2.2　基本不等式 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

2．2　基本不等式
2.2.1　基本不等式(1)
一、 单项选择题
1 已知a，b∈R，且aA. < B. ＋>2
C. > D. >
2 (2024福州期末)已知a，b∈R，则“a>0且b>0”是“a＋b>”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3 若m，n，a，b，c，d均为正数，p＝＋，q＝·，则p，q的大小关系为　(　　)
A. p≥q B. p≤q
C. p>q D. 无法确定
4 已知y＝3－x－，则当x<0时，y有(　　)
A. 最大值3＋2 B. 最小值3＋2
C. 最大值3－2 D. 最小值3－2
5 (2024南昌月考)已知a，b∈R，则下列不等式始终成立的是(　　)
A. a2＋b2>2(a－b－1)
B. ＋b≥2a
C. ≥
D. 2≥ab
6 (2024南宁月考)近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，a≠b，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为m1，m2，则下列结论正确的是(　　)
A. m1＝m2 B. m1>m2
C. m17 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图，AB是半圆O的直径，C是AB上的一点(不同于点A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD，垂足为E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　)
A. ≤(a>0，b>0)
B. <(a>0，b>0，a≠b)
C. ≤(a>0，b>0)
D. <<(a>0，b>0，a≠b)
二、 多项选择题
8 (2024日照期中)已知bA. a2b2
C. ＋>2 D. <
9 《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a＋b，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列说法中正确的是(　　)
图1 图2 图3
A. 由图1和图2的面积相等，得d＝
B. 由AE≥AF，得≥
C. 由AD≥AE，得≥
D. 由AD≥AF，得a2＋b2≥2ab
三、 填空题
10 已知x>0，y>0，且满足x＋y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．
11 (2024宝山期中)嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园．若菜园的面积S为72 m2，则所用篱笆总长C的最小值是________m.
12 (2024河西期中)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则的最小值为________．
四、 解答题
13 已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：≥9.
14 (2024福州期中)已知a>0，b>0.
(1) 比较a2＋a与2ab－b2的大小；
(2) 若a＋b＋3＝ab，求ab的最小值．
15 (1) 已知a>b>0，c.
(2) 已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
2．2.2　基本不等式(2)
一、 单项选择题
1 (2024泸州月考)已知x>0，y>0且x＋4y＝1，则的最小值为(　　)
A. 4 B. 8 C. 9 D. 10
2 (2024北京顺义期末)已知a>0，b>0，则“a＋b>1”是“ab>”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3 (2025定西期末)已知x∈(－2，＋∞)，则y＝x＋的最小值为(　　)
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
4 已知x>0，则的最大值为(　　)
A. B. C. D. 1
5 (2025虹口期末)设正实数m，n满足m＋n＝1，则下列结论中错误的是(　　)
A. ＋的最小值为4
B. ＋的最大值为
C. 的最大值为
D. m2＋n2的最小值为
6 (2024泉州月考)设a>0，b>1，若a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)
A. 6 B. 9 C. 3 D. 18
7 已知正数a，b满足a＋b＝3，若a5＋b5≥λab恒成立，则实数λ的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
8 (2024十堰月考)下列说法中，正确的有(　　)
A. y＝的最小值为2
B. 已知x>1，则y＝2x＋－1的最小值为4＋1
C. 若正数x，y满足x＋2y＝3xy，则2x＋y的最小值为3
D. 因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2
9 (2024柳州期末)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. xy的最小值为
B. xy的最大值为
C. ＋的最小值为8
D. ＋的最大值为8
三、 填空题
10 (2024湛江月考)已知x，y是实数，x>0，y>1，且2x＋y＝2，则＋的最小值为________．
11 设a>0，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．
12 (2025渭南期末)若对任意x∈(0，＋∞)，不等式≥恒成立，则实数a的最小值是________．
四、 解答题
13 已知x>，求4x－2＋的最小值．
14 (2024海南期中)
(1) 若0(2) 已知x>－1，求y＝的最小值．
15 已知a>0，b>0，a＋3b＝1.
