1.4 充分条件与必要条件 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

1．4　充分条件与必要条件
1.4.1　充分条件与必要条件(1)
一、 单项选择题
1 (2025恩施州期末)已知a，b∈R，则“b>a>0”是“>”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2 (2025汕头练习)设x∈R，则“x>3”是“|x－1|>2”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3 “ab>0”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4 已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则“m＝1”是“A B”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5 (2025邵阳海谊中学月考)已知a，b∈R，则“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6 (2025上海期末)古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”是“能扫天下”的(　　)
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7 已知集合A＝{x|－1A. {b|－2≤b<0}
B. {b|0C. {b|－2D. {b|－2≤b≤2}
二、 多项选择题
8 (2024鞍山期末)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，B是A的充分不必要条件，则实数a的值可以为(　　)
A. B. 0 C. 3 D.
9 设计如图所示的四个电路图，条件p：“灯泡L亮”；条件q：“开关S闭合”，则p是q的充要条件的电路图是(　　)
A B C D
三、 填空题
10 (2025泰安练习)写出“x≥0”的一个必要不充分条件为________．
11 已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a(a<0).若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________．
12 设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，则p是t的________条件，r是t的________条件．(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分也不必要”)
四、 解答题
13 指出下列命题中，p是q的充分条件还是必要条件？
(1) p：x2＝2x＋1，q：x＝；
(2) p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
(3) p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
14 (2025北京练习)已知p：－2b，r：15 已知集合A＝{x|－3≤x<4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}．
(1) 当m＝1时，求A∩( RB)；
(2) 若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围．
1．4.2　充分条件与必要条件(2)
一、 单项选择题
1 (2025天津期末)已知a，b∈R，则“a1”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2 下列说法中，正确的是(　　)
A. “ab＝0”是“a2＋b2＝0”的充要条件
B. “a∈N”是“a∈Z”的充分不必要条件
C. “两个三角形全等”是“两个三角形相似”的必要不充分条件
D. “方程(x－a)(x－a－1)＝0有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是“－13 (2025北京五十七中期末)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4 设集合A，B是全集U的两个子集，则“A B”是“A∩( UB)＝ ”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5 (2025惠州练习)设M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N M”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6 已知甲是乙的必要条件，丙是乙的充分不必要条件，则下列说法中正确的是(　　)
A. 丙是甲的充分不必要条件
B. 丙是甲的必要不充分条件
C. 丙是甲的充要条件
D. 丙是甲的既不充分也不必要条件
7 (2025松原期末)已知p：x2－4x＋3＝0，q：－3≤x－1≤m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为(　　)
A. m> B. m≥
C. m>－2 D. m≥－2
二、 多项选择题
8 (2025衡水练习)若“xm＋2”是“－1A. －5 B. －3
C. 3 D. 5
9 下列说法中，正确的是(　　)
A. 若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
B. “>”是“aC. “A∩B≠ ”是“A B”的既不充分也不必要条件
D. “a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要条件
三、 填空题
10 对于集合A，B及元素x，若A B，则“x∈B”是“x∈(A∪B)”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
11 下列不等式：①x<1；②012 (2025丹东凤城二中月考)已知命题p：“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根”，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m＋1，则实数m的取值范围是________．
四、 解答题
13 设集合A＝{x|－10}，命题p：x∈A，命题q：x∈B.
(1) 若p是q的充要条件，求正实数m的值；
(2) 若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围．
14 (2025遵义期末)已知集合A＝{x|－1(1) 当a＝－1时，求A∩B；
(2) 若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
15 已知 ab≠0，求证：“a3＋b3＋ab－a2－b2＝0”是“a＋b＝1”的充要条件．
1．4　充分条件与必要条件
1.4.1　充分条件与必要条件(1)
1. A　由b>a>0，得>>0，所以充分性成立；当a＝－2，b＝－1时，满足>，但不满足b>a>0，所以必要性不成立，所以“b>a>0”是“>”的充分不必要条件．
2. A　若|x－1|>2，则x>3或x<－1，所以“x>3”是“|x－1|>2”的充分不必要条件．
3. A　若ab>0，则a，b同号，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，即充分性成立；若|a＋b|＝|a|＋|b|，两边同时平方，得a2＋b2＋2ab＝a2＋b2＋2|ab|，所以|ab|＝ab，则ab≥0，即必要性不成立．综上，“ab>0”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充分不必要条件．
4. A　若A B，则m∈B，且m≠3，所以m＝1或m＝5，故“m＝1”是“A B”的充分不必要条件．
5. B　由a2＝b2，得a＝±b，当a＝－b≠0时a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立；由a2＋b2＝2ab，得(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立．综上，a2＝b2是a2＋b2＝2ab的必要不充分条件．
6. B　由题意知“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件，即“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件．
7. C　因为A＝{x|－18. ABD　因为x2－8x＋15＝0的两个根为3和5，所以A＝{3，5}．又B是A的充分不必要条件，所以B是A的真子集，所以B＝ 或B＝{3}或B＝{5}，当B＝ 时，满足a＝0即可；当B＝{3}时，满足3a－1＝0，所以a＝；当B＝{5}，满足5a－1＝0，所以a＝，所以a的值可以是0，，.故选ABD.
9. BD　对于A，灯泡L亮不一定有开关S闭合，反之，开关S闭合则灯泡L亮，所以p / q，q p，所以p是q的必要不充分条件；对于B，p q，所以p是q的充要条件；对于C，开关S，S1与灯泡L串联，所以p q，但q / p，所以p是q的充分不必要条件；对于D，灯泡L亮一定有开关S闭合，反之，开关S闭合则灯泡L亮，所以p q，所以p是q的充要条件．故选BD.
