故选：．
5．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证得即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
∵，，
∴
∵，
∴
故选：A
6．D
【分析】根据相似图形的性质，列出比例式，进行求解即可．
【详解】解：∵矩形与矩形相似，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
设，
则：，
解得：（负值已舍去）；
∴；
故选D．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，正方形的性质，解一元二次方程．熟练掌握相似多边形的对应边对应成比例，是解题的关键．
7．B
【分析】根据黄金分割比例是进行求解即可．
【详解】解：由题意得，四个选项中只有B选项中的数是黄金分割数，
故选B．
【点睛】本题主要考查了黄金分割数，熟知黄金分割比例是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查了成比例线段，熟记“如果，那么”是解题关键．
【详解】解：，
，
，
．
故选：C．
9．A
【分析】本题考查了相似图形的相关概念及性质，深刻理解相似的定义是解题的关键．
根据相似的定义并结合题意即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，照片放大到，二者形状相同，大小不同，属于图形的相似变换，
故选：．
10．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先由平行四边形的性质得到，，，易证，推出，然后逐项进行判断即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，故A、B、D错误，不符合题意；
∴，故C正确，符合题意．
故选：C．
11．B
【分析】先根据勾股定理算出的边长，再将各选项三角形边长算出，判断与各边是否能形成比例，得出答案．
【详解】解：根据勾股定理得
，
，
，
选项A中，三角形三边长分别是2，，，与三边不成比例，故A选项不正确．
选项B中，三角形三边长分别是2，4，，与成比例，比例为，根据三边成比例的两个三角形相似，故B选项正确．
选项C中，三角形三边长分别是2，3，，与三边不成比例，故C选项不正确．
选项D中，三角形三边长分别是，，4，与三边不成比例，故D选项不正确．
故答案选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定等内容，其中三边成比例的两个三角形相似是解决问题的关键．
12．B
【分析】三角形的重心是三角形三条中线的交点．
【详解】解：∵三角形的重心是三角形三条中线的交点
∴是的中线
故有：
故选：B
【点睛】本题考查重心的性质．熟记重心的定义即可．
13．4
【分析】根据l1∥l2∥l3，由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计算即可得到答案．
【详解】∵l1∥l2∥l3，
∴，
又∵AB=5，DE=2，AC=15，
∴BC=10，
∴
∴EF=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理的内容，找准对应关系是解题的关键．
14．①②③
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，已知有公共角，①②可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定，③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定，④对应边成比例但无法得到其夹角相等，即无法判断两个三角形相似，
熟练掌握相似三角形的几种判定方法是解题的关键．
【详解】解：由图可得：，
，
，
①∵，
∴，
∴，
故①能判定；
②∵，
∴，
∴，
故②能判定；
③∵，
∴，
即两组对应边的比相等且相应的夹角相等，
∴，
故③能判定；
④，
对应边成比例但无法得到其夹角相等，
故④不能判定；
故答案为：①②③．
15．
【分析】本题考查了线段的比例关系，涉及到线段的和差及比例的计算 ．
本题可根据线段的和差关系，结合已知的线段比例，求出与的比例关系．
【详解】解：为线段上的一点，
根据线段的和差关系可知， ．
，
可设（，为一个常数 ），那么．
．
综上，线段AB与BP的比为 ．
故答案为： ．
16．
【分析】根据中位线的性质以及相似三角形的判定与性质，求解即可．
【详解】解：在中，D，E分别是，的中点，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了中位线的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
17．
【分析】可得，由即可求解．
【详解】
解：四边形四边形，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和，掌握性质是解题的关键．
18．(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明即可；
（）由，得，，根据，，再根据相似三角形的判定方法即可得证；
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴， ，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∵四边形是正方形，点在的延长线上，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
19．(1)1；
(2)，，．
【分析】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．
（1）令，，，把，，，代入，即可计算；
（2）把，，，代入，求出的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
令，，，
，
．
（2），
，
，
，
，，．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，图形类的规律型问题，解题的关键在于能够熟练掌握正方形的性质和相似三角形的性质与判定条件．
（1）根据相似三角形的性质就可以求出第一个正方形的边长，
（2）根据相似三角形的性质就可以求出第一个正方形的边长，
（3）同（1）（2）求出其它正方形的边长，观察规律即可求得第n个正方形的边长，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
，
，即
即．
故答案为：．
（2）
．
与（1）同理可证，
，即
，即．
故答案为：．
（3）与（1）（2）同理，可求得
可以推出第个正方形的边长为，
第2025个正方形的边长为．
故答案为：．
21．
【分析】证明，得，求得．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
答：河的宽度为．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，判定相似三角形，得到线段间的数量关系是解题的关键．
22．见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，
分别求出和的各边长度，再根据对应边成比例即可解答．
【详解】证明：如答图，过点C作，交于点H.
由A，B，C三点的坐标可以得到,
，
，
在和中，
，，，
∴.
．
23．任务1：旗杆的高度为；任务二：旗杆的高度为
【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
任务：根据两角相等的两个三角形相似可证明，然后根据相似三角形的性质即可求解；
任务：过点作，垂足为，交于点，证明，则，然后代入求出，最后用线段和差即可求解；
【详解】解：任务：在素材1中，小陈同学还要测量图中线段的长度，才能求出旗杆的高度，
把该线段的长度记为，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴旗杆的高度为；
任务：过点作，垂足为，交于点，
∴四边形，四边形，四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴旗杆的高度为．
24．楼高是10.5m
【分析】证明，由相似三角形的性质可知，然后结合题意代入数值求解即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：楼高是10.5m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，理解并掌握相似三角形的判定方法与性质是解题关键．
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