3.2.2 奇 偶 性 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

3．2.2　奇 偶 性(1)
一、 单项选择题
1 (2025呼和浩特期末)下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A. y＝x－1 B. y＝|x|
C. y＝－ D. y＝1－x2
2 (2024株洲炎陵期末)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A. f(x－1)－1 B. f(x－1)＋1
C. f(x＋1)－1 D. f(x＋1)＋1
3 已知奇函数f(x)在区间[3，6]上单调递增，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为(　　)
A. 10 B. －10　 C. 9 D. 15
4 (2024海南期中)函数f(x)＝的图象大致是(　　)
A B C D
5 (2024杭州期中)设偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
6 (2024吉林期末)已知函数f(x)＝x＋，a∈R，则f(x)的图象不可能是(　　)
A B C D
7 (2024山东阶段练习)已知函数f(x)＝x5＋bx－8，若f(m)＝－3，则f(－m)的值是(　　)
A. 3 B. －13 C. －5 D. 5
二、 多项选择题
8 已知函数f(x)＝则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)为偶函数
B. f(x)在区间上单调递减
C. f(x)的最大值为
D. f(x)的最小值为－2
9 (2024湖北阶段练习)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在区间(－∞，0]上单调递减，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(f(x))是偶函数
B. f(g(x))是奇函数
C. g(g(x))在区间[0，＋∞)上单调递增
D. g(f(x))在区间[0，＋∞)上单调递增
三、 填空题
10 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2＋(a－1)x＋a＋1，则f(－3)＝________．
11 (2024邵阳阶段练习)已知f(x)和g(x)是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，则f(2)＋g(2)＝________．
12 (2025定西期末)已知函数f(x)＝
是定义在R上的偶函数，则g(－4)＝________．
四、 解答题
13 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，f(2a2＋a＋1)14 (2024昭通期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋3x.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 若f(2a－1)＋f(4a－3)>0，求实数a的取值范围．
15 (2024杭州期中)已知函数f(x)＝1－(x∈R).
(1) 判断函数f(x)在R上的奇偶性，并证明；
(2) 判断函数f(x)在R上的单调性，并用定义法证明；
(3) 写出f(x)在R上的值域．
3．2.2　奇 偶 性(2)
一、 单项选择题
1 (2025朝阳期末)设函数f(x)＝x2＋(a－2)x＋1(a∈R)，则“a＝2”是“f(x)是偶函数”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2 若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上(　　)
A. 单调递增且最小值为－5
B. 单调递增且最大值为－5
C. 单调递减且最小值为－5
D. 单调递减且最大值为－5
3 (2025河北期末)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)是奇函数，单调减区间是(－∞，－1)
B. f(x)是奇函数，单调减区间是(－1，1)
C. f(x)是偶函数，单调增区间是(1，＋∞)
D. f(x)是偶函数，单调增区间是(－∞，－1)
4 若函数f(x)＝|2x－1|－|2x－a|为奇函数，则实数a的值为(　　)
A. －1 B. 1
C. －1或1 D. 0
5 已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，若f(2)＝2，则f(2 022)的值为(　　)
A. －1 B. 0　 C. 1 D. －2
6 已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R，y＝f(1＋x)为偶函数，y＝g(x＋1)＋1为奇函数， x∈R，f(x)＋g(x)＝x2＋3，则f(4)g(4)的值为(　　)
A. 66 B. 70 C. 74 D. 78
7 (2025湖北期末)已知定义在区间[－1，1]上的单调增函数f(x)，且y＝f(x)－2为奇函数，则不等式f(3－2x2)＋f(3x－4)<4的解集为(　　)
A. (－∞，1)∪[，＋∞)
B. (1，]
C. (－∞，1]∪(，＋∞)
D. [1，)
二、 多项选择题
8 (2025南充一中期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(0)＝0
B. 若f(x)在区间[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在区间(－∞，0]上有最大值1
C. 若f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在区间(－∞，－1]上为减函数
D. 若当x>0时，f(x)＝x2－2x，则当x<0时，f(x)＝－x2－2x
9 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，f(2)＝0，且在区间(－∞，0)上单调递增，则下列结论中正确的是(　　)
A. 不等式≤0的解集为[－3，0)∪[1，＋∞)
B. 不等式≤0的解集为(－∞，－3]∪(0，1]
C. f(x－2)≥f(2x＋1)的解集为
D. f(x－2)≥f(2x＋1)的解集为(－∞，－3]∪
三、 填空题
10 已知函数f(x)＝g(x)＋2，x∈[－3，3]，且g(x)满足g(－x)＝－g(x)，若f(x)的最大值，最小值分别为M，N，则M＋N＝________．
11 (2024通辽阶段练习)已知函数f(x)是定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2＋x＋1，则当x>0时，f(x)＝________．
12 (2024惠州阶段练习)已知偶函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，且f(4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为________．
四、 解答题
13 (2024哈尔滨期中)已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x2＋2x＋3.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 求f(x)的值域．
14 已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意的x1，x2∈D，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2).
(1) 求f(1)的值；
(2) 判断函数f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3) 若f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围.
