3.3 幂函数 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

3．3　幂　函　数
一、 单项选择题
1 下列所给出的函数中，是幂函数的是(　　)
A. y＝－x3 B. y＝x-3
C. y＝2x3 D. y＝x3－1
2 (2025齐齐哈尔期末)若幂函数f(x)＝(a2－2a－2)x1-a在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数a的值为(　　)
A. －3 B. －1　 C. 1 D. 3
3 (2025眉山期末)已知幂函数y＝f(x)经过点，则f(x)是(　　)
A. 偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数
B. 偶函数，在区间(0，＋∞)上是减函数
C. 奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数
D. 非奇非偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数
4 对于函数y＝f(x)，若在其定义域内任取两个不等的实数x1，x2，均满足f<，则称该函数为凸函数. 下列函数中是凸函数的是(　　)
A. f(x)＝3x＋1
B. f(x)＝
C. f(x)＝x2＋3x＋2
D. f(x)＝|x＋1|
5 函数f(x)＝(m2－m＋1)xm2－2m－3(0≤m≤3，m∈Z)同时满足：①对于定义域内的任意实数x，都有f(－x)＝f(x)；②在区间(0，＋∞)上单调递减，则f()的值为(　　)
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
6 (2025湖北期末)已知幂函数f(x)的图象过点，若f(3－2m)<1，则实数m的取值范围为(　　)
A. (－∞，1)
B.
C. (－∞，1)∪
D. (－∞，1)∪
7 (2024上海阶段练习)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，a＋b<0，则f(a)＋f(b)的值(　　)
A. 恒大于0 B. 恒小于0
C. 等于0 D. 无法判断
二、 多项选择题
8 (2024浙江期中)已知幂函数f(x)＝x，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)的定义域为[0，＋∞)
B. f(x)是减函数
C. f(x)的值域为[0，＋∞)
D. f(x)是偶函数
9 若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②若对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0，则称函数f(x)为“理想函数”．下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有(　　)
A. f(x)＝
B. f(x)＝－x3
C. f(x)＝|x|
D. f(x)＝
三、 填空题
10 (2025辽宁期末)已知α∈{－，－1，－3，－4，，2，3}，幂函数f(x)＝xα在区间(－∞，0)上单调递增，其图象不过坐标原点，则α＝________．
11 已知函数f(x)＝x，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0的解集为________．
12 (2024佛山阶段练习)已知幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)xm-2在区间(0，＋∞)上单调递减，若正数a，b满足2a＋3b＝m，则＋的最小值为________．
四、 解答题
13 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m-1(m∈R)为奇函数．
(1) 求f的值；
(2) 若f(2a＋1)>f(a)，求实数a的取值范围．
14 (2024普陀期中)已知幂函数y＝(m2＋4m＋4)xm+2在区间(0，＋∞)上为单调减函数．
(1) 求实数m的值；
(2) 若(2a－1)m<(a＋3)m，求实数a的取值范围．
15 (2024天津期末)若函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm2＋2m－4为幂函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减．
(1) 求实数m的值；
(2) 若函数g(x)＝x－f(x)，且x∈(0，＋∞)，
①写出函数g(x)的单调性，并证明；
②求使不等式g(2t－1)3．3　幂　函　数
1. B　由幂函数的定义可知y＝x-3是幂函数．
2. D　因为函数f(x)＝(a2－2a－2)x1-a为幂函数，所以a2－2a－2＝1，解得a＝3或a＝－1.当a＝3时，f(x)＝x-2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意；当a＝－1时，f(x)＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意，所以a＝3.
3. C　设幂函数的解析式为f(x)＝xα，将点代入解析式，得＝3α，解得α＝－1，所以f(x)＝x-1＝，即f(x)是奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数．
4. C　对于A，f(x)的定义域是R，－f＝－(3·＋1)＝0，故A错误；对于B，f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，－f＝－＝，符号不确定，故B错误；对于C，f(x)的定义域是R，－f＝－－3·－2＝>0，故C是凸函数；对于D，f(x)的定义域是R，－f＝－，若取x1＝1，x2＝2，则上式为0，故D错误．
5. B　因为m∈Z，0≤m≤3，所以m＝0，1，2，3，代入m2－2m－3分别是－3，－4，－3，0.因为在定义域内f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数，所以m2－2m－3取值为－4或0，当m2－2m－3＝0时，f(x)在区间(0，＋∞)上不单调递减，只有m2－2m－3＝－4满足，此时m＝1，所以f(x)＝x-4，所以f＝＝()4＝4.
