4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

4．1.2　无理数指数幂及其运算性质
一、 单项选择题
1 (2025南京一中调研)已知10m＝3，10n＝4，则10的值为(　　)
A. B.
C. D.
2 已知a＋a-1＝4，则下列运算中正确的是(　　)
A. a＋a－＝±
B. a－a－＝±
C. a－a-1＝±3
D. a3－a-3＝±45
3 (2024株洲期中)已知a，b∈R，且3a－b－2＝0，则27a＋的最小值为(　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4 化简(2)2·()－π的结果为(　　)
A. 16 B. 16a2
C. a2 D. 1
5 计算(－64)＋[(－3)4]－(－1)0＋的结果为(　　)
A. － B. － C. － D.
6 已知3a-1＋3a-2＋3a-3＝117，则(a＋1)(a＋2)(a＋3)等于(　　)
A. 120 B. 210 C. 336 D. 504
7 (2024北京三十五中月考)阅读下段文字：“已知为无理数，若()为有理数，则存在无理数a＝b＝，使得ab为有理数；若()为无理数，则取无理数a＝()，b＝，此时ab＝(())＝()·＝()2＝2为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是(　　)
A. ()是有理数
B. ()是无理数
C. 存在无理数a，b，使得ab为有理数
D. 对任意无理数a，b，都有ab为无理数
二、 多项选择题
8 (2024淮南四中月考)下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是(　　)
A. ＝a(a>0)
B. x－＝－(x>0)
C. x－y＝(x>0，y>0)
D. []＝x(x>0)
9 设m，n是方程2x2＋3x－1＝0的两根，则下列各式的值等于8的有(　　)
A. m2＋n2
B.
C. 64mn
D.
三、 填空题
10 若3a＋2b＝2，则＝________．
11 (2024廊坊月考)将(x·)2÷(·)6·(x0.25·)写成分数指数幂的形式为________．
12 设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________．
四、 解答题
13 (1) 计算：－－(π＋2)0＋；
(2) 已知x＋x－＝3，求的值．
14 (2025湖北新高考联考协作体月考)
(1) 求值：×8＋＋(－6)0＋；
(2) 已知a＋a-1＝2， 求a4＋a-4的值．
15 (2024承德月考)设a，b，c都是正数，且3a＝2b＝6c，求证：＝＋.
4．1.2　无理数指数幂及其运算性质
1. D　10＝＝＝.
2. B　对于A，(a＋a－)2＝a＋a-1＋2＝6，所以a＋a－＝±.又a＋a-1＝4，所以a>0，所以a＋a－＝，故A错误；对于B，(a－a－)2＝a＋a-1－2＝4－2＝2，所以a－a－＝±，故B正确；对于C，(a＋a-1)2＝a2＋a-2＋2＝16，所以a2＋a-2＝14.又(a－a-1)2＝a2＋a-2－2＝14－2＝12，所以a－a-1＝±2，故C错误；对于D，a3－a-3＝(a－a-1)(a2＋1＋a-2)＝±2×15＝±30，故D错误．
3. C　因为a，b∈R，且3a－b－2＝0，则3a－b＝2，所以27a＋＝33a＋3－b≥2＝2＝2＝6，当且仅当33a＝3－b，即a＝，b＝－1时取等号，故27a＋的最小值为6.
4. A　(2)2＝2×2×a×2＝16a2，()－π＝a×(－π)＝a-2，所以(2)2·()－π＝16a2×a-2＝16.
5. C　(－64)＋[(－3)4]－(－1)0＋＝(－43)＋(34)－1＋[()3]＝－4＋3－1＋＝－.
6. C　由3a-1＋3a-2＋3a-3＝(9＋3＋1)×3a-3＝117，得3a-3＝9，解得a＝5，所以(a＋1)(a＋2)(a＋3)＝336.
7. C　没有证明()是有理数的条件，也没有证明()是无理数的条件，故A，B错误；两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得ab为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，故C正确；只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，故D错误．
8. ACD　对于A，＝＝＝(a)＝a(a>0)，故A正确；对于B，x－＝＝(x>0)，故B错误；对于C，x－y＝·＝(x>0，y>0)，故C正确；对于D，[]＝[]＝(x)＝x(x>0)，故D正确．故选ACD.
9. BD　因为m，n是方程2x2＋3x－1＝0的两根，所以由根与系数的关系，得m＋n＝－，m·n＝－，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝，＝＝＝8，64mn＝
64－＝，＝＝(64-1)－＝8，故BD正确，AC错误．故选BD.
10. 3　因为＝＝3＋b，又3a＋2b＝2，所以＋b＝1，所以＝3＋b＝31＝3.
11. xy　原式＝(x·y)2÷(x×6·y×6)·(x·y)＝(x6y3)÷(x2y3)·(xy)＝x6-2+y3-3+＝xy.
12. 　2　由一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝，则2α·2β＝2α＋β＝2-2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
13. (1) －()－(π＋2)0＋()－＝－()3×－1＋4＝－－1＋2＝2.
(2) 因为x＋x－＝3，
所以x＋x-1＝(x＋x－)2－2＝32－2＝7，
x2＋x-2＝(x＋x-1)2－2＝72－2＝47，
所以＝＝9.
14. (1) ×8＋＋(－6)0＋
＝×23×＋3×＋1＋|2－|
＝＋＋1＋－2
＝2＋.
(2) 因为a＋a-1＝2， 所以a2＋2＋a-2＝8，
即a2＋a-2＝6, 所以a4＋2＋a-4＝36，
即a4＋a-4＝34.
15. 令3a＝2b＝6c＝t(t>0)，
则3＝t，2＝t，6＝t，
显然t·t＝t，
所以＋＝.