蚂蚁翻“墙”寻捷径
例 如图1，一个带盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8 cm，8 cm，12 cm，一只蚂蚁想从盒底的点A爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
思路点拨：蚂蚁在长方体的侧面上爬行，有三种情况：一是沿正面与右侧面爬行，将正面和右侧面展开如图2-①；二是沿正面与上底面爬行，将正面与上底面展开如图2-②；三是沿左侧面与上底面爬行，将左侧面与上底面展开如图2-③.
三种情况下利用勾股定理分别求AB的长，可知只有第一种情况下所求的AB长最短，最短路程为20 cm.
方法提炼：解这类立体图形最短路径问题的思路是：把几何体的侧面展开为平面图形，再利用“两点之间，线段最短”，结合勾股定理等有关知识求解.
变式一：图3是一个棱长为6 cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2 cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？
图3 图4
思路点拨：蚂蚁的爬行方式也有三种：沿正面与右侧面爬行，沿正面与上底面爬行；沿左侧面与上底面爬行，将正方体沿这三种方式展开，利用勾股定理进行计算．
解：将正方体的正面与右侧面展开如图4所示，
因为BC＝2 cm，棱长为6 cm，所以AD＝6＋2＝8（cm），BD＝6 cm.
由勾股定理，得AB2=AD2+BD2=82+62=100，所以AB＝10 cm.
沿另外两种方式爬行，同样的方法可求出AB＝10 cm.
所以蚂蚁爬行的最短路程是10 cm．
变式二：如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为 cm．
思路点拨:将容器沿侧面展开，在杯子边沿确定一点P，使PA+PB最短，作点A关于EF的对称点A′，根据“两点之间线段最短”可知A′B的长即为所求．
解：将容器沿侧面展开如图6所示，作点A关于EF的对称点A′，连接A′B，交EF于点P，则PA+PB的长，即A′B的长为蚂蚁爬行的最短距离.
过点A′作A′D⊥BF，交BF的延长线于点D.
由题意，得A′D==5（cm），BD=12-3+3=12（cm）.
所以A′B2=A′D2+BD2=52+122=169，所以A′B=13 cm．
故填13．
图1
图5
图6
P走近生活中的“勾股”
勾股定理是数学中的一条重要定理，它的应用领域广泛，涉及到建筑、航海、地理测量、导航等诸多领域.下面我们就用善于发现的眼睛去生活中捕捉它的身影吧！
【情境题-计算长度】
例1 中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”.节日的设立大大调动起了亿万农民的积极性、主动性、创造性，提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感.为了庆祝今年的丰收节，小明让哥哥帮忙用3D打印机制作了一个底面周长30 cm，高为8 cm的圆柱粮仓模型（如图1-①）．如图1-②，BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短是多少？
分析：将圆柱沿着经过点C的高线剪开，如图2所示，根据“两点之间，线段最短”可知，当装饰带按CA和C′A的长度装饰时，所需长度最短．
解：将圆柱沿着经过点C的高线剪开，如图2所示，因为圆柱的底面周长为30 cm，高为8 cm，所以BC=15 cm，AB=8 cm.
在Rt△ABC中，AC2=BC2+AB2=152+82=289.所以AC=17 cm.
同理，得AC′=17 cm.
所以AC+AC′=34 cm.
所以装饰带的长度最短为34 cm.
图2
【情境题-计算面积】
例2 某市实验中学为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分了一块三角形形状的劳动试验基地．
（1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为5 m，12 m，13 m时，一边的小明很快给出这块试验基地的面积．你知道为什么吗？面积是多少呢？
（2）八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为AB=15 m，BC=14 m，AC=13 m（如图3），你能帮助他们求出面积吗？
图3
分析：（1）先判定三角形是直角三角形，再求面积.
过点A作AH⊥BC于点H，将△ABC分成两个直角三角形，以AH为桥梁利用勾股定理列方程求解.
解：（1）因为52+122=132，所以三边长分别为5 m，12 m，13 m的三角形构成直角三角形，其中的直角边长分别是5 m，12 m.
所以此三角形的面积为×5×12=30（m2）．
如图4，过点A作AH⊥BC于点H.
设BH=x，则CH=14-x.
在Rt△ABH中，AH2=AB2-BH2=152-x2.
在Rt△ACH中，AH2=AC2-CH2=132-（14-x）2.
所以152-x2=132-（14-x）2.解得x=9.
所以AH2=152-x2=144.所以AH=12.
所以△ABC的面积为BC AH=×14×12=84（m2）．勾股定理的历史
勾股定理是中国古代天文观测实践中立竿测影的重大发现，在中国古代数学、天文历法和工程中运用广泛.
在古代中国，勾股定理的应用非常广泛，如战国时期的古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：“禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也.”这段话的意思是：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果.
在公元3世纪的三国时期，赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”.赵爽制作了一幅“勾股圆方图”，其中更是运用形数结合思想，详细的给出了勾股定理的证明.
在公元前7至6世纪，中国学者陈子曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并开方除之，得斜至日（弦）”.