10. x>－1(答案不唯一)　若x>－1，则不一定有x≥0；若x≥0，则x>－1，所以“x>－1”是“x≥0”的必要不充分条件，即“x≥0”的一个必要不充分条件是“x>－1”．
11. {a|a≤－9}　因为p是q的必要条件，所以q p，所以解得a≤－9.
12. 充分　充要　由题意，得p q，r q，s q，s t，t r，所以p q s t，tp，所以p是t的充分条件．因为r q s t，t r，所以r是t的充要条件．
13. (1) 因为由x2＝2x＋1不能推出x＝；
由x＝能推出x2＝2x＋1，
所以p是q的必要条件．
(2) 因为由a2＋b2＝0，得a＝b＝0，能推出a＋b＝0；
由a＋b＝0不能推出a2＋b2＝0，
所以p是q的充分条件．
(3) 因为由(x－1)2＋(y－2)2＝0，得x＝1，且y＝2，能推出(x－1)(y－2)＝0；
由(x－1)(y－2)＝0不能推出(x－1)2＋(y－2)2＝0，
所以p是q的充分条件．
14. 因为p：－2又r是p的充要条件，所以解得a＝4，故r：2因为r是q的充分不必要条件，所以b≤2.
综上，a＝4，b≤2.
15. (1) 当m＝1时，B＝{x|1≤x≤2}，
所以 RB＝{x|x<1或x>2}，
所以A∩( RB)＝{x|－3≤x<1或2(2) 因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B A.
①当B＝ 时，由m＋1<2m－1，解得m>2；
②当B≠ 时，由B A，得解得－1≤m≤2.
综上，实数m的取值范围为{m|m≥－1}．
1．4.2　充分条件与必要条件(2)
1. A　若a1成立，故充分性成立；若>1，举例a＝2，b＝1，但a>b>0，故必要性不成立．故“a1”的充分不必要条件．
2. B　对于A，因为ab＝0，所以a＝0，b≠0或b＝0，a≠0或a＝b＝0.因为a2＋b2＝0，所以a＝b＝0，所以“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的必要不充分条件，故A错误；对于B，因为N是Z的真子集， 所以“a∈N”是“a∈Z”的充分不必要条件，故B正确；对于C，因为两个三角形全等一定相似，但相似不一定全等，所以“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分不必要条件，故C错误；对于D，因为(x－a)(x－a－1)＝0方程的根为x＝a或x＝a＋1，且方程有一正一负两个根，所以a(a＋1)<0，解得－13. C　方法一：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以充分性成立；因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立，所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件．
方法二：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以＋＝＝＝＝＝－2，所以充分性成立；因为xy≠0，且＋＝－2，所以＋＝＝＝＝－2＝－2，所以＝0，所以(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立，所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件．
4. C　如图，由A B可推出A∩( UB)＝ ，同时由A∩( UB)＝ 可推出A B，所以“A B”是“A∩( UB)＝ ”的充要条件．
5. A　若“a＝1”，则有N＝{1}，可推出“N M”成立；若“N M”，则有a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝±，推不出“a＝1”，所以“a＝1”是“N M”的充分不必要条件．
6. A　因为甲是乙的必要条件，所以乙可以推出甲．因为丙是乙的充分不必要条件，所以丙可以推出乙，乙推不出丙，所以丙可以推出甲，甲推不出丙，即丙是甲的充分不必要条件．
7. B　设集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，集合B＝＝{x|－4≤x≤2m＋2}．因为p是q的充分条件，所以A是B的子集，则解得m≥.
8. ABD　设A＝{x|xm＋2}，B＝{x|－19. ABC　对于A，a，b∈R，若a2＋b2≠0，则a，b不全为0，即充分性成立；若a，b不全为0，则a2＋b2≠0，即必要性成立，故A正确；对于B，由>不能推出a，但是2>－3，即充分性不成立；由a，比如－2<3，但是<，即必要性不成立，所以“>”是“abn(n∈N，n≥2)不能推出a>b>0，比如a＝1，b＝0，满足1n>0n(n∈N，n≥2)，但此时a>b>0不成立，即必要性不成立，故D错误．故选ABC.
10. 充要　由x∈B，得x∈(A∪B)；反之，因为A B，所以A∪B＝B，所以由x∈(A∪B)可得x∈B，故“x∈B”是“x∈(A∪B)”的充要条件．
11. ②③④　由题意，得x2<1，即－112. m>0　若命题p：“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根”为真命题，则当a＝0时，2x＋1＝0，x＝－，符合题意；当a<0时，Δ＝4－4a>0，且x1＋x2＝－>0，x1x2＝<0，则此时方程ax2＋2x＋1＝0有一个正根和一个负根，符合题意；当a>0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，此时方程为x2＋2x＋1＝(x＋1)2＝0，x＝－1，符合题意；由 Δ＝4－4a>0，解得00，则此时方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根，符合题意．综上，若p为真命题时，则实数a的取值范围是(－∞，1].若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m＋1，则m＋1>1，解得m>0.
13. (1) 由p是q的充要条件，得A＝B，
所以解得m＝2，
所以正实数m的值为2.
(2) 因为p是q的充分不必要条件，所以A?B，
则或解得m>2，
故正实数m的取值范围是m>2.
14. (1) 当a＝－1时，B＝{x|－3又A＝，所以A∩B＝{x|－1(2) 由“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，得A?B，
所以或解得－综上，实数a的取值范围是－≤a≤0.
15. 设p：a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，q：a＋b＝1.
先证充分性(p q)：
因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
所以(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
即(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，
因为ab≠0，a2－ab＋b2＝＋b2>0，
所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1；
再证必要性(q p)：
因为a＋b＝1，
所以b＝1－a，
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
综上，“a3＋b3＋ab－a2－b2＝0”是“a＋b＝1”的充要条件．