1.5　全称量词与存在量词 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

1．5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词
一、 单项选择题
1 (2025惠州练习)下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有(　　)
A. x∈R，x2－2x＋1<0
B. 有的矩形不是平行四边形
C. x∈R，x2＋2x＋2≥0
D. x∈R，x3＋3≠0
2 下列命题中，全称量词命题的个数是(　　)
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③n(n≥3，n∈N*)边形的内角和是(n－2)×180°.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3 (2025上海练习)下列命题中，是全称量词命题的是(　　)
A. 存在一个实数的平方是负数
B. 每个四边形的内角和都是360°
C. 至少有一个整数x，使得x2＋3x是质数
D. 存在一个实数x，使得x2＝x
4 已知p： x∈R，x2＋4x＋a＝0.若p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A. {a|0C. {a|a<0} D. {a|a≥4}
5 已知命题p： x0∈N，xA. p假q真
B. p真q假
C. p假q假
D. p真q真
6 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A C，B ( UC)”是“A∩B＝ ”的(　　)
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
7 (2025樟树中学月考)已知命题“ x∈{x|－3≤x≤－2}，mx>12”是假命题，则实数m的取值范围为(　　)
A. {m|m>－4}
B. {m|m≥－4}
C. {m|m>－6}
D. {m|m≥－6}
二、 多项选择题
8 下列命题中，是“ x∈R，x2>3”的表述方法的有(　　)
A. 有一个x∈R，使得x2>3成立
B. 对有些x∈R，使得x2>3成立
C. 任选一个x∈R，都有x2>3成立
D. 至少有一个x∈R，使得x2>3成立
9 (2024榆林期中)下列存在量词命题中，是假命题的是(　　)
A. x∈Z，2x＋－1＝0
B. 至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C. x∈R，|x|<0
D. 有些自然数是偶数
三、 填空题
10 能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题的一组有序数对(a，b)为________．
11 下列命题中，正确的是________．(填序号)
①命题“负数的平方是正数”是存在量词命题；
② a∈N，使2a为质数；
③ k∈R，函数y＝kx＋3都是一次函数；
④ x>3，x2－4x＋3>0.
12 已知命题p： x≤1，a≥3x－1，命题q： x0∈R，x＋4x0＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________；若命题p，q均是真命题，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
13 (2024许昌期中)指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．
(1) 任意两个等边三角形都相似；
(2) 存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3) 对任意实数x1，x2，若x1(4) 存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0.
14 已知命题p：“ x∈R，x2－4x＋m＝0”为假命题．
(1) 求实数m的取值集合B；
(2) 设A＝{x|3a15 是否存在整数m，使得命题“ x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
1．5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
一、 单项选择题
1 (2024哈尔滨期中)命题“ x∈R，x2＋2x－4>0”的否定是(　　)
A. x∈R，x2＋2x－4≤0
B. x∈R，x2＋2x－4<0
C. x∈R，x2＋2x－4<0
D. x∈R，x2＋2x－4≤0
2 已知命题p： x0∈R，x0－2>，命题q： x∈R，x2>0，则下列关于命题p，q的判断中正确的是(　　)
A. 命题p，q都是假命题
B. 命题p，q都是真命题
C. 命题p是真命题，命题q是假命题
D. 命题p是假命题，命题q是真命题
3 (2025邯郸期末)已知命题p： a∈R，ax2－2x＋1＝0有实数解，则命题p的否定是(　　)
A. a∈R，ax2－2x＋1≠0有实数解
B. a∈R，ax2－2x＋1＝0无实数解
C. a∈R，ax2－2x＋1＝0有实数解
D. a∈R，ax2－2x＋1≠0无实数解
4 下列三个命题中，真命题的个数是(　　)
①若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；
②存在正实数a，b，使得a＋b＝ab；
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5 下列命题中，正确的是(　　)
A. “x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件
B. x∈R，x2＋1＞2x
C. x∈R，x2＋1＝x
D. 命题“ x∈R，x2＋1≥2x”的否定是“ x∈R，x2＋1＜2x”
6 (2024白银期中)若命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A. {a|a<－} B. {a|a>－}
C. {a|a>} D. {a|a<}
7 (2024荆州期中)已知命题p： x∈R，>0，则 p为(　　)
A. x∈R，≤0
