3.2.1 单调性与最大(小)值 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

3.2.1　单调性与最大(小)值(1)
一、 单项选择题
1 (2024泰州月考)函数y＝|x＋1|的单调增区间是(　　)
A. (－∞，－1) B. (－∞，1)
C. (－1，＋∞) D. (1，＋∞)
2 (2024青岛月考)已知二次函数f(x)＝－2x2＋(m－1)x＋m＋3的图象经过坐标原点，则函数的单调增区间为(　　)
A. (－∞，1] B. (－∞，－1]
C. [1，＋∞) D. [－1，＋∞)
3 (2024凉山州期末)若函数y＝4x2＋kx＋8在区间[1，4]上单调递减，则实数k的取值范围是(　　)
A. [32，＋∞) B. [－8，＋∞)
C. [－32，－8] D. (－∞，－32]
4 (2025茂名期末)已知函数f(x)＝在区间(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)
A. (－∞，1] B. (－∞，3]
C. [3，＋∞) D. [5，＋∞)
5 已知定义在R上的函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列关系中成立的是(　　)
A. f(3)B. f(－π)C. f(－4)D. f(3)6 (2024大连期末)已知函数f(x)＝2ax2－1，对任意的x1，x2∈[－3，－2]，且x1≠x2，都有<4，则实数a的取值范围是(　　)
A. B. (－∞，2]
C. D.
7 (2024哈尔滨期中)已知函数f(x)满足对任意x1，x2∈[0，＋∞)，当x1f(x2)－恒成立，若f(4)＝4，则不等式f(2x)<＋2的解集为(　　)
A. [0，2) B. [0，4)
C. (2，＋∞) D. (4，＋∞)
二、 多项选择题
8 若函数f(x)，g(x)均是定义域为R的增函数，则下列函数在其定义域上为增函数的是(　　)
A. f(x)＋g(x) B. f(x)·g(x)
C. [f(x)]3 D. f(g(x))
9 (2024宁波期中)若y＝f(x)在区间(0，＋∞)是减函数，且0A. f(x1)>f(x2)
B. f(x1)－f(x2)>0
C. (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0
D. >0
三、 填空题
10 (2025长寿期末)函数f(x)＝的单调增区间为________．
11 已知函数f(x)＝不是单调函数，则实数a的取值范围是________．
12 (2025宝山月考)若函数y＝(1－k)x2＋2x－5在x∈[1，＋∞)上是严格增函数，则实数k的取值范围是________．
四、 解答题
13 已知函数f(x)＝a(3－x)＋的图象过点(0，1)与.求：
(1) f(x)的解析式；
(2) f(x)在区间[1，4]上的最大值．
14 (2024郑州期中)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x.
(1) 求f(x)的解析式并且写出f(x)的单调区间；
(2) 求出f(x)在区间[－1，4]上的最大值和最小值．
15 已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3.
(1) 画出f(x)的图象；
(2) 请根据图象指出函数f(x)的单调区间；
(3) 当实数k取不同的值时，讨论关于x的方程x2－4|x|＋3＝k的实数根的个数．
3．2.1　单调性与最大(小)值(2)
一、 单项选择题
1 函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 (　　)
A. －2，f(2) B. 2，f(2)
C. －2，f(5) D. 2，f(5)
2 函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是(　　)
A. ， B. 2，5 C. 1，2 D. ，
3 (2024重庆辅仁中学期中)已知函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是(　　)
A. [1，＋∞) B. [0，2]
C. (－∞，－2] D. [1，2]
4 (2025莆田锦江中学月考)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为(　　)
A. [－1，0] B. [－1，2]
C. [－2，－1] D. [－2，0]
5 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)
A. 90万元 B. 120万元
C. 120.25万元 D. 60万元
6 已知函数f(x)＝的最小值是－1，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
7 (2024海口阶段练习)max{f(x)，g(x)}表示f(x)与g(x)中的较大者，设h(x)＝max{|x＋1|，－x2＋2x＋3}，则函数h(x)的最小值是(　　)
