18.7应用举例同步练习（含解析）北京版数学九年级上册

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18.7应用举例
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，测得边离地面的高度，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
2．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为（　　）步．
A．100 B．150 C．200 D．300
4．如图，某次课外实践活动中，小红在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．小红眼睛点A与标杆顶端点F，旗杆顶端点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知小红眼睛到地面距离米，标杆高米，且米，米，则旗杆ED的高度为（ ）
A．15.4米 B．17米 C．17.6米 D．19.2米
5．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ）
A． B． C． D．
6．凸透镜成像的原理如图所示，，若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则该物体缩小为原来的（ ）

A． B． C． D．
7．如图有一块四边形草地，，其中，，由于连续降雨使与之间积满污水，现在的延长线的交点处测得，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．某一时刻，身高的小明在阳光下的影长是，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是，则该旗杆的高度是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，周末小新一家来到河北石家庄正定古城游元，一座古塔塔高为，小新在距离古塔的位置观看古塔时，与观看到的手中的景点地图的古塔缩略图感觉相同（），若缩略图中的古塔高为，则缩略图距离眼睛的距离为（ ）

A． B． C． D．
10．小明利用中国古代“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港景点打卡：玉笏朝天）的高度．如图所示，“玉笏朝天”的高度记为，“玉笏朝天”在照板“内芯”上的高度记为，小明的眼睛点与在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，是一个小孔成像的示意图，光线经过小孔，物体在幕布前形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到物体和实像的水平距离，分别为，则实像的高度为（ ）

A． B． C． D．
12．“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为 ．
14．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为 米．
15．如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高，测得，则建筑物CD的高度是 m．
16．如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图②中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的点向下压 ．

17．如图，身高的某学生沿着树影由向走去，当走到点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，，则树的高度为 ．
三、解答题
18．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
19．亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部，颖颖的头顶及亮亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D．然后测出两人之间的距离，颖颖与楼之间的距离（C，D，N在一条直线上），颖颖的身高，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离．求住宅楼的高度是多少米．

20．在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度．
方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为1.8米，他的影长为0.9米，同时测得旗杆的影长为6米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退1.2米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端A，此时旗杆底端到点的距离为9米，小丽的眼睛点到地面的距离为1.6米．
21．如图，为测量学校围墙外直立电线杆的高度，小亮在操场上点处直立高的竹竿，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与电线杆顶端重合；小亮又在点处直立高的竹竿，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与电线杆顶端重合．小亮的眼睛离地面高度，量得，，，求电线杆的高度．

22．如图所示：笔直的公路边有甲、乙两栋楼房，高度分别为和，两楼之间的距离为，现有一人沿着公路向这两栋楼房前进，当他走到与甲楼的水平距离为且笔直站立时（这种姿势下眼睛到地面的距离为），他所看到的乙楼上面的部分有多高？
23．景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？
24．如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先从B处出发与成角方向，向前走80米到C处立一标杆，然后方向不变向前走50米至D处，在D处转，沿方向走30米，到E处，使A（目标物），C（标杆）与E在同一条直线上，那么可测得A，B间的距离是多少？
《18.7应用举例》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D D B C C C A B
题号 11 12
答案 A C
1．D
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先利用勾股定理求出长，再利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：在直角三角形纸板中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．根据相似三角形的性质可知蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值即可求解．
【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，
则：，即
解得：
故选：B．
3．D
【分析】设正方形城池的边长为x步，则，证明，利用相似比求出x即可．
【详解】解：设正方形城池的边长为x步，则
，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴或（舍去），
即正方形城池的边长为300步．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段长．
4．D
【分析】作AH⊥ED交FC于点G，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．
【详解】解：作交FC于点G，如图所示：
，，交FC于点G，
，
，，，，
∴四边形ABDH、ABCG是矩形，
，，
，，，，
，，
，
∴
，
即
解得：，
答：旗杆的高ED是19.2米，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用；通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例是解决问题的关键．
5．B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系．
【详解】解：依题意，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
，
则①②得，
，
，
∵，，
，
解得，
故选：B．
6．C
【分析】先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几．
【详解】解：，，，
四边形为矩形，
，
物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，
，
，，
，
，
，
物体被缩小到原来的倍，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定与性质求解即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形中，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故选：．
8．C
【分析】本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等.
设该旗杆的高度为，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有，然后解方程即可.
【详解】解：设该旗杆的高度为，
根据题意得：，
解得：.
即该旗杆的高度是4.8m.
故选：C ．
9．A
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟练的利用相似三角形的性质建立方程求解是关键．
【详解】解：由题意可得：，，，
，
∴，
∴，
∴，经检验符合题意；
故选A
10．B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．根据题意可得：，从而可得，然后证明A字模型相似，从而利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴A，C，D不正确，B正确，
故选：B．
11．A
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意可得，得到，即得，再由得，据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∵，分别为，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
12．C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点C向下压的长度是解题的关键．
【详解】解：解：由题意得，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
13．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得出，推出，再由相似三角形的判定与性质计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图：
，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴旗杆的高为，
故答案为：．
14．
【分析】设从墙壁的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据竹竿的长度：竹竿影长=树的高度：树的影长，列出比例式求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
【详解】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据题意，
得，
解得，
∴树高为（米），
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟知在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
15．
【分析】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出的长，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意，得，
，即，
．
故答案为：
16．
【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴至少要将杠杆的点向下压，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．
17．8
【分析】本题考查相似三角形的应用，如图，利用相似三角形的判定与性质证明即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，解得，
故答案为：8．
18．树高为
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案．
【详解】解：据题意可得，，
，
．
，，，
，
，
．
答：树高为．
19．住宅楼的高度为．
【分析】过作，交于点，交于点，由相似三角形的判定定理得出，再由相似三角形的对应边成比例即可得出的长，进而得出结论．
【详解】解：如图所示，过作，交于点，交于点．

由已知可得．
．
又，
所以．
所以，即，
解得．
所以．
所以住宅楼的高度为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟悉并掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
20．旗杆高度为
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
方案一：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解；
方案二：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解．
【详解】方案一：
解：由题意得，，．
．
．
．
，，，
．
答：旗杆高度为．
方案二：
解：由题意得，，，
．
．
，，，
．
．
答：旗杆高度为．
21．
【分析】利用相似三角形的对应边成比例可得相关的两个比例式，求得的长，加上1.5即为的高．
【详解】解：∵
∴四边形均为矩形，
∴，，，
∴
又∵
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
．
即
∴
且
∴．
答：电线杆的高度为.
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用；解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．
22．
【分析】作，交于M，如图，把题中数据与几何图中的线段对应起来，,点A、E、C共线，则，，然后证明，利用相似比计算出，再计算进行计算．
【详解】解：作，交于M，如图，
，点A、E、C共线，
则，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
即他所看到的乙楼上面的部分有7.8m高.
【点睛】本题考查了视点、视角和盲区：把观察者所处的位置定为一点，叫视点；人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．视线到达不了的区域为盲区．合理使用相似的知识解决问题．
23．10米
【分析】本题考查的是相似三角形的应用举例，先证明，可得，从而可得答案；
【详解】解：，
，
，
，
，
，
米．
24．48米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．先根据已知条件求出，再根据相似三角形的对应边成比例，解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：米，
∴的长为48米．
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