11.4无理数与实数 同步练习（含解析）北京版数学八年级上册

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11.4无理数与实数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．实数，，，，中，无理数的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．下列各数中：（3和3之间的0的个数依次增加1个），，无理数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
4．无理数的小数部分可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．有理数是有限小数 B．无限小数都是无理数
C．无理数可以写成分数的形式 D．无理数是无限不循环小数
6．在实数3.14，，，中，无理数是（ ）
A．3.14 B． C． D．
7．的绝对值是（ ）
A． B． C．2 D．
8．如图，数轴上的点A表示的数为2，，以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于C，D两点，点C在点A右侧，则点C表示的数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，数轴的一段被遮挡，下列各点可能被遮盖的是（ ）
A．表示的点 B．表示的点
C．表示的点 D．表示的点
10．若 ，则，x，的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
11．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（ ）．
A．8 B． C．2 D．
二、填空题
13．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．实数的相反数为 ．
15．二次根式中的取值范围是 ．
16．的整数部分是 ．
17．在实数，，0，，，，…相邻两个1之间0的个数逐次加中，无理数的个数是 个．
三、解答题
18．把下列各数填在相应的大括号内：
-2.5，0，，，-2，－0.，8，1.121121112…，．
无理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
负分数集合{ …}．
19．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
①，②，③0，④，⑤，⑥（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）．
20．如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片．
(1)大正方形纸片的边长为____；
(2)若另找一个与此大正方形大小一样的正方形纸片，并沿其大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由．
21．已知数，，，3.1416，，0，，…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）．
(1)写出所有有理数；
(2)写出所有无理数．
22．下面是王老师在数学课堂上给同学们出的一道数学题，要求对以下实数进行分类填空：，0，0.3（3无限循环），，18，，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，，，0.8080080008…，
（1）有理数集合：_____；
（2）无理数集合：_____；
（3）非负整数集合：_____；
王老师评讲的时候说，每一个无限循环的小数都属于有理数，而且都可以化为分数．
比如：0.3（3无限循环）=，那么将1.21（21无限循环）化为分数，则1.21（21无限循环）=_____（填分数）
23．教材中，如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2的大正方形，它的边长是无理数．由此启发，我们可以尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形的方式找出其他无理数的大小．

如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形．
(1)所得到的小正方形的边长为______；大正方形的边长为______．
(2)把图2中的正方形放在数轴上，如图3，点C表示的数为1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B翻滚到数轴上的点P时，记为第一次翻滚，点A翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推．是否存在正整数n．使得该正方形经过n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与数轴上的2025重合？
24．图①是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．
(1)在图①中，拼成的大正方形的面积为_______，边的长为_______；
(2)估算正方形的边长在哪两个整数之间；
(3)现将图①水平放置在如图②所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示 的点重合，若以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E 表示的数．
《11.4无理数与实数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C D D D B A B C
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】本题考查了无理数的识别，熟练掌握无理数的定义是解答本题的关键．
根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数．
【详解】解：是有理数；是无理数，是有理数，是无理数，是无理数，
无理数的个数有3个，
故选：C．
2．D
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【详解】解：，，，
∴、、是整数，是分数，是小数，它们不是无理数；
，（3和3之间的0的个数依次增加1个），是无限不循环小数，它们是无理数，一共3个；
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了算术平方根的意义，实数与数轴，求得是解题的关键．
根据正方形的面积得出正方形的边长为，从而可得，进而得到点E所表示的数．
【详解】J解：正方形的面积为3，
正方形的边长为，
∴，
E点所表示的数为．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查无理数的估算，掌握无理数大小判断和估算是解题关键．
判断的范围，求出其整数部分，从而可得的整数部分，用减去整数部分即可得到其小数部分．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴无理数的整数部分是6，
小数部分是，
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了无理数．根据无理数的定义解答即可．
【详解】A、有理数是整数和分数，故本选项错误，不符合题意；
B、无限不循环小数是无理数，故本选项错误，不符合题意；
C、无理数不可以写成分数的形式，故本选项错误，不符合题意；
D、无理数是无限不循环小数，故本选项正确，符合题意；
故选：D
6．D
【分析】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数是无理数．
根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数即可．
【详解】选项A：3.14是有限小数，可化为分数，属于有理数；
选项B：是分数，属于有理数；
选项C：，是整数，属于有理数；