15 已知函数f(x)＝是定义域为(－1，1)的奇函数，且f＝－.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 用单调性的定义证明f(x)是增函数；
(3) 解关于t的不等式f(t)＋f(t＋1)<0.
3．2.2　奇 偶 性(1)
1. D　对于A，函数y＝x－1为非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；对于B，函数y＝|x|为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；对于C，函数y＝－为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；对于D，函数y＝1－x2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减．
2. B　由题意，得f(x)＝＝－1＋.对于A，f(x－1)－1＝－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1＝是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数．
3. C　由已知，得f(6)＝8，f(3)＝－1.又因为f(x)是奇函数，所以f(6)＋f(－3)＝f(6)－f(3)＝8－(－1)＝9.
4. A　由|x|≠0可得f(x)定义域为{x|x≠0}．又f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)为偶函数，排除B；当x>0时，f(x)＝＝x－，则f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，排除CD.故选A.
5. C　因为f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，所以原不等式等价于|2x－1|<，解得6. D　若a＝0，则f(x)＝x，x≠0，故A正确；若a>0，f(x)＝x＋为奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立，所以图象关于原点对称，且在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，故B正确；若a<0，f(x)＝x＋为奇函数，值域为R，且在区间(0，＋∞)上单调递增，故C正确；图象不可能为D.
7. B　令g(x)＝x5＋bx，则g(m)＝f(m)＋8＝5.因为g(－x)＝－x5－bx＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(－m)＝－g(m)＝－5，所以f(－m)＝g(－m)－8＝－13.
8. BCD　作出f(x)在区间[－1，2]上的大致图象如图．因为f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)不是偶函数，故A错误；由图象可知，f(x)在区间上单调递减，故B正确；当x＝－或x＝时，f(x)max＝，当x＝2时，f(x)min＝－2，故CD正确．故选BCD.
9. AC　因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，所以f(f(－x))＝f(f(x))，f(g(－x))＝f(－g(x))＝f(g(x))，所以f(f(x))和f(g(x))均为偶函数，故A正确，B错误；因为f(x)，g(x)在区间(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，g(x)在R上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，g(g(x))在区间[0，＋∞)上单调递增，g(f(x))在区间[0，＋∞)上单调递减，故C正确，D错误．故选AC.
10. －3　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2＋(a－1)x＋a＋1，则f(0)＝a＋1＝0，解得a＝－1，即当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x，所以f(－3)＝－f(3)＝－(32－2×3)＝－3.
11. 5　由题意，得f(2)＋g(2)＝－f(－2)＋g(－2)＝－[f(－2)－g(－2)]＝－[(－2)3＋(－2)2－1]＝5.
12. 4　因为f(x)＝是定义在R上的偶函数，所以g(－4)＝f(－4)＝f(4)＝42－3×4＝4.
13. 由题意，得f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
因为2a2＋a＋1＝2＋>0，2a2－2a＋3＝2＋>0，且f(2a2＋a＋1)所以2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，解得a>.
故实数a的取值范围是.
14. (1) 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以当x＝0时，f(0)＝0.
又当x>0时，f(x)＝x2＋3x，
所以当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－3x＝x2－3x＝－f(x)，可得f(x)＝－x2＋3x.
因为f(0)＝0满足f(x)＝x2＋3x，
所以f(x)＝
(2) 因为f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0]上单调递增．
又因为函数f(x)在R上连续，
所以函数f(x)在R上单调递增．
由f(2a－1)＋f(4a－3)>0，
得f(4a－3)>－f(2a－1)＝f(1－2a)，
所以4a－3>1－2a，解得a>.
故实数a的取值范围是(，＋∞).
15. (1) 函数f(x)在R上是奇函数，证明如下：
f(－x)＋f(x)＝1－＋1－＝2－－＝2－＝2－2＝0，x∈R，
即函数在R上是奇函数．
(2) 函数f(x)在R上单调递增，证明如下：
任取x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝1－－1＋＝－＝，
因为x1>x2，所以2x1－2x2>0.
又2x1＋1>0，2x2＋1>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即函数f(x)在R上单调递增．
(3) 由2x>0，得2x＋1>1，0<<1，－2<－<0，－1<1－<1，
即函数f(x)在R上的值域为(－1，1).
3．2.2　奇 偶 性(2)
1. C　当a＝2时，f(x)＝x2＋1，f(－x)＝x2＋1＝f(x)，为偶函数．当f(x)是偶函数时，由f(x)＝f(－x)，即x2＋(a－2)x＋1＝x2－(a－2)x＋1恒成立，可得2(a－2)x＝0恒成立，即a＝2，所以“a＝2”是“f(x)是偶函数”的充要条件．
2. B　由题意知，f(x)在区间[－7，－3]上单调递增，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.
3. B　f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－x|－x|＋2x＝－(x|x|－2x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，f(x)＝画出函数f(x)的图象如图，观察图象可知，f(x)在区间(－1，1)上单调递减．
4. C　因为函数f(x)＝|2x－1|－|2x－a|为奇函数，所以f(0)＝1－|a|＝0，即a＝－1或a＝1.当a＝－1时，f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|，满足f(－x)＝－f(x)；当a＝1时，f(x)＝0，该函数既是偶函数也是奇函数，所以实数a的值为－1或1.