6. D　设f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象过点，所以2α＝，即α＝－1，所以f(x)＝x-1＝，所以不等式f(3－2m)<1可转化为<1，即<0，所以(2m－2)(3－2m)<0，即m>或m<1.
7. B　由题意，得m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足>0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．当m＝－1时，f(x)＝x0，不满足f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故m＝－1不符合题意；当m＝2时，f(x)＝x3为增函数，故m＝2符合题意．综上，m＝2，即f(x)＝x3.又f(－x)＝－x3＝－f(x)，所以f(x)在R上为奇函数且为增函数．又a＋b<0，即a<－b，所以f(a)8. AC　由幂函数f(x)＝x＝，得函数的定义域为[0，＋∞)，故A正确；由幂函数的性质可知，f(x)＝x在区间[0，＋∞)上单调递增，值域为[0，＋∞)，故B错误，C正确；由函数定义域不关于原点对称，得f(x)不是偶函数，故D错误．故选AC.
9. BD　由题意，得f(x)为奇函数，且为减函数．对于A，函数f(x)＝为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不是“理想函数”；对于B，函数f(x)＝－x3为定义域上的奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”；对于C，函数f(x)＝|x|为定义域上的偶函数，且在定义域内不单调，所以不是“理想函数”；对于D，函数f(x)＝的大致图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”．故选BD.
10. －4　因为幂函数图象不过坐标原点，则α<0，当α＝－时，f(x)＝x－＝的定义域为(0，＋∞)，不合题意；当α＝－1时，f(x)＝x-1＝在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；当α＝－3时，f(x)＝x-3＝在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；当α＝－4，f(x)＝x-4＝在区间(－∞，0)上单调递增，符合题意．综上，α＝－4.
11. 　由题意可知，f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)＝－x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．由幂函数的性质知，函数f(x)＝x在R上单调递增，由f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0，得f(t2－2t)<－f(2t2－1)，即f(t2－2t)12. 24　因为f(x)是幂函数，所以m2－4m＋4＝1，m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3.当m＝1时，f(x)＝x-1＝，在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意；当m＝3时，f(x)＝x在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意，所以m＝1，则2a＋3b＝1，由题意，得a，b为正数，＋＝(2a＋3b)＝6＋6＋＋≥12＋2＝24，当且仅当＝，2a＝3b＝时，等号成立，所以＋的最小值为24.
13. (1) 由m2－5m＋7＝1，得m＝2或m＝3，
当m＝2时，f(x)＝x-3是奇函数，满足题意；
当m＝3时，f(x)＝x-4是偶函数，不满足题意，
所以f(x)＝x-3，f＝＝8.
(2) 因为f(x)＝x-3的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞).
由f(2a＋1)>f(a)，得2a＋10>a，
解得a<－1或－所以实数a的取值范围为(－∞，－1)∪.
14. (1) 因为函数y＝(m2＋4m＋4)xm+2是幂函数，
所以m2＋4m＋4＝1，得m＝－3或m＝－1.
因为幂函数在区间(0，＋∞)上为单调减函数，
所以m＝－1不符合题意，
所以m＝－3.
(2) 由(1)可得(2a－1)-3<(a＋3)-3，设函数y＝x-3.
因为函数y＝x-3在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以2a－1>a＋3>0或0>2a－1>a＋3或解得a>4或－3所以实数a的取值范围是∪(4，＋∞).
15. (1) 由题意，得m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，
当m＝1时，f(x)＝x-1，此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意；
当m＝2时，f(x)＝x4，此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意，
所以实数m的值为1.
(2) ①由题意，得g(x)＝x－f(x)＝x－，g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．证明如下：
任取0因为00，
则g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)故g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
②由①知，g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
由g(2t－1)故实数t的取值范围是(，1).