3.4 函数的应用(一) 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

3．4　函数的应用(一)
一、 单项选择题
1 你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”．烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩．已知某种烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系式为h＝－3.6t2＋28.8t，则烟花在冲击后爆裂的时刻是(　　)
A. 第4秒　 B. 第5秒
C. 第3.5秒　 D. 第3秒
2 某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本(单位：万元)为C(x)＝x2＋4x＋16，每件商品售价为28元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用w(x)(单位：万元)表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当生产12万件时，当月能获得最大总利润144万元
B. 当生产12万件时，当月能获得最大总利润160万元
C. 当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为24元
D. 当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元
3 某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示：
可享受折扣优惠的金额 折扣率
超过400元不超过800元的部分 5%
超过800元的部分 15%
若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为(　　)
A. 935元 B. 1 000元
C. 1 035元 D. 1 100元
4 (2024四川阶段练习)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路1 h通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0为安全距离，v为车速(单位：m/s).当安全距离d0取30 m时，该道路1 h“道路容量”的最大值约为(　　)
A. 135 B. 149 C. 165 D. 195
5 根据统计，一名工人组装第x件产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c为常数). 已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，则c和A的值分别是(　　)
A. 75，25 B. 75，16
C. 60，25 D. 60，16
6 某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8 m长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、三角形、弓形这三种方案，则最佳方案是(　　)
　　
A. 方案1 B. 方案2
C. 方案3 D. 方案1或方案2
7 司机甲、乙的加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析，加油习惯更合适的是(　　)
A. 甲合适
B. 乙合适
C. 油价先高后低甲合适
D. 油价先低后高甲合适
二、 多项选择题
8 (2024河南期中)某种商品单价为50元时，每月可销售此种商品300件，若将单价降低x(x∈N*)元，则月销售量增加10x件，要使此种商品的月销售额不低于15 950元，则x的取值可能为(　　)
A. 9 B. 7 C. 13 D. 11
9 在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y(单位：km)与甲车行驶时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A. 当甲车出发2 h时，两车相遇
B. 当乙车出发1.5 h时，两车相距170 km
C. 当乙车出发2 h时，两车相遇
D. 当甲车到达C地时，两车相距40 km
三、 填空题
10 如图，在半径为4 cm的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________cm2.
(第10题) (第11题)
11 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”. 在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：min)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据. 根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________min.
12 (2024重庆阶段练习)我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 ml，已知一驾驶员某次饮酒后体内每100 ml血液中的酒精含量y(单位：mg)与时间x(单位：h)的关系是：当0四、 解答题
13 (2024福清阶段练习)某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量y(台)与零售价x(元)间满足：y＝kx＋b(k≠0)，已知第一、二月份销售情况如下表所示：
月份 1月 2月
零售价x(元) 6 000 6 500
月销售量y(台) 60 55
(1) 若厂家某月将该按摩椅定价为6 700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？
(2) 若厂家生产一台按摩椅的成本为4 000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？
14 某市出租车的计价标准是：3 km以内(含3 km)10元，超出3 km但不超过18 km的部分1元/km，超出18 km的部分2元/km.
(1) 如果某人乘车行驶了20 km，他要付多少车费？某人乘车行驶了x km，他要付多少车费？
(2) 如果某人付了22元的车费，他乘车坐了多远？某人付了10＋x(x>0)元的车费，他乘车坐了多远？
15 新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势．某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本2 000万元．每生产x(单位：百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)(单位：万元)，且C(x)＝由市场调研可知，每辆车售价5万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1) 求出2020年的利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：百辆)的函数关系式；(利润＝销售量×售价－成本)
(2) 当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
3．4　函数的应用(一)
1. A　因为h＝－3.6t2＋28.8t＝－3.6(t2－8t＋16)＋57.6＝－3.6(t－4)2＋57.6，所以当t＝4时，烟花达到最高点，即爆裂的时刻是第4秒．
2. D　由题意，得w(x)＝28x－C(x)＝－x2＋24x－16＝－(x－12)2＋128，故当x＝12时，w(x)取得最大值128，故AB错误；＝＝24－≤24－2＝16，当且仅当x＝4时，等号成立，故当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元，故C错误，D正确．
3. C　当顾客的购物总金额超过400元不超过800元时，享受折扣优惠的金额最多为400×5%＝20(元)，故该顾客购物总金额一定超过了800元，设为x元(x>800)，则400×5%＋(x－800)×15%＝65，解得x＝1 100，则此顾客实际所付金额为1 100－65＝1 035(元).