A. －2 B. －1 C. 0 D. 1
二、 多项选择题
8 下列关于单调性的表述中，错误的是(　　)
A. x∈[a，b]，若f(a)－f(b)<0，则函数f(x)在区间[a，b]上单调递增
B. x∈D且x＋1∈D，若f(x)－f(x＋1)<0，则函数f(x)在区间D上单调递增
C. x1，x2∈D且x1D. x1，x2∈D，若[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0，则函数f(x)在区间D上单调递增
9 若存在常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足：f(x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b恒成立，则称此直线y＝kx＋b为f(x)和g(x)的“隔离直线”，已知函数f(x)＝x2(x∈R)，g(x)＝－(x>0)，若函数f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”y＝4x－b，则实数b的取值可以是(　　)
A. －5 B. 0 C. 4 D. 7
三、 填空题
10 已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则a＝________，f(x)的最大值为________．
11 已知函数f(x)＝，x∈[0，2]的最大值为，则实数m的值为________．
12 (2025西青期末)给定函数f(x)＝x2－2，g(x)＝－x＋1，用M(x)表示函数f(x)，g(x)中的较大者，即M(x)＝max{f(x)，g(x)}，则M(x)的最小值为________．
四、 解答题
13 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝2，f(x＋2)－f(x)＝2x＋4.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 若x∈[m，m＋1]，其中m∈R，求f(x)的最小值．
14 (2024泰安弘文中学月考)已知函数f(x)＝经过(－1，－2)，两点．
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 判断函数f(x)在区间(0，1)上的单调性并用定义进行证明；
(3) 若f(x)≤m对任意x∈恒成立，求实数m的取值范围．
15 (2024安徽期末)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，对任意x，y∈(0，＋∞)，都有f＝f(x)－f(y)，且当x>1时，f(x)<0.
(1) 判断并证明函数f(x)的单调性；
(2) 若f＝3，求解关于x的不等式f(x)＋f<6.
3.2.1　单调性与最大(小)值(1)
1. C　y＝|x＋1|＝故函数的单调增区间是(－1，＋∞).
2. B　因为函数f(x)经过原点，所以f(0)＝0，即m＋3＝0，m＝－3，所以f(x)＝－2x2－4x，图象开口向下，对称轴为直线x＝－1，所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1].
3. D　函数y＝4x2＋kx＋8的单调减区间是(－∞，－]，由题意，得[1，4] (－∞，－]，则－≥4，解得k≤－32，所以实数k的取值范围是(－∞，－32].
4. D　由x2－6x＋5≥0，可得x≤1或x≥5，即函数f(x)的定义域为(－∞，1]∪[5，＋∞).又因为t＝x2－6x＋5在[5，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，y＝在区间[0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知，f(x)＝在区间[5，＋∞)上单调递增，故a≥5.
5. D　由题意，得f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以f(3)6. D　不妨设g(x)＝f(x)－4x＝2ax2－4x－1，因为对任意的x1，x2∈[－3，－2]，且x1≠x2，都有<4，所以对任意的x1，x2∈[－3，－2]，且x1≠x2，都有<0，即<0，所以g(x)＝2ax2－4x－1在区间[－3，－2]上单调递减．当a＝0时，g(x)＝－4x－1在区间[－3，－2]上单调递减，满足题意；当a≠0时，g(x)＝2ax2－4x－1在区间[－3，－2]上单调递减，此时图象的对称轴为直线x＝.若a>0，则≥－2，即a≥－，故a>0满足题意；若a<0，则≤－3，即－≤a<0满足题意．综上，实数a的取值范围是[－，＋∞).
7. C　因为对任意x1，x2∈[0，＋∞)，当x1f(x2)－恒成立，所以y＝f(x)－在区间[0，＋∞)上是减函数．因为不等式f(2x)<＋2可变形为f(2x)－<2，且f(4)＝4，所以f(4)－＝4－2＝2，即有f(2x)－4，解得x>2.
