10.5 分式方程 同步练习（含解析）北京版数学八年级上册

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10.5分式方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知一艘轮船顺水航行50千米和逆水航行30千米共用的时间正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是3千米/小时，设轮船在静水中的速度为x千米/小时，则顺水航行的速度是（ ）
A．15千米/小时 B．12千米/小时 C．10千米/小时 D．9千米/小时
3．分式方程的增根是( )
A． B．0 C．3 D．0或3
4．某商店销售一种休闲上装，月份的营业额为元．为了扩大销售，在月份将每件上装按原价的折销售，销售量比月份增加了件，营业额比月份增加了元．设月份每件上装的售价为元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．DeepSeek公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．x+（x-2）=1.2
6．下列关于的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．芦笙，为西南地区苗、瑶、侗等民族的簧管乐器．发源于中原，后传入少数民族地区，其前身为汉族的竽．在贵州各地少数民族居住的村寨，素有“芦笙之乡”“歌舞之乡”的称誉，是少数民族特别喜爱的一种乐器之一．已知A型芦笙比B型芦笙的单价低20元，用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，设B型芦笙的单价为x元，根据题意列出正确的方程是（ ）
A． B． C． D．
9．分式方程的解是
A． B． C． D．无解
10．关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
11．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ）
A． B．1或0 C．1 D．1或
12．某校准备开展防溺水知识竞赛，用元经费购买甲，乙两类奖品共件，且经费全部用完，已知奖品甲的单价与奖品乙的单价之比为，购买奖品甲用了元．为了求出购买的这两种奖品的单价，小齐列出方程“”，则他所列方程中的x表示的意义为（ ）
A．奖品甲的件数 B．奖品甲的单价
C．奖品乙的件数 D．奖品乙的单价
二、填空题
13．若关于的分式方程有增根，则的值是 ．
14．若关于的分式方程在实数范围内无解，则实数的值为 ．
15．已知分式方程，则其解为 ．
16．分式方程的解是 ．
17．若关于的分式方程无解，则的值为 ．
三、解答题
18．解分式方程：
19．为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠米，由甲、乙两个施工队同时开工合作修建，直至完工．甲施工队每天修建灌溉水渠米，乙施工队修建米后，通过技术更新，每天比原来多修建，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米．
20．解分式方程：．
21．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚；
解方程
(1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程；
(2)小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值
(3)小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围．
22．解方程：
(1)
(2)
23．某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
请求出排球的单价是多少元？
24．已知，且，求x的值．
《10.5分式方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C D C B A A C C
题号 11 12
答案 D A
1．C
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
设骑车学生的速度为x千米/小时，根据题意列出分式方程即可．
【详解】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，
根据题意得，．
故选C
2．A
【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
由题意知，逆水速度为千米／小时，顺水速度为千米／小时，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：由题意知，逆水速度为千米／小时，顺水速度为千米／小时，
由题意得，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴顺水航行的速度是千米/小时．
故选：A．
3．C
【分析】本题主要考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程的增根问题是解题的关键．根据分式方程的增根问题可进行求解．
【详解】解：由可知当时，分式方程有增根，
∴该分式方程的增根为；
故选：C．
4．D
【分析】本题考查列分式方程．
设月份每件上装的售价为元，则月份每件上装的售价为元，根据销售量增加件和营业额增加元的条件，列方程即可．
【详解】解：设月份每件上装的售价为元，则月份每件上装的售价为元，
月份的销售量为件，月份销售量为件，
根据题意得，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查分式方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．
设单独处理需要x小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作1.2小时完成，可得出方程．
【详解】解：依题意得，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可．
【详解】解：②，④是分式方程；
①，③是一元一次方程；
所以是分式方程的是②④，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键．
【详解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程；
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了由实际问题，抽象出分式方程．设设B型芦笙的单价为x元，则A型芦笙的单价为元，根据用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，列方程即可．