4. B　由题意，得N＝＝≤≈149，当且仅当0.3v＝，即v＝10时取等号，所以该道路1 h“道路容量”的最大值约为149.
5. D　由题意，得f(A)＝＝15，所以c＝15. 由f(4)＝30≠15，得f(4)＝＝30，解得c＝60，所以A＝16.
6. C　方案1：如图1，设AD＝x m，则AB＝(8－2x)m，则菜园面积S＝x(8－2x)＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8，当x＝2时，此时菜园最大面积为8 m2；方案2：如图2，由题意，得AB＋AC＝8，则8＝AB＋AC≥2，所以AB·AC≤16，当且仅当AB＝AC＝4时取等号，所以S△ABC＝AB·AC sin A≤8sin A≤8，即(S△ABC)max＝8，当且仅当AB＝AC＝4，∠BAC＝90°时取等号；方案3：若弓形为半圆，则半圆的半径为 m，所以此时菜园最大的面积S＝＝(m2)>8 m2，故最佳方案是方案3.
图1 图2
7. B　设司机甲每次的加油量为x，司机乙每次的加油花费为y，两次加油的单价分别为a，b，则司机甲两次加油的均价为＝，司机乙两次加油的均价为＝.因为－＝≥0，且a≠b，所以－>0，即>.故从这两次加油的均价角度分析，司机乙更合适．
8. AD　设此种商品的月销售额为f(x).由题意知，单价为(50－x)，销售量为(300＋10x)，所以销售额f(x)＝(50－x)·(300＋10x)＝－10x2＋200x＋15 000，所以f(9)＝－10×81＋200×9＋15 000＝15 990>15 950，f(7)＝－10×49＋200×7＋15 000＝15 910<15 950，f(13)＝－10×169＋200×13＋15 000＝15 910<15 950，f(11)＝－10×121＋200×11＋15 000＝15 990>15 950，故x的取值可能为9或者11，不可能是7或者13.故选AD.
9. BCD　由图象知，当t＝2时，两函数图象相交，因为C地位于A，B两地之间，所以交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，故A错误；甲车的速度为240÷4＝60(km/h)，乙车的速度为200÷(3.5－1)＝80(km/h)，因为240＋200－60×2.5－80×1.5＝170(km)，所以当乙车出发1.5 h时，两车相距170 km，故B正确；因为60×3＋80×2＝440(km)，所以当乙车出发2 h时，两车相遇，故C正确；因为80×3－200＝40(km)，所以当甲车到达C地时，两车相距40 km，故D正确．故选BCD.
10. 16　设在矩形ABCD中，AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，其面积S＝ab.以直线AB为对称轴，可作图如下，则在矩形DD′C′C中，DD′＝2b，C′D′＝a，C′D＝8，其面积S′＝2S＝2ab.在圆O中，易知a2＋(2b)2＝64，则S′＝2ab≤＝32，当且仅当a＝2b＝4时，等号成立，所以Smax＝S′max＝16.
11. 3.75　由题意可知，函数p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)的图象经过点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)，所以解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2，所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.812 5，故可得最佳加工时间为3.75min.
12. 5.5　当020，当x≥时，函数y＝单调递减，令y＝＝20，x＝5.5，所以饮酒5.5 h后体内每100 ml血液中的酒精含量等于20 mg/100 ml.
13. (1) 由题意，将x＝6 000，y＝60和x＝6 500，y＝55分别代入y＝kx＋b，
得60＝6 000k＋b，55＝6 500k＋b，解得k＝－0.01，b＝120，故y＝－0.01x＋120.
当x＝6 700时，y＝－0.01×6 700＋120＝53，故该厂家这个月能销售53台按摩椅．
(2) 设月利润为z元，则z＝(x－4 000)(－0.01x＋120)＝－0.01(x－8 000)2＋160 000，
当x＝8 000元时，zmax＝160 000，故当该按摩椅定价为8 000元/台时，月利润最大，最大利润为160 000元．
14. (1) 乘车行驶了20 km，付费分三部分：前3 km付费10 元，3 km到18 km付费(18－3)×1＝15(元)，18 km到20 km付费(20－18)×2＝4(元)，故总付费为10＋15＋4＝29(元).
设付车费y元，当0当3当x>18时，车费y＝25＋2(x－18)＝2x－11.
综上，车费y＝
(2) 因为付出22元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于3 km，且小于18 km，
所以x＋7＝22，解得x＝15，
故此人乘车行驶了15 km.
设乘车行驶了y km，某人付了10＋x(x>0)元的车费，
故当0当x>15时，y＝18＋＝x＋，
所以y＝
15. (1) 每辆车售价5万元，则当年产量为x百辆时，销售收入为500x万元，
总成本为2 000＋C(x)＝
所以L(x)＝
即年利润L(x)＝
(2) 由(1)知，当0L(x)＝－10(x－20)2＋2 000，
则当x＝20时，L(x)max＝2 000；
当x≥50时，L(x)＝－(x＋)＋3 000≤－2＋3 000＝2 820，
当且仅当x＝，即x＝90时，等号成立．
因为2 820>2 000，
所以当年产量为90百辆时，利润最大，最大利润为2 820万元．