5. D　因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又由f(x＋2)＝f(2－x)可得f(－x)＝f(x＋4)，所以f(x)＝－f(x＋4)，则f(x＋4)＝－f(x＋8)，所以f(x)＝f(x＋8).又2 022＝8×252＋6，所以f(2 022)＝f(6)＝f(－2).又f(2)＝2，f(－2)＝－f(2)＝－2，所以f(2 022)＝f(－2)＝－2.
6. B　由y＝f(1＋x)为偶函数，得f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称．又y＝g(x＋1)＋1为奇函数，则g(x＋1)＋1＝－g(－x＋1)－1，所以g(x)的图象关于点(1，－1)对称．因为 x∈R，f(x)＋g(x)＝x2＋3，所以f(－2)＋g(－2)＝4＋3＝7.因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－2)＝f(4).又g(x)的图象关于点(1，－1)对称，所以g(－2)＝－g(4)－2，所以f(4)－g(4)＝f(－2)＋g(－2)＋2＝9.又f(4)＋g(4)＝42＋3＝19，所以f(4)＝14，g(4)＝5，所以f(4)g(4)＝70.
7. B　因为y＝f(x)－2为奇函数，所以f(－x)－2＝－[f(x)－2]，即f(－x)＋f(x)＝4，所以不等式f(3－2x2)＋f(3x－4)<4可转化为f(3－2x2)<4－f(3x－4)＝f(4－3x).因为f(x)是定义在区间[－1，1]上的单调增函数，所以－1≤3－2x2<4－3x≤1，解得18. ABD　由题意，得f(0)＝0，故A正确；当x≥0时，f(x)≥－1，且存在x0≥0，使得f(x0)＝－1，则当x≤0时，f(－x)≥－1，f(x)＝－f(－x)≤1，且当x＝－x0时，有f(－x0)＝1，所以f(x)在区间(－∞，0]上有最大值为1，故B正确；若f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则f(x)在区间(－∞，－1]上为增函数，故C错误；若当x>0时，f(x)＝x2－2x，则当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2×(－x)]＝－x2－2x，故D正确．故选ABD.
9. AD　由题意，得函数f(x)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减．函数y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到，作出y＝f(x)和y＝f(x＋1)的大致图象如图，则不等式≤0可化为或由图象可知x∈[－3，0)∪[1，＋∞)，故A正确，B错误；因为f(x)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以f(x－2)≥f(2x＋1)可化为|x－2|≤|2x＋1|，即3x2＋8x－3≥0，解得x∈(－∞，－3]∪[，＋∞)，故C错误，D正确．故选AD.
10. 4　因为g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以在区间[－3，3]上，g(x)max＝－g(x)min，所以M＝g(x)max＋2，N＝g(x)min＋2，所以M＋N＝g(x)max＋g(x)min＋4＝4.
11. x2＋x－1　由题意，得当x>0时，－x<0，所以f(x)＝－f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1.
12. (－4，0)∪(4，＋∞)　若x<0，则xf(x)>0等价于f(x)<0.因为f(4)＝f(－4)＝0，f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，所以由f(x)<0，得－40，则xf(x)>0等价于f(x)>0，由题意知f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，且f(4)＝0，所以由f(x)>0得，x>4.综上，xf(x)>0的解集为(－4，0)∪(4，＋∞).
13. (1) 当x∈[－1，0)时，－x∈(0，1]，则f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋2(－x)＋3]＝－x2＋2x－3，
所以f(x)＝
(2) 当x∈[－1，0)时，f(x)＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2在区间[－1，0)上单调递增，
所以f(x)∈[－6，－3)；
当x∈(0，1]时，f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2在区间(0，1]上单调递增，
所以f(x)∈(3，6].
又因为f(0)＝0，
所以f(x)的值域为[－6，－3)∪{0}∪(3，6].
14. (1) 因为对于任意的x1，x2∈D，都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
所以f(1)＝0.
(2) 函数f(x)是偶函数，证明如下：
令x1＝x2＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，则f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x).
又函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
所以函数f(x)为偶函数．
(3) 由题意，得f(16)＝f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2.
由(2)知，f(x)是偶函数，
所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)又f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以0<|x－1|<16，解得－15所以x的取值范围是{x|－1515. (1) 因为f(x)＝是定义域为(－1，1)的奇函数，
所以f(0)＝0，可得＝0，解得b＝0.
又由f(－)＝－，可得＝－，解得a＝1，
此时f(x)＝，满足定义域为(－1，1).
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，
所以f(x)＝.
(2) 任取x1，x2∈(－1，1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
由－10，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)是增函数．
(3) 因为f(x)是定义在区间(－1，1)上的奇函数，
且在定义域(－1，1)上单调递增，
所以由f(t)＋f(t＋1)<0，得f(t＋1)<－f(t)＝f(－t)，
所以解得－1所以不等式f(t)＋f(t＋1)<0的解集为(－1，－).