12.9逆命题、逆定理同步练习（含解析）北京版数学八年级上册

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12.9逆命题、逆定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．若两个实数相等，则它们的绝对值相等
B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形的对应角相等
D．两直线平行，内错角相等
2．下列说法错误的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理
C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题
3．下列命题的逆命题中正确的是（ ）
A．直角都相等 B．同旁内角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．同旁内角互补，两直线平行
4．下列三个定理中，存在逆定理的有（ ）
①同角的余角相等；
②同位角相等，两直线平行；
③同角的补角相等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．等腰三角形的两底角相等
C．对顶角相等
D．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形
6．下列命题的逆命题不正确的是（ ）
A．三边对应相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等
C．等腰三角形的两个底角相等 D．等边三角形的三个内角相等
7．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．若，则
B．全等三角形的对应角相等
C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
D．垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
8．下面关于公理和定理的说法不正确的是（ ）
A．公理和定理都是真命题
B．真命题可能是定理
C．公理就是定理，定理也是公理
D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
9．命题“若，则”的逆命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．下列定理有逆定理的是（ ）
A．对顶角相等
B．等角的补角相等
C．同角的余角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
11．下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．全等三角形的对应边相等
C．相反数的绝对值相等
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点之间的距离相等
二、填空题
12．“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是 ．
13．写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题 ．
14．一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ；等腰三角形的两边长为和，则该等腰三角形的周长为 ；定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是 ．
15．填空：
（1）命题“两直线平行，内错角相等”的条件是 ，结论是 ，这个命题的逆命题的条件是 ，结论是 ．
（2）命题“如果，那么”的条件是 ，结论是 ，这个命题的逆命题是 ．
16．已知命题“如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数”，则关于该命题和它的逆命题，给出下列说法：该命题和它的逆命题都是真命题；该命题是真命题，它的逆命题是假命题；该命题是假命题，它的逆命题是真命题；该命题和它的逆命题都是假命题．其中正确的是 ．（填序号）
三、解答题
17．写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假．
(1)两个全等的三角形的周长相等；
(2)如果，，那么．
18．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立．
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等．
19．写出下列命题的逆命题：
(1)如果，那么；
(2)同角的余角相等；
(3)如果，那么；
(4)等腰三角形的两个底角相等．
20．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？
(1)如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；
(2)等边三角形是锐角三角形；
(3)如果两个角是直角，那么它们相等；
(4)角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
21．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？
(1)同旁内角互补，两直线平行；
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
(3)全等三角形的对应边相等
《12.9逆命题、逆定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D B C B D C D D
题号 11
答案 C
1．D
【分析】本题考查了逆命题及命题真假的判断，熟练掌握写命题的逆命题，全等三角形、平行线、实数绝对值的相关性质和判定，是解题关键．
交换原命题的题设和结论部分得到四个命题的逆命题，然后根据平行线的判定、全等三角形的判定和绝对值的意义进行判定即可．
【详解】解：A、若两个实数相等，则它们的绝对值相等的逆命题为绝对值相等的两个实数相等，不成立；
B、全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形全等，不成立；
C、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立；
D、两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两直线平行，成立．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题和定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意；
B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意；
C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意；
D、如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它叫做原定理的逆定理.故定理的逆定理一定是真命题，本选项不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据直角的定义对A进行判断；根据平行线的判定方法对B、D进行判断；根据全等三角形的性质对C进行判断；首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
【详解】解：A、直角都相等的逆命题是：相等的角是直角，错误，不符合题意；
B、同旁内角相等的逆命题是：相等的角是同旁内角，错误，不符合题意；
C、全等三角形的对应角相等的逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，错误，不符合题意；