8. ACD　因为函数f(x)，g(x)均是定义域为R的增函数，所以f(x)，g(x)不是常数函数．设x1>x2，则f(x1)>f(x2)，g(x1)>g(x2).对于A，设x1>x2，则f(x1)＋g(x1)－f(x2)－g(x2)＝f(x1)－f(x2)＋g(x1)－g(x2)>0，所以f(x)＋g(x)为增函数，故A正确；对于B，函数f(x)＝x，g(x)＝3x均是定义域为R的增函数，但是f(x)g(x)＝3x2不是增函数，故B错误；对于C，设x1>x2，则[f(x1)]3－[f(x2)]3＝[f(x1)－f(x2)]·{[f(x1)]2＋f(x1)f(x2)＋[f(x2)]2}．因为f(x1)>f(x2)，[f(x1)＋f(x2)]2＋[f(x2)]2>0，所以[f(x1)]3－[f(x2)]3>0，即[f(x)]3是定义域为R的增函数，故C正确；对于D，因为函数f(x)，g(x)均是定义域为R的增函数，根据复合函数的单调性可得f(g(x))是定义域为R的增函数，故D正确．故选ACD.
9. ABC　对于AB，由y＝f(x)在区间(0，＋∞)是减函数，且0f(x2)，f(x1)－f(x2)>0，故AB正确；对于CD，因为x1－x2<0，f(x1)－f(x2)>0，所以(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，<0，故C正确，D错误．故选ABC.
10. 　由3x2－7x－10≥0，解得x≤－1或x≥，则函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪.令t＝3x2－7x－10，其图象的对称轴方程为x＝，所以函数t在区间(－∞，－1]上单调递减，在区间上单调递增，则由复合函数的单调性可得，函数f(x)的单调增区间为.
11. (－∞，)　当x≥a时，f(x)＝x2－2(1－a)x＋a2，图象的对称轴为直线x＝－＝1－a，当1－a>a，即a<时，满足要求；当1－a≤a，即a≥时，令2a＋1>a2－2(1－a)a＋a2，可得≤a<.综上，实数a的取值范围是(－∞，).
12. (－∞，1]　当k＝1时，y＝2x－5满足在区间[1，＋∞)上严格单调递增；当k<1时，≤1，解得k<1；当k>1时，显然不存在满足题目要求的k.综上，k的取值范围是(－∞，1].
13. (1) 由题意，得f(0)＝1，f(3)＝，
则解得
故f(x)＝(3－x)＋.
(2) 当x∈[1，4]时，f(x)＝1－＋＝1－＋＋＝－，
所以f(x)≤－2＝，
当且仅当＝，即x＝2时，等号成立，
故f(x)在区间[1，4]上的最大值为.
14. (1) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由f(0)＝1，得c＝1.
由f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，得f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，
所以f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2x，
整理，得2ax＋a＋b＝2x，则解得
可得f(x)＝x2－x＋1.
因为f(x)＝x2－x＋1的对称轴为直线x＝，且二次项系数为1>0，
所以函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为.
(2) 由(1)，得函数在x＝处最小值，即f＝，
当x＝－1时，f(－1)＝3，当x＝4时，f(4)＝13，
所以函数f(x)的最大值为13，最小值为.
15. (1) 因为f(x)＝x2－4|x|＋3＝所以函数f(x)的图象如图．
(2) 由图象可知，函数f(x)的单调增区间是(－2，0)，(2，＋∞)；单调减区间是(－∞，－2)，(0，2).
(3) 因为方程x2－4|x|＋3＝k的实数根的个数即是函数f(x)的图象与直线y＝k的交点个数，
所以由图可知，当k＝－1或k>3时，函数f(x)的图象与直线y＝k的交点个数是2，此时方程有2个实根；当k＝3时，函数f(x)的图象与直线y＝k的交点个数是3，此时方程有3个实根；当－13．2.1　单调性与最大(小)值(2)
1. C　由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5).
2. A　因为y＝x2＋1在区间(0，＋∞)上单调递增，且y＞1，所以f(x)＝在区间[1，2]上单调递减，所以函数f(x)在区间[1，2]上的最大值为f(1)＝，最小值为f(2)＝.
3. D　因为f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，所以f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，则f(x)在区间[0，1]上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．又因为f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，且f(x)在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，所以m∈[1，2].
4. A　当x＝0，f(0)＝a2，因为f(0)是f(x)的最小值，所以f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，则有a≤0，且a2≤x＋＋a，x>0恒成立．由x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，所以a2≤2＋a，解得－1≤a≤2.综上，实数a的取值范围为[－1，0].