B. x∈R，≤0
C. x∈R，≤0或x－1＝0
D. x∈R，≤0或x－1＝0
二、 多项选择题
8 (2024长春期中)下列说法中，正确的是(　　)
A. “m<1”是“方程x2＋x＋m＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
B. 若x，y，z∈R，则“xy2>zy2”是“x>z”的充分不必要条件
C. 若a，b，c∈R，则关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0恒成立的充要条件是b2－4ac≤0
D. 命题“ x<0，x2<0”的否定是“ x<0，x2≥0”
9 下列关于二次函数y＝(x－2)2－1的说法中，正确的是(　　)
A. x∈R，y＝(x－2)2－1≥1
B. a>－1， x∈R，y＝(x－2)2－1C. a<－1， x∈R，y＝(x－2)2－1＝a
D. x1≠x2，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1
三、 填空题
10 (2024无锡期中)请写出命题“ x∈R，x2＋3x－10>0”的否定：____________．
11 (2024南通期中)设A，B为两个非空数集，且A与B之间不存在包含关系，给出下列三个命题：①对任意的x∈A，有x B；②对任意的x∈B，有x A；③存在x∈A，使得x B.上述三个命题的否定是真命题的序号是________．
12 某中学开展小组合作学习模式，某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求实数 m的取值范围．你认为，两位同学题中实数m的取值范围是否一致？________．(填“是”或“否”)
四、 解答题
13 写出下列命题的否定：
(1) 有些四边形有外接圆；
(2) 末位数字为9的整数能被3整除；
(3) x∈R，x2＋1<0.
14 已知命题p： x∈R，使x2－x＋m＝0，若命题p的否定是假命题，求实数m的取值范围．
15 (2025重庆期中)已知命题p： x∈R，x2－6x＋a2≠0，当命题p为假命题时，实数a的取值集合为A.
(1) 求集合A；
(2) 设非空集合B＝{a|3m－2≤a≤m－1}，若B A，求实数m的取值范围．
1．5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词
1. C　显然A，B，C均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意．对于A，因为x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以命题为假命题；对于B，因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题；对于C，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，故命题为真命题，故C正确．
2. C　命题①③为全称量词命题，命题②为存在量词命题．故全称量词命题的个数是2.
3. B　显然A，C，D均为存在量词命题；B是全称量词命题．
4. B　因为p： x∈R，x2＋4x＋a＝0是真命题，所以方程x2＋4x＋a＝0有实数根，所以Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，故实数a的取值范围为{a|a≤4}．
5. A　由x6. A　因为C∩( UC)＝ ，所以“存在集合C使得A C，B UC”可以推出“A∩B＝ ”；反过来，若A∩B＝ ，取C＝A，则A C，B UC，所以“A∩B＝ ”可以推出“存在集合C使得A C，B UC”，故选A.
7. D　若“ x∈{x|－3≤x≤－2}，mx>12”是真命题，即当－3≤x≤－2时，m<恒成立，则m12”是假命题，则实数m的取值范围为m≥－6.
8. ABD　显然C是全称量词命题，A，B，D符合题意．故选ABD.
9. AC　对于A，2x＋－1＝0，即(2－1)(＋1)＝0，解得x＝ Z，所以A是假命题；对于B，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；对于C，因为所有实数的绝对值非负，即|x|≥0，所以C是假命题；对于D，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题．故选AC.
10. (2，4)(答案不唯一)　由a2－ab＋b＝0，化简，得ab－b＝a2，即b(a－1)＝a2，则b＝(a≠1).当a＝2时，b＝4，能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题．
11. ②④　命题“负数的平方是正数”是全称量词命题，故①错误；当a＝1时，2a＝2为质数，故②正确；当k＝0时，函数y＝3是常数函数，不是一次函数，故③错误；当x＞3时，x－3＞0，x－1＞0，所以x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)＞0，故④正确．
12. {a|a<2}　{a|2≤a≤4}　若命题p： x≤1，a≥3x－1为真命题，则a≥(3x－1)max＝2，所以若命题p是假命题，则a<2.若命题q： x0∈R，x＋4x0＋a＝0为真命题，则Δ＝16－4a≥0，即a≤4.若命题p，q均是真命题，则实数a的取值范围是{a|2≤a≤4}．
13. (1) 全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题．
(2) 存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题．
(3) 全称量词命题，存在x1＝－5(－3)2，该命题是假命题．
(4) 存在量词命题，由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，该命题是假命题．
14. (1) 因为关于x的方程x2－4x＋m＝0无实数根，
所以Δ＝16－4m<0，解得m>4，即B＝{m|m>4}．
(2) 因为A＝{x|3a所以3a因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A?B，
所以3a≥4，即a≥.
