“物理”中的开方运算
生活中有些问题既会用数学方法和数学思维，也会用到物理科学思维，而有些问题中借助公式的运算与同学们正在学习的开方（开平方和开立方）运算息息相关.下面举例解析，供同学们参考.
例1 在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64 cm3，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了cm.请问：烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
解析：根据题意，得正方体铁块的体积为64 cm3，所以棱长为=4（cm）.
设烧杯内部的底面半径为r cm.
由圆柱的体积计算公式，得πr2×=64，解得r=6或r=-6.（负值舍去）
答：烧杯内部的底面半径为6 cm，铁块的棱长为4 cm.
例2 在地球引力的作用下，物体从某一高度落下，速度会越来越快，即地球引力会使下落的物体加速下落.在物理学中，把地球引力给下落物体带来的加速度称为重力加速度，用g表示，g≈10 m/s2，物体下落的高度h（m）与物体下落的时间t（s）之间的关系是h=gt2.王鹏发现头顶上空80 m处有一危险重物自由下落，该重物落地后的伤害半径为20 m，王鹏逃离的速度为6 m/s，则他能逃离危险吗？
解析：他能逃离危险.
因为h=gt2，当h=80 m，g≈10 m/s2时，80=×10t2，解得t=4或t=-4.（负值舍去）
王鹏逃离的路程为6×4=24（米）.
因为24＞20，所以他能逃离危险.
牛刀小试：电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q=I2Rt.
（1）若导线电阻为5 Ω，电流为A，则1 s时间导线产生的热量是多少？
（2）若导线电阻为5 Ω，1 s时间导线产生的热量为80 J，则电流I的值是多少？
牛刀小试参考答案：（1）1 s时间导线产生的热量是30 J.
（2）电流I的值是4 A.谨防二次根式运算中的陷阱
一、运算顺序出错
例1 计算：．
错解：原式=÷3=.
剖析：将二次根式的系数、二次根式分别运算，然后再相乘；同级运算要按从左到右的顺序依次进行.
正解：_______________.
二、合并二次根式出错
例2 计算：.
错解：原式＝；
剖析：将二次根式化成最简二次根式后，将被开方数相同系数合并，但不能漏掉被开方数．
正解：_____________________．
三、结果没有化为最简二次根式
例3 计算：．
错解：原式＝＝．
剖析：不是最简二次根式，应化为后再合并．
正解：__________________________.
四、错用运算法则
例4 计算：-．
错解：原式＝-+＝2+3-3+1＝3．
剖析：第一处错误是错用了二次根式的除法法则，将根号内的数与根号外的数直接相除；第二处错误是忽视分数线的括号作用．
正解：_________________．
参考答案：
例1 原式===.
例2 原式＝.
例3 原式==.
例4 原式=.对比学方根
平方根、算术平方根、立方根，这三个概念既有联系，又有区别，容易混淆.下面采用列表的方式给予归纳概括．
算术平方根 平方根 立方根
概念 若（x≥0），则x叫做a的算术平方根 若，则x叫做a的平方根 若，则x叫做a的立方根
表示方法
a的取值范围 a≥0 a≥0 a为任意实数
性质 正数有一个算术平方根；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根 正数的平方根有两个；②0的平方根是0；③负数没有平方根 ①正数的立方根是正数；②0的立方根是0；③负数的立方根是负数
重要结论
求法 开平方（取非负值） 开平方 开立方
注意：1.对于有两点意义要理解：（1）被开方数a是非负数，即a≥0；（2）也是非负数，即≥0.
2.开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0可以进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个非负数；但“开平方”只有正数和0才可以“开平方”，负数不能开平方.
因为平方和开平方互逆，故可通过平方来找一个数的平方根，也可验算平方根是否正确.
3.开立方与立方运算互为逆运算.