(1) 求＋的最小值；
(2) 若m>a2＋9b2＋7ab恒成立，求实数m的取值范围．
2．2.3　基本不等式(3)
一、 单项选择题
1 若命题“对任意的x>0，x＋－m>0都成立”为真命题，则实数m的取值范围为(　　)
A. {m|m≥2} B. {m|m>2}
C. {m|m≤2} D. {m|m<2}
2 若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值是(　　)
A. 5 B. 6 C. 9 D. 11
3 (2024邵阳期末)若正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，则的最大值为(　　)
A. B. C. D.
4 (2024成都月考)在R上定义运算?：x y＝x(1－y)，若当0A. B.
C. D.
5 (2024自贡月考)已知a>0，b>0，且＋＝1，则a＋2b的最小值为(　　)
A. B. 3＋2 C. 5 D. 6
6 (2025四川期末)某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量f(v)(单位：千辆/h)与车速v(单位：km/h)近似满足f(v)＝200×(v>10)，为保障最大车流量，应建议车速v为(　　)
A. 50 km/h B. 60 km/h
C. 70 km/h D. 80 km/h
7 (2024福州月考)已知x>1，y>1，且x＋y－xy＝，则2x＋y的最小值是(　　)
A. 2 B. 4 C. 4 D. 5
二、 多项选择题
8 (2024重庆月考)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. min＝3＋2
B. (＋)min＝
C. ()max＝
D. (a2＋b2)min＝
9 如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3 m，AD＝2 m，则下列结论中正确的是(　　)
A. 当AN的长为8 m时，矩形AMPN的面积为32 m2
B. 若矩形AMPN的面积为32 m2，则AM的长为4 m
C. 当AN的长为4 m时，矩形AMPN的面积最小
D. 矩形AMPN面积的最小值为24 m2
三、 填空题
10 已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC，BC距离的乘积的最大值是________．
11 (2025重庆长寿期末)已知圆O的面积为16π，矩形ABCD的四个顶点均在圆O上，则矩形ABCD的面积最大值为________．
12 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(0，a)，C(a，0)(a>1)，四边形OABC是正方形．函数y＝x－的图象与线段BC交于点P，函数y＝2x2的图象与线段AB交于点Q.当AQ＋CP最小时，实数a的值为________．
四、 解答题
13 要设计如图所示的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间中缝空白的宽度为 5cm，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm)，能使整个矩形广告面积最小？
14 (2025长沙期末)某工厂更新技术开发研制了一款新产品，通过调研知，往年每年生产x千件产品，获利C(x)千元，且C(x)＝更新技术后需要另外投入费用(x＋2)千元，且每千件产品比之前多盈利2千元，生产的产品供不应求，均能售完．
(1) 求更新技术后的利润L(x)(千元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2) 更新技术后，当年产量为多少千件时，工厂所获利润最大？并求出最大利润．
15 (2024成都期末)如图，一条笔直的河流l(忽略河的宽度)两侧各有一个社区A，B(忽略社区的大小)，A社区距离l上最近的点A0的距离是2 km，B社区距离l上最近的点B0的距离是1 km，且A0B0＝4 km.P是线段A0B0上一点，设A0P＝a km.现规划了如下三项工程：
工程1：在点P处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；
工程2：将直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1 km2的文化主题公园，且每平方千米的造价为(1＋)亿元；
工程3：将直角三角形BB0P地块全部修建为面积至少0.25 km2的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元．
记这三项工程的总造价为W亿元．
(1) 求实数a的取值范围；
(2) 问点P在何处时，W最小？并求出该最小值．
2．2　基本不等式
2.2.1　基本不等式(1)
1. B　对于A，因为a，故A错误；对于B，因为a0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝＝1，即a＝b时，等号成立．又a2，故B正确；对于C，因为a0，所以<，故C错误；对于D，因为a－>0.又－a>－b>0，所以(－)·(－a)>(－)·(－b)>0，即>，故D错误．