综上可得≤a<2，即实数a的取值范围是{a|≤a<2}．
15. 假设存在整数m，使得命题“ x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题．
因为当x≥－时，x＋1≥，
所以－5<3－4m<，解得又m为整数，所以m＝1，故存在整数m＝1，使得命题“ x≥－，－5<3－4m1．5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
1. A　因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“ x∈R，x2＋2x－4>0”的否定是“ x∈R，x2＋2x－4≤0”．
2. C　当x0＝9时，x0－2>，故命题p为真命题；当x＝0时，x2＝0，故命题q为假命题．
3. B　由存在量词命题的否定是全称量词命题可得命题p的否定是 a∈R，ax2－2x＋1＝0无实数解．
4. D　对于①，假设a<1，b<1，则a＋b<2，与条件矛盾，故①是真命题；对于②，当a＝b＝2时，a＋b＝ab，故②是真命题；对于③，“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题．故真命题的个数是3.
5. D　对于A，由x2－3x＋2＝0，得x＝2或x＝1，所以“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，故A错误；对于B，取x＝1，x2＋1＞2x不成立，故B错误；对于C，x2＋1＝x，即x2－x＋1＝0，此方程没有实数解，故C错误；对于D，全称量词命题的否定是存在量词命题，故D正确．
6. C　命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋≤0”的否定为“ x∈R，x2＋(a－1)x＋>0”，“ x∈R，x2＋(a－1)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－1)2－a2<0，解得a>.
7. D　根据全称量词命题的否定为存在量词命题知命题p： x∈R，>0的否定 p为 x∈R，≤0或x－1＝0.
8. ABD　对于A，令f(x)＝x2＋x＋m，方程x2＋x＋m＝0有一个正根和一个负根，则f(0)<0，解得m<0，所以“m<1”是“方程x2＋x＋m＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故A正确；对于B，当y＝0，x>z时，则xy2＝zy2，若xy2>zy2成立，则y≠0，则y2>0，所以x>z，所以“xy2>zy2”是“x>z”的充分不必要条件，故B正确；对于C，当a<0时，若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≤0恒成立，故C错误；对于D，命题“ x<0，x2<0”的否定是“ x<0，x2≥0”，故D正确．故选ABD.
9. BD　二次函数y＝(x－2)2－1的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，且最小值为－1.对于A，因为y＝(x－2)2－1≥－1，所以 x∈R，y＝(x－2)2－1≥1不成立，故A错误；对于B，因为 x∈R，y＝(x－2)2－1≥－1，所以 a>－1， x∈R，y＝(x－2)2－110. x∈R，x2＋3x－10≤0　“ x∈R，x2＋3x－10>0”的否定为 x∈R，x2＋3x－10≤0.
11. ①②　根据题意，设A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A与B之间不存在包含关系．因为3∈A且3∈B，所以①②是假命题；由A，B≠ ，若A∩B＝ ，即 x∈A，都有x B，若A∩B≠ 且A，B不存在包含关系，则必 x∈A，使x B，所以③是真命题．综上，①②中的命题的否定是真命题，③中的命题的否定是假命题．
12. 是　因为命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋m>0”，命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，所以其否定“ x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中实数m的取值范围是一致的．
13. (1) 所有的四边形都没有外接圆．
(2) 存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．
(3) x∈R，x2＋1≥0.
14. 命题p的否定是假命题，则命题p是真命题，
所以关于x的方程x2－x＋m＝0有实数解，
所以Δ＝1－4m≥0，解得m≤，
所以实数m的取值范围是{m|m≤}．
15. (1) 由题意，得 p： x∈R，x2－6x＋a2＝0为真命题，
所以Δ＝36－4a2≥0，所以－3≤a≤3，
即集合A＝{x|－3≤x≤3}．
(2) 因为集合B非空，所以3m－2≤m－1，即m≤.
因为B A，所以解得－≤m≤4，
所以－≤m≤，
所以实数m的取值范围为.