因为开立方和立方互逆，故可通过立方来找一个数的立方根，也可验算立方根是否正确.巧估算 妙解题
关于估算方根的取值问题，常用的方法是“夹逼法”，以二次方根为例，即先找到被开方数介于哪两个平方数之间，然后求找到的两个平方数的算术平方根，进而解决问题．如估算在哪两个连续整数之间，可找到与23相邻的两个平方数是16和25，所以＜＜，即4＜＜5．估算一个数的大小，是近几年中考热点，下面举例说明．
一、估算范围
例1 估计﹣4的值在（ ）
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
解析：因为49＜54＜64，所以7＜＜8．所以3＜﹣4＜4.故选D．
二、利用估算比较大小
例2 比较大小： 3．（选填“＞”“＜”“＝”中的一个）
解析：因为4＜7＜9，所以＜＜，即2＜＜3.故填＜．
三、利用估算求最接近的整数
例3 与2+最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：因为9＜15＜16，所以3＜＜4．而15﹣9＞16﹣15，所以更接近4．所以2+更接近6．故选C．
四、通过估算进行计算
例4 若两个连续的整数a，b满足a＜＜b，则的值为 ．
解析：因为9＜13＜16，所以3＜＜4．所以a＝3，b＝4．所以=．故填．
例5 正整数a，b分别满足＜a＜，＜b＜，则ba＝（ ）
A．4 B．8 C．9 D．16
解析：因为＜＜，＜＜，所以a＝4，b＝2．所以ba＝24＝16．故选D．两数大小比较有方法
一、法则比较法
根据法则“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小”来比较.适用于比较容易看出或估算出两数绝对值大小的两个数.
例1 比较下列两个数的大小：（1）与；（2）与-2.
解析：（1）因为＜0，＞0，根据“正数大于一切负数”得＞.
（2）因为5＞4，所以＞2.根据“两个负数，绝对值大的反而小”得＜-2.
二、平方比较法
适用于符号相同的两个数.根据“当a，b都是正数时，若a2＞b2，则a＞b；若a2＜b2，则a＜b；若a2=b2，则a=b.当a，b都是负数时，若a2＞b2，则a＜b；若a2＜b2，则a＞b；若a2=b2，则a=b”来比较.
例2 比较与的大小.
解析：因为（）2＝，（）2＝5，而＞5，所以＞.
三、作差比较法
根据“若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b；若a-b=0，则a=b”来比较大小.
例3 比较和0.25的大小.
解析：-0.25=.
因为10＞9，所以-3＞0，所以＞0.
所以-0.25＞0，即＞0.25.
四、中间值比较法
根据“若a＜b，b＜c，则a＜c”来比较两实数的大小，其中b为中间值.
例4 比较与的大小.
解析：可取一个中间值，借助这两个数与中间值的大小关系来比较这两个数的大小.
因为＞=3，＜=3，所以＞.辨清错误 不再犯错
一、对“三根”概念的理解不到位
例1 下列语句正确的是（ ）
A.（-2）2的算术平方根是-2 B. 27的立方根是±3
C. -36的平方根是6 D. 25的算术平方根是5
错解：选A或B或C.
剖析：算术平方根是指非负数的非负平方根，因为（－2）2=4，4的算术平方根是2，所以选项A错误；一个正数的立方根只有一个，所以27的立方根为3 ，所以选项B错误；负数没有平方根，也没有算术平方根，即-36没有平方根，所以选项C错误.
正解： ．
二、忽视非负性
例2 化简：=（ ）
±2 B. -2 C. 2 D. 4
错解：选A或B.
剖析：错解忽视了算术平方根是一个非负数，误认为=a.实际上，因为（－2） 2=4，所以==2，它是一个正数，不是负数.
正解： ．
三、审题不细心
例3 的平方根是（ ）
9 B. ±9 C. 3 D. ±3
错解：选A.
剖析:求的平方根包含两层运算，先化简=9，再求9的平方根.
正解： ．
四、不经转化，随意开方
例4 计算：.
错解：==1+=1.
剖析：在计算带分数的算术平方根时，不能将带分数的整数部分与分数部分分别开方，而应该先将带分数化为假分数，再开方.
正解： ．
参考答案：例1 D 例2 C 例3 D 例4 ==.