选项D：无法表示为整数或分数，且是无限不循环小数，属于无理数．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查实数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的绝对值是，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了实数与数轴，由题意得：，结合点C在点A右侧即可求解；
【详解】解：由题意得：；
∵点C在点A右侧，
∴点C表示的数是；
故选：A
9．B
【分析】本题考查了无理数的大小估算，由图可知，被手掌遮挡住的数在和之间，估算出无理数所在的范围，即可判断出被手掌遮挡住的数可能是哪一个．
【详解】解：A选项：，∴，即在和之间，故A选项不符合题意；
B选项：，∴在和之间，故B选项符合题意；
C选项：，在和之间，故C选项不符合题意；
D选项：，∴在和之间，故D选项不符合题意．
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了正数的大小比较．熟练掌握正分数和它的倒数，它的平方数的大小关系，是解题的关键．
当 时，得且，即．
【详解】由于，
当分数自乘时结果更小，故 ．
如，则．
∵，，
∴ ，
∴ ．
如，则 ．
综上，．
应选项C．
11．B
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可．
【详解】解：①当时，不是二次根式；
②当时，不是二次根式；
③是二次根式；
④当时，不是二次根式；
⑤是二次根式；
⑥是二次根式．
故选B．
12．D
【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义按照流程图顺序计算即可．
【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数，
故将8取立方根为2，是有理数，
将2取算术平方根得，是无理数，
故选：D．
13．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是列出不等式求解．
根据二次根式有意义，列出不等式求解．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴．
故答案为： ．
14．
【分析】本题考查实数的相反数，的相反数是，据此求解．
【详解】实数的相反数为，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握相关知识解题关键．
根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式，计算即可求解．
【详解】解：根据题意，得：，
．
故答案为：．
16．2
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法可得的取值范围，进而可求出的取值范围，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是2，
故答案为：2．
17．4
【分析】本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念及常见形式是关键．
无理数是无限不循环小数，常见无理数有：含有的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数（如…相邻两个1之间0的个数逐次加1），由此即可求解．
【详解】解：，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，它们是无理数，共4个，
故答案为：4．
18．见解析
【分析】根据无理数为无线不循环小数，整数包括正整数、0、负整数；负分数包括负有限小数与无限循环小数等，依次判断即可．
【详解】解：无理数集合：{，1.121121112…}；
整数集合：{0，-2，8}；
负分数集合{-2.5，－0.，}．
【点睛】题目主要考查有理数的分类，理解无理数、整数及负分数的定义是解题关键．
19．解：有理数：①③④⑤；无理数：②⑥．
【分析】本题考查了有理数和无理数的概念辨析，解题的关键是掌握有理数（整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）的定义特征．
根据有理数是有限小数或无限循环小数、无理数是无限不循环小数的定义，对每个数逐一进行判断，区分出有理数和无理数．
【详解】解：①是有限小数，属于有理数；
②是无限不循环小数，属于无理数；
③0是整数，属于有理数；
④是分数，属于有理数；
⑤是无限循环小数，属于有理数；
⑥（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数．
因此，有理数有①③④⑤，无理数有②⑥．
20．(1)8
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查正方形和长方形的面积公式、求一个数的算术平方根、无理数的估算，理解题意，正确求解是解答的关键．
（1）根据正方形的面积公式求解即可；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，根据长方形的面积公式和无理数的估算得到,进而可得结论．
【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积为，
大正方形的边长是
故答案为：8．
（2）解：不能，理由为：
设长方形纸片的长为，宽为，
由题可列：
解得：，（舍）
大正方形的边长为，
，
答：沿此大正方形边的方向裁剪不能裁剪出长方形纸片的长、宽之比为，且面积为．
21．(1)有理数：，3.1416，，0，；
(2)无理数：，…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）．
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．
（1）首先计算乘方，然后根据有理数的定义分别作答即可；
（2）根据无理数的定义分别作答即可．
【详解】（1）解：，
有理数：，，3.1416，，0，；
（2）解：无理数：，…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）．
22．（1）0，0.3（3无限循环），，18，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，；（2），，，0.8080080008…，；（3）0，18，；
【分析】本题主要考查了实数，解决本题的关键是熟记实数的分类；
（1）根据有理数的定义，即可解答；
（2）根据无理数的定义，即可解答；
（3）非负整数集合包括0和正整数，即可解答．
【详解】解：有理数集合：，无限循环，，，，无限循环，，，；
无理数集合：，，，，；
非负整数集合：，，；
设（21无限循环），则（21无限循环），
（21无限循环）（21无限循环），
，
S；
故1.21（21无限循环）
23．(1)1；
(2)不存在
【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握等面积法是掌握算术平方根和无理数的意义．
（1）根据图形可求出小正方形的边长；根据大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积求出大正方形的面积，进而可求出大正方形的边长；
（2）判断是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论．
【详解】（1）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；
大正方形的面积为：，边长为；
故答案为：1；；
（2）解：不存在．
理由：假设存在正整数，则，
，
，
n为正整数，
为有理数，而为无理数，
上式等号不成立．即不存在正整数．
24．(1)10；
(2)3和4之间
(3)或
【分析】本题考查了算术平方根的应用以及数轴与实数，掌握算术平方根的估值方法、数形结合，是解题的关键．
（1）利用图形剪拼前后面积不变求解；
（2）利用算术平方根的估值方法求解；
（3）根据实数与数轴的关系求解，注意要分两种情况求解．
【详解】（1）剪开前图形的面积等于，剪拼前后图形面积不变，
拼成的大正方形的面积10，
正方形的边长为，
．
（2）由（1）知，正方形的边长为，
，
，
正方形的边长在3和4之间．
（3）由（1）知正方形的边长为，
，
又点B与数轴上表示的点重合，
点E表示的数为或．
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