1.1 集合的概念 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

1．1　集合的概念
一、 单项选择题
1 下列说法中，正确的是(　　)
A. 某个村子里的高个子组成一个集合
B. 所有小正数组成一个集合
C. 集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一个集合
D. 1，0，5，，，，组成的集合有7个元素
2 集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为(　　)
A. {0，1，2，3，4}
B. {1，2，3，4}
C. {0，1，2，3，4，5}
D. {1，2，3，4，5}
3 已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列结论中正确的是(　　)
A. 1∈M B. 0∈M
C. －1∈M D. －2∈M
4 (2024济南二模)已知集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}的元素之和为1，则实数a所有取值的集合为(　　)
A. {0} B. {1}
C. {－1，1} D. {0，－1，1}
5 (2025阜阳期末)已知集合A＝{x|2mx－3>0，m∈R}，若1 A且3∈A，则实数m的取值范围是(　　)
A. C. m> D. m<
6 (2025宝山期末)集合{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}是指(　　)
A. 第一象限内的所有点组成的集合
B. 第三象限内的所有点组成的集合
C. 第一象限和第三象限内的所有点组成的集合
D. 不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合
7 (2024郑州期末)由实数x，－x，|x|，，()2，－所组成的集合，最多可含有的元素个数为(　　)
A. 2 B. 3　 C. 4 D. 5
二、 多项选择题
8 下列说法中，正确的是(　　)
A. N*中最小的数是1
B. 若－a N*，则a∈N*
C. 若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2
D. x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有两个元素
9 (2025景德镇期末)下列说法中，正确的有(　　)
A. 某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合
B. 集合A＝{x|y＝x2＋1}与集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}是相同的集合
C. 由1，，，，0.5这些数组成的集合有4个元素
D. 在平面直角坐标系中，第二象限或第四象限内所有的点(x，y)组成的点集，可以表示成集合{(x，y)|xy<0，x，y∈R}
三、 填空题
10 (2025宝山期末)用列举法表示“能整除9的所有正整数”组成的集合：________．
11 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝________．
12 (2025济南期末)设集合M＝{2，3，a2－3a，a＋＋7}，N＝{a－1，3}，已知4∈M且4 N，则a的取值集合为________．
四、 解答题
13 选择适当的方法表示下列集合．
(1) Welcome中的所有字母组成的集合；
(2) 所有正偶数组成的集合；
(3) 二元二次方程组的解集；
(4) 所有正三角形组成的集合．
14 已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
15 (2025上海期末)已知集合A的元素为实数，且满足①a≠0且a≠1；②若a∈A，则∈A.
(1) 若a＝2，求A；
(2) 集合A有没有可能是单元素集？
(3) 若a∈A，求证：∈A.
1.1　集合的概念
1. C　对于A，某个村子里的高个子，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，故A错误；对于B，所有小正数，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，故B错误；对于C，{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}中的元素相同，它们是同一个集合，故C正确；对于D，1，0，5，，，，组成的集合中有5个元素，故D错误．
2. B　因为x－3<2，所以x<5.因为x∈N*，所以x的值可以为1，2，3，4.
3. C　由题意，得2为方程x2－x＋m＝0的一个根，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2，所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，所以方程的另一根为－1，可得－1∈M.
4. D　因为集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}的元素之和为1，所以当一元二次方程(x－a2)(x－1)＝0有等根时，x＝a2＝1，即a＝±1；当方程有两个不相等实根时，x＝a2＝0，即a＝0.综上，实数a所有取值的集合为{0，1，－1}．
5. A　由1 A且3∈A，得解得6. D　因为xy≤0，所以或所以集合{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}表示第二象限和第四象限内的所有点，以及在x，y轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点．
7. B　因为，()2，－可分别化为|x|，x2，－x，所以由实数x，－x，|x|，，()2，－所组成的集合，最多可含有3个元素，分别为x，－x，x2，此时x≠±1，且x≠0.
8. AC　由N*表示正整数集，可知A，C正确；对于B，若a＝，满足－a N*，但a N*，故B错误；对于D，x2＋4＝4x的实数解只有2，所以组成的集合中只有一个元素，故D错误．故选AC.
9. CD　对于A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故A错误；对于B，其中集合A＝{x|y＝x2＋1}是数集，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}是点集，所以集合A＝{x|y＝x2＋1}与集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}不是同一集合，故B错误；对于C，因为＝0.5，所以由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，故C正确；对于D，因为第二象限或第四象限内的点横、纵坐标异号，即xy<0，所以第二象限或第四象限内所有的点(x，y)组成的点集，可以表示成集合{(x，y)|xy<0，x，y∈R}，故D正确．故选CD.
10. {1，3，9}　因为能整除9的正整数有1，3，9，所以“能整除9的所有正整数”组成的集合为{1，3，9}．
11. 201　若①正确，则②③不正确，由③不正确，得c＝0，由①正确，得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确；若②正确，则①③不正确，由①不正确，得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确；若③正确，则①②不正确，由①不正确，得a＝2，由②不正确及③正确，得b＝0，c＝1，故③正确，则100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
12. {－2}　因为M＝，N＝{a－1，3}，4∈M且4 N，若a2－3a＝4，解得a＝4或a＝－1，当a＝4时，a＋＋7＝，此时N＝{3，3}，不满足集合元素的互异性，舍去；当a＝－1时，a＋＋7＝－1＋＋7＝4，此时M＝{2，3，4，4}，不满足集合元素的互异性，舍去；若a＋＋7＝4，解得a＝－1或a＝－2，前面已经分析a＝－1不满足要求，当a＝－2时，a2－3a＝(－2)2－3×(－2)＝10，此时集合M＝{2，3，10，4}，N＝{－3，3}，满足集合元素的性质．综上，a的取值集合为{－2}．
13. (1) 列举法：分别列举出每个字母，得{W，e，l，c，o，m}．
(2) 描述法：正偶数可以写成正整数的2倍，所以描述法表示为{x|x＝2k，k∈N*}．
(3) 列举法：解原方程组，得或所以列举法表示为{(0，0)，(1，1)}．
(4) 描述法：{x|x是正三角形}．
14. ①当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，解得x＝2，此时集合A＝{2}，满足题意；
②当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1，
此时方程的解为x1＝x2＝4，即集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
15. (1) 若2∈A，则＝＝－3∈A，＝－∈A，＝∈A，＝2∈A，
所以A＝.
(2) 假设集合A是单元素集，
由a∈A，则∈A，得a＝，整理，得a2＝－1与实数平方为非负数矛盾，
所以集合A不可能是单元素集．
(3) 由a∈A，得a≠0且a≠1，∈A，
所以＝＝－∈A，＝∈A，
所以∈A.