2. A　由a>0且b>0，及基本不等式的性质a＋b≥2，得a＋b>；当a＝1，b＝0时，满足a＋b>，不能够推出a>0且b>0，故“a>0且b>0”是“a＋b>”的充分不必要条件．
3. B　因为m，n，a，b，c，d均为正数，所以q＝≥＝＋＝p，当且仅当＝时，等号成立．
4. B　当x<0时，y＝3＋[(－x)＋(－)]≥3＋2，当且仅当x＝－时，等号成立，故y有最小值3＋2.
5. D　对于A，a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故A错误；对于B，不等式只有当b>0时才成立，故B错误；对于C，不等式只有当a≥0，b≥0时才成立，故C错误；对于D，因为2－ab＝()2≥0，所以()2≥ab，故D正确．
6. C　由题意，得m1＝＝≤＝，当且仅当a＝b时等号成立，m2＝＝≥，当且仅当a＝b时等号成立．因为a不等于b，所以m1<7. D　由AC＝a，BC＝b，得半圆O的半径DO＝，DC＝＝＝，DE＝＝.因为DE0，b>0，a≠b).
8. ACD　因为a2－b2＝(a＋b)(a－b)，b0，所以a2－b2<0，即a20，故ab0，>0，所以＋≥2＝2，当＝，即a＝b时取等号，又b2，故C正确；因为－＝＝，＋>0，b－a<0，所以<，故D正确．故选ACD.
9. BCD　对于A，由图1，图2的面积相等，得S＝ab＝(a＋b)d，所以d＝，故A错误；对于B，因为AF⊥BC，所以ab＝·AF，所以AF＝，设图3中内接正方形的边长为t，根据三角形的相似，得＝，解得t＝，所以AE＝t＝.因为AE≥AF，所以≥，整理，得≥，故B正确；对于C，因为D为斜边BC的中点，所以AD＝.因为AD≥AE，所以≥，整理，得≥，故C正确；对于D，因为AD≥AF，所以≥，整理，得a2＋b2≥2ab，故D正确．故选BCD.
10. 4　因为x＋y－xy＝0，所以＋＝1.又x>0，y>0，所以x＋y＝(x＋y)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝y＝2时，等号成立，所以x＋y的最小值为4.
11. 24　令垂直于墙的矩形边长为y m，平行于墙的矩形边长为x m，则xy＝72，所以C＝x＋2y≥2＝24，当且仅当x＝2y＝12时取等号，所以所用篱笆总长C的最小值是24 m.
12. 25　因为x>0，y>0，x＋2y＝1，所以＝＝≥＝＝25，当且仅当3x2＝12y2，即x＝2y＝时，等号成立，所以的最小值为25.
13. 因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以＝(1＋)(1＋)＝＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．
故原不等式得证．
14. (1) 因为a2＋a－(2ab－b2)＝a2－2ab＋b2＋a＝(a－b)2＋a，且a>0，b>0，(a－b)2≥0，
所以a2＋a－(2ab－b2)＝(a－b)2＋a>0，
所以a2＋a>2ab－b2.
(2) 由a＋b＋3＝ab，得a＋b＝ab－3.
因为a＋b≥2，所以ab－3≥2，整理，得(－3)(＋1)≥0，且＋1>0，则－3≥0，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，
故ab的最小值为9.
15. (1) 由c－d>0.
又a>b>0，故a－c>b－d>0，
所以<.
又e<0，所以>.
(2) 因为x>0，y>0，z>0，
所以x＋y≥2>0，y＋z≥2>0，x＋z≥2>0，当且仅当x＝y＝z时，等号成立，
所以(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8＝8xyz，
所以(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
2．2.2　基本不等式(2)