D、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，正确，符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】本题考查的是真假命题的判断，逆命题，逆定理的含义，先分别写出命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可得到答案．
【详解】解：同角的余角相等的逆命题是：相等的两个角是同一个角的余角；该逆命题是假命题，不存在逆定理，故①不符合题意；
同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等；该逆命题是真命题，存在逆定理；故②符合题意；
同角的补角相等的逆命题是：相等的两个角是同一个角的补角；该逆命题是假命题，不存在逆定理，故③不符合题意；
故选：B
5．C
【分析】本题考查命题与定理，写出各定理的逆命题，再判断真假，逆命题为假命题的即符合题意．
【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”，逆命题为真命题，故A不符合题意；
B 、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题为真命题，故B不符合题意；
C 、对顶角相等的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，逆命题是假命题，故C符合题意；
D 、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形逆命题是等边三角形有一个角等于，且三角形是等腰三角形，逆命题是真命题，故D不符合题意；
故选：C．
6．B
【分析】本题考查逆命题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定，解题的关键是正确找出各选项的逆命题．根据求逆命题的原则，把原命题的结论作为条件，原命题的条件作为结论得到的命题是原命题的逆命题，逐一判断逆命题的正误即可．
【详解】解：A的逆命题是：两个全等三角形的三边对应相等，正确，故不符合题意；
B的逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，错误，故符合题意；
C的逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，故不符合题意；
D的逆命题是：三个内角相等的三角形是等边三角形，正确，故不符合题意．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了逆命题的真假性，先写出各选项的逆命题，再判断其真假，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、“若，则”的逆命题为“若，则”，反例：当，时，，但，故逆命题不成立，不符合题意；
、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，反例：两个相似但大小不同的三角形对应角相等，但未必全等，故逆命题不成立，不符合题意；
、“如果两个数相等，则它们的绝对值相等”的逆命题为“若两个数的绝对值相等，则它们相等”，反例：和的绝对值相等，但，故逆命题不成立，不符合题意；
、“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，根据垂直平分线性质定理的逆定理，该命题成立，符合题意；
故选：．
8．C
【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键．
公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意；
B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意；
C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意；
D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
9．D
【分析】本题考查写出命题的逆命题，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，据此即可得出答案．
【详解】解：原命题为“若，则”，其逆命题是将原命题的条件和结论交换，即“若，则”．
故选：D
10．D
【分析】本题主要考查了逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
分别写出各个选项的条件和结论互换的说法，然后进行判断即可．
【详解】解：A、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，错误，故没有逆定理，不符合题意；
B、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是等角的补角，错误，故没有逆定理，不符合题意；
C、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，错误，故没有逆定理，不符合题意；
D、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，且是逆定理，符合题意，
故选：D．
11．C
【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确写出命题的逆命题是解题的关键．
先写出各个命题的逆命题，根据等腰三角形判定定理、全等三角形的判定定理、绝对值和相反数的性质、线段垂直平分线的判定定理判断即可．
【详解】解：A、等腰三角形的两底角相等的逆命题为有两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题，故此选项不符合题意；
B、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，成立，不符合题意；
C、相反数的绝对值相等的逆命题是绝对值相等的数是互为相反数，逆命题是假命题，如两个相等的数的绝对值相等，但它们不是互为相反数，故符合题意；
D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上，成立，不符合题意；
故选：C．
12．平行四边形是两组对边分别相等的四边形
【分析】本题考查命题的逆命题，熟练掌握“逆命题是将命题的条件和结论互换得到的命题”是解题的关键．将原命题的条件和结论互换，即可得到逆命题．
【详解】解：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是“平行四边形是两组对边分别相等的四边形”，
故答案为：平行四边形是两组对边分别相等的四边形．
13．面积相等的三角形全等
【分析】本题考查了命题的逆命题，对于两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，据此解答即可求解，找出命题的题设和结论是解题的关键．
【详解】解：“全等三角形的面积相等”的逆命题是面积相等的三角形全等，
故答案为：面积相等的三角形全等．
14． 或 到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质的逆定理等知识点，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据三角形内角和定理结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可；由等腰三角形的性质结合三角形三边关系即可求出等腰三角形的周长；再根据线段垂直平分线的性质的逆定理求解即可．
【详解】解：∵等腰三角形的一个内角的度数为，
当等腰三角形的底角为时，则顶角为；
当等腰三角形的顶角为时，则顶角为；
∴它的顶角度数为：或；
等腰三角形的两边长和，
当腰长为，则等腰三角形三边长为，
∵，不能构成三角形，故舍去；
当腰长为，则等腰三角形三边长为，
∵，能构成三角形，
∴该等腰三角形的周长为；
定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是“到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”；
故答案为：或；；到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ．
