12.6等腰三角形同步练习（含解析）北京版数学八年级上册

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12.6等腰三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
2．等腰三角形的一条边长，另一条边长为，那么它的周长为（　　）
A． B． C．和 D．不能确定
3．如图所示，是的角平分线，过点作交于点，若，，则边的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，，，，则的周长是（ ）
A．18 B．20 C．26 D．28
5．已知等边的一边长为2，则它的周长是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
6．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
7．最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡． 如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形是边上的一点． 下列条件不能说明是的角平分线的是 （ ）

A． B． C． D．
8．如图，在中，是的角平分线，则的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．无法确定
9．已知等腰三角形的一边长为，周长为，则它的腰长为（ ）
A． B． C． D．或
10．已知等腰三角形的两边长分别为3和，则这个三角形的周长为（ ）
A． B．
C． D．或
11．给出下列三角形：①有两条边相等的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③有两个外角相等的三角形；④一条腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．②③
12．已知等腰三角形的两边长分别为和，则第三边的长是（）
A． B． C．或 D．
二、填空题
13．如图，在中，，，点为的中点，则 ．
14．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，．若，则的度数是 ．
15．用10个等边三角形拼成一个五边形如图所示，已知最小的等边三角形的边长是1，则最大的等边三角形（阴影部分）的边长为 ．
16．如图，在中，是的中线，已知，则的度数是 ．
17．如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ．
三、解答题
18．（1）【阅读理解】
如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明；
（2）【问题解决】
如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
19．如图，点在上，点在上，且，，，求的度数．
20．如图，在中，点在上，且，，求的度数．
21．在中，，且的顶点E在边上移动，在移动过程中，边，分别与，交于点M，N，
(1)当且M与A重合时，求证：
(2)当E为中点时，连接，求证：
22．如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，判断的形状为________，（不用写证明）；
(3)探究：当为_________度时，是等腰三角形．
23．如图，已知射线，，，若．求和的度数．
24．如图，在中，，点在上，点在上，，与相交于点，求证是等腰三角形．
《12.6等腰三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A C C C B B B
题号 11 12
答案 B B
1．B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定，如解析图中，当时，可证明此时是等边三角形，当时，是等腰三角形；再讨论讨论为等腰三角形时，符合题意的点D个数即可得到答案．
【详解】解：如图：当时，是等腰三角形；
∵，
∴是等边三角形，
∴；
当时，是等腰三角形；
当，，当时，都是等腰三角形；
综上，符合条件的点D的个数有6个．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
因为已知长度为和两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，为底，②为底，分类讨论即可．
【详解】解：当为底时，其它两边都为，
、、可以构成三角形，周长为；
②当为底时，其它两边为，
，
不能构成三角形，故舍去，
答案只有．
故选B．
3．C
【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再根据等角对等边得到，进而求解．
本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义和平行线的性质．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段和差的计算，确定是关键．
根据，得，则，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的周长是，
故选：A ．
5．C
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据等边三角形的三条边都相等进行求解即可．
【详解】解：由等边的一边长为2，可知：该等边三角形的三条边都为2，所以它的周长为6；
故选C．
6．C
【分析】此题考查等腰三角形的定义：两边相等的三角形是等腰三角形，三角形的三边关系，解题中注意运用分类思想避免漏解．
根据等腰三角形的定义分两种情况解答．
【详解】解：当等腰三角形的腰长为3时，则三边长分别为：3、3、7，
∵，
∴不能构成三角形；
当等腰三角形的腰长为7时，则三边长分别为：7、7、3，
∴该等腰三角形的周长为，
故选C．
7．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，，
，即是的高线，
是等腰三角形，，
是的角平分线，故A选项不符合题意；
B、是等腰三角形，，
是的角平分线，故B选项不符合题意；
C、若，不能说明是的角平分线，故C选项符合题意；
D、，
，
∴是的角平分线，故D选项不符合题意；
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的三线合一性质进行作答即可．
【详解】解：∵
∴是等腰三角形，
∵是的角平分线，
∴
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系；分两种情况讨论：为底边或腰长，结合三角形三边关系判断是否成立．
【详解】解：①当为底边时：
腰长为．
此时三边为、、，满足三角形三边关系（），成立．
② 当为腰长时：
底边长为．
此时三边为、、，但，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形．
综上，腰长只能为，
故选：B．
10．B
【分析】本题考查了二次根式的加法，等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【详解】解：当三边是3，3，时，，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三边是时，符合三角形的三边关系，此时周长是，
∴这个三角形的周长是，
故选：B．
11．B
【分析】此题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的定义，三角形的外角，熟练掌握等边三角形的判定是解决问题的关键．