1. C　因为x＋4y＝1，所以＝＋＝(x＋4y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立．
2. B　若a＋b>1，可取a＝1，b＝，则ab>不成立，即充分性不成立；若ab>，则a＋b≥2>2＝1，即必要性成立．综上，“a＋b>1”是“ab>”的必要不充分条件．
3. B　由x∈(－2，＋∞)，得x＋2>0，故y＝x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立，所以y＝x＋的最小值为6.
4. B　当x＞0时，x＋1≥2＞0，所以≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，故的最大值为.
5. C　对于A，因为m>0，n>0，m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即m＝n＝时，等号成立，故A正确；对于B，由m＋n＝1≥2，得≤，(＋)2＝m＋n＋2≤1＋1＝2，所以＋≤，当且仅当＝，即m＝n＝时，等号成立，故B正确；对于C，因为m＋n＝1≥2，所以≤，当且仅当m＝n＝时，等号成立，故C错误；对于D，m2＋n2≥＝，当且仅当m＝n＝时，等号成立，故D正确．
6. B　因为a>0，b>1，且a＋b＝2，所以b－1>0且a＋(b－1)＝1，所以＋＝[a＋(b－1)]＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝且b＝时取等号，故＋的最小值为9.
7. B　由题意，得＋≥λ.因为正数a，b满足a＋b＝3，所以＋＝＝≥＝＝≥＝，当且仅当a＝b，即a＝，b＝时，两个等号同时成立，所以λ的取值范围为.
8. BCD　对于A，当x<0时，y＝<0，故A错误；对于B，当x>1时，x－1>0，则y＝2x＋－1＝2(x－1)＋＋1≥2＋1＝4＋1，当且仅当x＝＋1时，等号成立，故B正确；对于C，若正数x，y满足x＋2y＝3xy，则3＝＝＋，2x＋y＝(2x＋y)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝3，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故C正确；对于D，因为x，y∈R，xy<0，所以<0，<0，所以－>0，－>0，所以＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2，当且仅当＝，即x＝－y时取等号，故D正确．故选BCD.
9. BC　因为x>0，y>0，且2x＋y＝1，所以2x＋y≥2＝2·，则xy≤()2＝，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故A错误，B正确；＋＝(＋)(2x＋y)＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故C正确，D错误．故选BC.
10. 4　由x>0，y>1，得x>0，y－1>0.由2x＋y＝2，得2x＋(y－1)＝1，所以＋＝[2x＋(y－1)]·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即y－1＝2x＝时取等号，所以＋的最小值为4.
11. 3　由≤[()2＋()2]，得＋≤＝＝3，当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝，b＝时，等号成立，故＋的最大值为3.
12. 　因为对任意x∈(0，＋∞)，不等式≥，所以a≥，即a≥.又≤＝，当且仅当x＝2时取等号，则a≥，所以实数a的最小值是.
13. 因为x>，所以4x－5>0，
所以4x－2＋＝4x－5＋＋3≥
2＋3＝2＋3＝5，
当且仅当4x－5＝，即x＝时，等号成立，
所以4x－2＋的最小值为5.
14. (1) 由0故y＝x(2－x)的最大值为1.
(2) 当x>－1时，x＋1>0，
则y＝＝＝x＋1＋≥2＝6，当且仅当x＋1＝，即x＝2时取等号，
所以y＝的最小值为6.
15. (1) 因为a>0，b>0，a＋3b＝1，
所以＋＝(a＋3b)＝10＋＋≥10＋2＝16，
当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，
故＋有最小值16.
(2) 因为a>0，b>0，a＋3b＝1，
所以a＝1－3b，0所以a2＋9b2＋7ab＝(1－3b)2＋9b2＋7b(1－3b)＝－3b2＋b＋1＝－3＋，
当b＝时，a2＋9b2＋7ab有最大值.
因为m>a2＋9b2＋7ab恒成立，所以m>.
故实数m的取值范围是{m|m>}．
2．2.3　基本不等式(3)
1. D　由命题“对任意的x>0，x＋－m>0都成立”为真命题，得当x>0时，m2. C　因为a>0，b>0，所以＋＝5＋＋＝5＋(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝9，当且仅当a＝b，即a＝，b＝时，等号成立，故＋的最小值为9.
3. D　由正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，得＋＝1，x>0，y>0，所以x＋y＝(x＋y)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即y＝2x＝6时，等号成立，所以≤＝，即的最大值为.