在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”.传说中为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”. 法国和比利时称为“驴桥定理，”埃及称为“埃及三角形”.
勾股定理的证明方法十分丰富，有400多种.古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统，都愿意探讨和研究它的证明.其中较为有名的有中国的“青朱出入图”、古印度的“无字证明”、著名画家达·芬奇的证法、赵爽弦图、毕氏证法、“总统证法”等.
勾股定理作为一个基本的几何定理，在很多古文明里都能找到它的影子，如在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和运用勾股定理，美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数.
古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理.
虽然勾股定理国内外叫法不一样，但它为人类文明进步作出了很大贡献.随着社会不断发展，我们也更加清晰的认识到勾股定理的重要性，不管是在高等数学或其他科学领域都有着广泛的应用.盘点勾股定理中的易错点
一、由于思维定式出错
例1 已知△ABC的三边长分别是a=，b=，c=2，问：△ABC是直角三角形吗？
错解：因为a2+b2=+=≠c2，所以△ABC不是直角三角形.
剖析：错因是思维定式，认为△ABC中c一定是斜边，导致错误.
正解： .
二、由于考虑不全面漏解
例2 直角三角形有两边长分别为3，4，则该直角三角形第三边长的平方是_______.
错解：因为△ABC是直角三角形，所以第三边长的平方为32＋42＝25.故填25.
剖析：错因是将所给的两条边都当成了直角边.事实上，所给的较长边4可能是直角边，也可能是斜边，故应分情况讨论.
正解： .
例3 已知△ABC相邻两边长分别为13 cm和15 cm，第三边上的高为12 cm，则△ABC的面积为_______cm2．
错解：如图，因为AD是高，所以△ABD，△ACD都是直角三角形.
由勾股定理可求出BD=9，CD=5.所以BC=BD+CD=14.
所以S△ABC=BC AD=84.
故填25.
剖析：错因是只考虑了高在三角形内部，忽视高在三角形外部的情形，应分情况讨论.
正解： .
参考答案： 例1 解：因为a2=，b2=，c2=22=4，所以a2+c2=b2.所以△ABC是直角三角形.
例2 25或7
例3 ①当高在三角形内部时，S△ABC=BC AD=84；
②当高在三角形外部时，如图所示.
由勾股定理可求出BD=9，CD=5.所以BC=BD-CD=4.
所以S△ABC=BC AD=24.
所以△ABC的面积为84 cm2或24 cm2．
故填84或24．折叠问题 勾股助力
一、三角形中的折叠问题
例１ 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
分析：根据折叠的性质得AE=BE，在Rt△BCE中利用勾股定理列方程求解．
解：因为△ADE沿DE翻折，点A与点B重合，所以AE=BE.
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x.
在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2，即x2=62+（8-x）2，解得x=.所以AE=.
所以CE=8-=.
故选D．
二、四边形中的折叠问题
例2 如图1，已知长方形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝10 cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求EF的长．
分析：根据折叠的性质先求出AF的长，利用勾股定理求出BF的长，进一步在Rt△ECF中利用勾股定理列方程求解．
解：因为四边形ABCD是长方形，所以AD＝BC＝10 cm，CD＝AB＝8 cm.
根据折叠的性质，得AF=AD=10 cm，DE=EF.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102，解得BF＝6 cm.
所以CF＝BC-BF＝4 cm.
设EF＝x cm，则DE＝EF＝x cm，CE＝（8-x）cm.
在Rt△ECF中，由勾股定理，得EF2＝CE2+CF2，即x2＝（8-x）2+42，解得x＝5.
所以EF的长为5 cm．
点评：解决折叠问题的关键是抓住对称性，即折叠前后的两个图形全等，注意一些折叠计算问题往往需要利用勾股定理列方程求解．勤思多变 精彩无限
原题呈现：（教材P20复习题第3题）如图1，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系？
思路点拨：如图1，标注字母和面积，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2.根据圆的面积公式可求出三个半圆的面积，进而可得出S1+S2=S3．
【变式】如图2，分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形两直角边长分别为6和8，则S1+S2= ．
思路点拨：与原题相比，相当于把斜边下面的半圆翻折上去了，因此仍然可得S半圆ACE+S半圆BCF=S半圆ACB.
解：如图2，标注两个面积S3，S4，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2.
因为，，S3＋S4＋SRt△ABC=
，所以.
所以S1＋S3＋S2＋S4=S3＋S4＋SRt△ABC.
所以S1+S2=SRt△ABC=．
故填24.
【变式练习】
如图3，若分别以两直角边和斜边为直角三角形的斜边向外作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积分别设为S1，S2，S3，请猜想S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由.
图3
答案：S1＋S2=S3.理由略.
解后反思：对于直角三角形向外作半圆，作正方形，作等腰直角三角形等，均有所作其中两个较小图形的面积和等于最大图形的面积，这个结论很重要，同学们不仅要熟记，更要会推导，同时对于这些图形的变形，也要会运用这个结论（如上面变式）.