根据等边三角形的判定定理，对题目中给出的四个三角形逐一进行甄别即可得出答案．
【详解】解：①有两条边相等的三角形是等腰三角形，证明不出等边三角形，故错误；
②有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，正确；
③有两个外角相等的三角形不一定是等边三角形，因为两个外角相等，则两个内角相等，只能证明为等腰三角形，故错误；
④由题意得，如图，
则，而，
∴，
∴，
∴，
故为等边三角形，
故④正确，
故选：B．
12．B
【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，应先根据“等腰三角形”的定义，明确第三边长可能为或，再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”进行判断：．
【详解】解：已知是等腰三角形，则第三边只能是3cm或6cm．
当三边长为，，时，因为，不满足三角形两边之和大于第三边的原则，故此情况不成立．
当三边长为，，时，因为，满足三角形两边之和大于第三边的原则，故此情况成立．
所以，该等腰三角形的第三边长是．
故选：B．
13．度/
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据等腰三角形的性质得到，再利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
，
，点为的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
14．/27度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
15．7
【分析】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．
根据题意，设第二小的等边三角形的边长为，而最小等边三角形的边长是，根据等边三角形的性质，列方程求解即可得到，从而得到最大的等边三角形（阴影部分）的边长．
【详解】解：如图，
设第二小的等边三角形的边长为，而最小等边三角形的边长是，
所以其它等边三角形的边长分别，，，，
由图形得，，解得，
所以最大的等边三角形（阴影部分）的边长为：，
故答案为：．
16．/85度
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，三角形的外角性质．因为是的中线，所以是等腰三角形，，求得，结合，利用三角形的外角性质即可作答．
【详解】解：是的中线，
是等腰三角形，，
，
，
，
故答案为：．
17．/度
【分析】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，利用等边三角形性质得到，结合题意进而得到，再根据三角形外角性质得到，即可解题．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
18．（1）见解析；（2），见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（1）延长到点，得，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据等腰三角形的判定，即可证明结论；
（2）延长到点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明为等边三角形，再证明，可得，即可进一步证明结论．
【详解】解：（1）延长到点，得，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
（2）．理由如下：
延长到点，使得，连接，
由（1）知，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
．
19．
【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，学会运用代数法解决几何计算问题，这是一种重要的方法，要熟练掌握．
设，则可利用等腰三角形的两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，，，最后利用三角形的内角和求出x，就可以得出答案．
【详解】解：设，
，
∴，
，
又，
，
，
∵，
∴，
，
，
，
∴，
．
故答案为：．
20．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，外角定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据等边对等角结合三角形的内角和定理，以及外角定理即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，
（1）根据等腰直角三角形的性质可得，利用三角形外角的性质与等量代换可得，在根据全等三角形的判定即可证明；
（2）连接，在上截取，根据等腰直角三角形的性质可得，，证得，可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：连接，在上截取，
∵，，E为中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．(1)见解析
(2)直角三角形
(3)125或140或110
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由全等三角形的性质可得，再结合即可得证；
（2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，即可得解；
（3）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，，再由三角形内角和定理可得，分三种情况：当时；当时； 当时；分别求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：当时，的形状为直角三角形，
∵是等边三角形
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴当时，的形状为直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（3）解：∵是等边三角形
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，
∴当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述，当为125或140或110度时，是等腰三角形．
故答案为：125或140或110．
23．，
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点得到是解题的关键．根据题意可知，结合，即可求出的度数，再由等腰三角形的性质推出，，最后利用三角形外角的性质得到，即可求出．
【详解】解：，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
24．见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应角相等，再利用等腰三角形的性质推导得出中两角相等，进而判定其为等腰三角形．
先根据得出是等腰三角形，得到；再利用判定和全等，得出对应角；最后用减去减去，得到，从而判定是等腰三角形．
【详解】证明：∵，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴是等腰三角形．
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