15． 两直线平行 内错角相等 内错角相等 两直线平行 如果，则．
【分析】本题考查了命题的组成部分（条件和结论）以及逆命题的概念，解题的关键是明确命题中“如果”引导的部分是条件，“那么”引导的部分是结论，逆命题则是将原命题的条件和结论互换得到的命题．
（1）对于给定命题，先分离出条件和结论，条件是命题成立的前提，结论是由条件推出的结果；再通过交换原命题的条件和结论得到逆命题，进而确定逆命题的条件和结论．
（2）同样先找出原命题的条件（“如果”后的部分）和结论（“那么”后的部分）；再将条件和结论互换，得到该命题的逆命题．
【详解】解：（1）命题“两直线平行，内错角相等”可改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”．
因此，条件是“两直线平行”，结论是“内错角相等”．
其逆命题是“如果内错角相等，那么两直线平行”，所以逆命题的条件是“内错角相等”，结论是“两直线平行”．
（2）命题“如果那么”中，
条件是“”，结论是“”．
将条件和结论互换，得到逆命题是“如果那么”．
故答案为：（1）两直线平行；内错角相等；内错角相等；两直线平行；
（2）如果那么．
16．
【分析】此题考查了互逆命题，根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答，即可求出答案，掌握互逆命题的定义即两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题的关键．
【详解】解：如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数，是真命题，
则它逆命题为：如果一个数为负数，那么这个数的立方根是负数，是真命题，
∴该命题和它的逆命题都是真命题，
故答案为：．
17．(1)逆命题：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等．判断：逆命题是假命题
(2)逆命题：如果，那么，．判断：逆命题是假命题．
【分析】本题考查了逆命题，全等三角形的判定，有理数的乘法，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键．
根据题意写出逆命题，然后判断真假即可．
【详解】（1）逆命题：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等．
∵周长相等的两个三角形不一定全等，
∴逆命题是假命题；
（2）逆命题：如果，那么，．
∵如果，则，或，．
∴逆命题是假命题．
18．(1)同位角相等，两直线平行，该真命题
(2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们也相等，为假命题
(3)如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题
【分析】本题主要考查了逆命题以及判定命题的真假，熟练掌握相关知识是解题关键．一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题．
（1）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据平行线的判定定理即可确定该逆命题为真命题；
（2）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据绝对值的性质即可确定该逆命题为假命题；
（3）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定定理可知该逆命题为假命题．
【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行，该真命题；
（2）解：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题；
（3）解：如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题．
19．(1)如果，那么
(2)相等的两个角是同一个角的余角
(3)如果，那么
(4)有两个角相等的三角形是等腰三角形
【分析】本题考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题的概念是解决本题的关键．
（1）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解；
（2）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解；
（3）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解；
（4）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解．
【详解】（1）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么；
（2）解：同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角；
（3）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么；
（4）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
20．(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
(4)见详解
【分析】本题考查了命题和逆命题，命题的真假，角平分线的判定，等边三角形的概念，乘法法则，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】（1）解：原命题的条件是两个实数均为正数，结论是它们的积为正数．
逆命题的条件是积为正数，结论是两数均为正数；
即逆命题：如果两数的积为正数，那么这两数均为正数，
但两个负数的积也为正数（如），因此逆命题不成立；
（2）解：原命题的条件是等边三角形，结论是锐角三角形，
逆命题的条件是锐角三角形，结论是等边三角形，
即逆命题：锐角三角形是等边三角形，
但锐角三角形只需三个角均为锐角（如的三角形），不一定是等边三角形，故逆命题不成立；
（3）解：原命题的条件是两个角是直角，结论是它们相等；
逆命题的条件是两角相等，结论是它们为直角．
即逆命题：如果两角相等，那么它们为直角；
但相等的角可以是任意度数（如），不一定是直角，故逆命题不成立；
（4）解：原命题的条件是点在角内部且到两边距离相等，结论是点在角平分线上．
逆命题的条件是点在角平分线上，结论是到两边距离相等．
即逆命题：如果点在角平分线上，那么它到两边距离相等．
根据角平分线性质定理，角平分线上的点到两边距离相等，故逆命题成立．
21．(1)两直线平行，同旁内角互补；成立
(2)如果两个实数的平方相等，那么它们相等；不成立
(3)如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；成立
【分析】本题主要考查命题与逆命题，解此题的关键在于准确写出逆命题，且熟练掌握各个基本知识点．
首先写出各自的逆命题，再根据所学知识进行判断：
（1）逆命题：两直线平行，同旁内角互补，根据平行线的性质定理，命题成立；
（2）逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等；如果两个实数的平方相等，那么它们不一定相等，有可能互为相反数，命题不成立；
（3）逆命题：如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；如果两个三角形的三条对应边相等，则它们一定全等，命题成立．
【详解】（1）解：逆命题：两直线平行，同旁内角互补；
根据平行线的性质定理，命题成立；
（2）解：逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等；
如果两个实数的平方相等，那么它们不一定相等，有可能互为相反数，命题不成立；
（3）解：逆命题：如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；
如果两个三角形的三条对应边相等，则它们一定全等，命题成立．
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