4. B　由题意，得(ax－2) (1－x)＝(ax－2)[1－(1－x)]＝ax2－2x<－3a在05. B　由题意，得a＋2b＝[(a＋b)＋b]＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝1，b＝＋1时等号成立，所以所求最小值为3＋2.
6. B　由题意知v>10，则v－10>0，>0，f(v)＝＝＝≤＝2，当且仅当v－10＝，即v＝60时，等号成立，所以当汽车的平均速度为60 km/h时，车流量最大．
7. D　由x＋y－xy＝，得(x－1)(y－1)＝.因为x>1，y>1，所以x－1>0，y－1>0，则2x＋y＝2(x－1)＋(y－1)＋3≥2＋3＝5，当且仅当2(x－1)＝(y－1)，即x＝，y＝2时，等号成立，所以2x＋y的最小值是5.
8. ACD　对于A，＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即b＝a＝2－时取等号，故A正确；对于B，＋＝≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号，故B错误；对于C，≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号，故C正确；对于D，a2＋b2＝≥(a＋b)2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，故D正确．故选ACD.
9. ACD　设AN的长为x m(x>2)，则由＝，得AM＝，所以S矩形AMPN＝AN·AM＝.令x＝8，则S矩形AMPN＝32 m2，故A正确；由S矩形AMPN＝32，得＝32.又x>2，所以3x2－32x＋64＝0，解得x＝或x＝8，所以AM的长度为12 m或4 m，故B错误；因为S矩形AMPN＝＝＝3(x－2)＋＋12≥2＋12＝24，当且仅当3(x－2)＝，即x＝4时，等号成立，所以当AN的长度是4 m时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24 m2，故C，D正确．故选ACD.
10. 3　设点P到AC，BC的距离分别为x，y，则由题意，得＝，所以4x＋3y＝12.又4x＋3y≥2，所以xy≤3，当且仅当4x＝3y，即x＝，y＝2时，等号成立，故点P到AC，BC距离的乘积的最大值为3.
11. 32　设圆的半径为r，则πr2＝16π，解得r＝4.设矩形的长为a，宽为b.因为矩形ABCD的四个顶点均在圆O上，所以AC＝BD＝2r＝8，所以a2＋b2＝AC2＝64.因为64＝a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b＝4时取等号，所以ab≤32，当且仅当a＝b＝4时取等号，所以矩形ABCD的面积最大值为32.
12. 　因为A(0，a)，C(a，0)(a>1)，四边形OABC是正方形，函数y＝x－的图象与线段BC交于点P, 所以CP＝.又函数y＝2x2的图象与线段AB交于点Q，所以AQ＝.因为a>1，所以AQ＋CP＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，所以当a＝时，AQ＋CP最小．
13. 设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，
则ab＝20 000，所以b＝，广告的高为(a＋20)cm，宽为(3b＋30)cm(其中a>0，b>0)，
广告的面积S＝(a＋20)(3b＋30)＝30(a＋2b)＋60 600＝30＋60 600≥30×2＋60 600＝12 000＋60 600＝72 600，
当且仅当a＝，即a＝200时，等号成立，此时b＝100.
故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm时，可使整个矩形广告的面积最小．
14. (1) 由已知，得L(x)＝C(x)－(x＋2)＋2x.
又C(x)＝
所以L(x)＝
(2) 当0当2因为370<390，
所以L(x)的最大值为390，
故当产量为3千件时，该工厂利润最大，最大利润是390千元．
15. (1) 因为要将直角三角形BB0P地块全部修建为面积至少 0.25 km2的湿地公园，
所以S△BB0P＝BB0·B0P＝×1×(4－a)≥0.25，
解得a≤.
因为要将直角三角形AA0P地块全部修建为面积至少1 km2的文化主题公园，
所以S△AA0P＝AA0·A0P＝×2×a≥1，
解得a≥1，
故实数a的取值范围为.
(2) 由题意，得W＝(1＋)·a＋1×＋0.1＝a＋＋＋0.1＝＋＋2.1≥2＋2.1＝2×＋2.1＝5.1，
当且仅当＝，即a＝3时，等号成立，
所以当点P满足A0P＝3时，W取得最小值5.1亿元．