5. B　设该公司在甲地销售x辆车，则在乙地销售(15－x)辆．根据题意，得总利润y＝－x2＋21x＋2(15－x)，其中0≤x≤15，x∈N，整理，得y＝－x2＋19x＋30，抛物线的对称轴为直线x＝.因为x∈N，所以当x＝9或x＝10时，y取得最大值120万元．
6. A　当x≤1时，f(x)＝x2－1，f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，在区间(0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝0－1＝－1.当x>1时，f(x)＝ax2－x＋2图象的对称轴为直线x＝，因为函数f(x)的最小值为－1，所以必有a>0.当>1，即07. C　设f(x)＝|x＋1|，g(x)＝－x2＋2x＋3.当x≤－1时，f(x)≥0≥－x2＋2x＋3，此时h(x)＝－x－1；当x>－1时，f(x)＝x＋1，此时f(x)－g(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)，当－12时，f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)，所以h(x)＝当x≤－1时，h(x)＝－x－1≥0，当且仅当x＝－1时取等号；当－12时，h(x)＝x＋1>3，故函数h(x)的最小值为0.
8. AB　对于A，仅有两个特殊函数值的大小关系，不满足两个自变量的任意性，故A错误；对于B，不满足两个自变量的任意性，故B错误；对于C，与单调递增的定义吻合，故C正确；对于D，由[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0，得或则函数f(x)在区间D上单调递增，故D正确．故选AB.
9. CD　若函数f(x)和g(x)之间存在隔离直线y＝4x－b，则对任意的x>0，f(x)＝x2≥4x－b，即b≥－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，而y＝－(x－2)2＋4≤4，当且仅当x＝2时，等号成立，所以b≥4；对任意的x>0，g(x)＝－≤4x－b，则b≤4x＋.因为4x＋≥2＝8，当且仅当x＝1时，等号成立，所以b≤8.综上，4≤b≤8，所以实数b的取值可以是4或7.故选CD.
10. －2　1　f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，所以f(x)在区间[0，1]上单调递增．又因为f(x)min＝f(0)＝a＝－2，所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
11. －2　由已知，得f(0)＝，因为f(x)max为{f(0)，f(2)，f(－)}中的最大值，所以解得m＝－2.
12. 　令x2－2＝－x＋1，解得x＝－2或x＝，作出函数M(x)的图象如图，由图象可知，当x＝时，M(x)取得最小值为M＝.
13. (1) 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
因为f(0)＝2，所以c＝2.
又f(x＋2)－f(x)＝2x＋4，
所以a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2x＋4，
即4ax＋4a＋2b＝2x＋4，
所以解得a＝，b＝1，
所以f(x)＝x2＋x＋2.
(2) 因为f(x)＝x2＋x＋2，
所以抛物线的对称轴为直线x＝－1，开口向上，
所以函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递减，在区间[－1，＋∞)上单调递增，
故f(x)min＝f(－1)＝.
当m＋1≤－1，即m≤－2时，函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递减，f(x)min＝f(m＋1)＝＋2m＋；
当－2当m>－1时，函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，f(x)min＝f(m)＝＋m＋2.
综上，f(x)的最小值为
f(x)min＝
14. (1) 因为f(－1)＝－2，f＝，
所以解得
所以f(x)＝x＋.
(2) f(x)在区间(0，1)上单调递减，证明如下：
任取x1，x2∈(0，1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2).
因为x1，x2∈(0，1)，且x1所以x1－x2<0，0所以x1x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在区间(0，1)上单调递减．
(3) 由f(x)≤m对任意x∈恒成立，得m≥f(x)max，
由(2)知，f(x)在区间(0，1)上单调递减，
所以函数f(x)在区间上的最大值为f＝，
所以m≥.
故实数m的取值范围为[，＋∞).
15. (1) f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，证明如下：
因为对任意x，y∈(0，＋∞)，都有f()＝f(x)－f(y)，
且当x>1时，f(x)<0，
所以对任意01，
有f(x2)－f(x1)＝f()<0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
(2) 因为对任意x，y∈(0，＋∞)，都有f()＝f(x)－f(y)，
所以f()＋f(y)＝f(x)，则f(x)＋f(y)＝f(xy).
因为f()＝3，所以f()＝f()＋f()＝6，
所以不等式f(x)＋f(x－)<6，
可化为f则有解得x>1，
故不等式f(x)＋f(x－)<6的解集为(1，＋∞).