【详解】解：设B型芦笙的单价为x元，则A型芦笙的单价为元，
根据题意可得．
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选C．
10．C
【分析】本题考查了分式方程的解以及解不等式，先求得方程的解，再把转化成关于的不等式，求得的取值范围，注意．
【详解】解：，
方程两边都乘以，得：，
解得：，
方程的解是正数，
且，
解得：且，
故选：C．
11．D
【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可．
【详解】解：原方程去分母得，
整理得，
当时，
无解，那么原方程无解，符合题意，
当时，
若方程无解，那么它有增根，
则，
解得：，
综上，m的值为1或，
故选：．
12．A
【分析】本题考查了分式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意，设为甲类奖品的件数，则乙类奖品的件数为，根据甲、乙单价之比为，可验证符合小齐所列方程，故代表甲类奖品的件数．
【详解】解：设为甲类奖品的件数，则乙类奖品的件数为，
∴甲类单价为元，乙类单价为元，
根据单价比，得方程：，
∴表示奖品甲的件数，
故选：A．
13．
【分析】此题考查了利用分式方程的根的情况求参数，正确掌握分式方程的解法及增根的意义是解题的关键．先将分式方程去分母化为整式方程求出解，再根据分式方程有增根得，即可求出答案．
【详解】解：将方程去分母，得
解得：
∵方程有增根，
∴
∴
解得：
故答案为：．
14．1
【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程无解的一种情况是，其化简后的整式方程的解是使原分式方程分母为0的增根，可以根据增根的意义列出方程，求出a的值，先把分式方程转化成整式方程，根据分式方程无解得出分母，求出x的值，把x的值代入整式方程求出即可．
【详解】解：，
去分母得：，
即，
关于x的分式方程的实数范围内无解，
，
，
．
故答案为：1．
15．
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可．
【详解】解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：或，
经检验，是分式方程的解，是分式方程的增根，
故原方程的解为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：方程两边乘以得，，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：．
17．或
【分析】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解分两种情况，分别求的值即可．
【详解】解：，
整理得：，
解得：，
∵分式方程无解，
当分式方程有增根时，，则，
此时，
解得：；
当整式方程无解时，，
解得：，
综上可知，的值为或，
故答案为：或．
18．
【分析】本题考查了解分式方程，先去分母得，再计算得，最后验根，即可作答．
【详解】解：∵，
整理得，
去分母得，
则，
解得，
经检验：当时，，
故是原分式方程的解．
19．米
【分析】设乙施工队原来每天修建灌溉水渠米，则技术更新后每天修建水渠米，根据题意，列出方程，解出方程，即可．
【详解】解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠米，则技术更新后每天修建水渠米，
（米），
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠米．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的运用．
20．分式方程无解
【分析】将分式方程去分母化为一元一次方程求解并检验根是否为增根即可．本题考查可化为一元一次方程的分式方程的求解，掌握分式方程解法是求解的关键．
【详解】
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
解得，
检验：
当时，，
是增根，舍去，
原分式方程无解．
21．(1)
(2)
(3)且
【分析】本题主要考查解分式方程，理解增根，分式方程的解为正数，掌握把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程的方法是解题的关键，注意检验根是否使原分式方程有意义．
（1）根据解分式方程的方法，去分母化为一元一次方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1得方法计算，最后检验根，由此即可求解；
（2）根据解分式方程的方法可得，把方程的增根是代入计算即可求解；
（3）根据解分式方程的方法可得，再根据方程的解为正数可得，同时保证原分式方程有意义，即，由此即可求解．
【详解】（1）解：当“？”猜成时，原式为，
∴，
两边同时乘以去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验，当时，，
∴原分式方程的解为；
（2）解：“？”代表的数为，
∴原式为，
∴，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
∵方程的增根是，原分式方程无解，
∴把代入得，，
解得，；
（3）解：“？”代表的数为，
∴，
∴，
∴由上述计算可得，，
∵方程的解为正数，
∴，
解得，，
∵，即，
∴，
解得，，
∴且．
22．(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．
（1）方程两边同时乘化成整式方程，然后解这个方程并检验即可；
（2）方程两边同时乘化成整式方程，然后解这个方程并检验即可．
【详解】（1）解：，
∴
方程两边同时乘，
可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
（2）解：，
∴，
方程两边同时乘，
可得：，
整理得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程无解．
23．排球的单价为100元
【分析】本题考查了分式方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键．
设排球单价为元，则篮球单价为元，根据“用2000元购买的排球个数和用3200元购买的篮球个数相等”列方程求解即可．
【详解】解：设排球单价为元，则篮球单价为元，
由题意得：，
解得，
经检验，为原方程的解，
答：排球的单价为100元．
24．
【分析】此题考查解分式方程，掌握运算法则是解题关键，本题可先根据，得出的值，然后将等式化简求解．
【详解】解：∵
∴
∴，
，
，
∵
∴
∴
得．
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