4.2.1 指数函数的概念 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

4.2.1　指数函数的概念
一、 单项选择题
1 (2024河南期中)已知函数f(x)＝ax，a>0且a≠1，若f＝，则f(2)的值为(　　)
A. B. C. 10 D. 100
2 (2024桂林月考)放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量、发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．已知某种放射性物质经过50年后剩余质量是原来的95.27%，设质量为1的该物质经过x年后的剩余量为y，则y与x的函数关系式是(　　)
A. y＝0.952 750x B. y＝0.952 7
C. y＝0.952 7x D. y＝x
3 某城市的房价(均价)经过6年的时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是(　　)
A. －1 B. ＋1
C. 50% D. 600元
4 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1 g，则3年后剩下(　　)
A. g B. (1－0.5%)3 g
C. 0.925 g D. g
5 已知一批设备的价值为a万元，由于使用磨损，价值每年比上一年降低b%，则n年后这批设备的价值为(　　)
A. na(1－b%)万元 B. a(1－nb%)万元
C. a[1－(b%)n]万元 D. a(1－b%)n万元
6 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的(　　)
A. 18倍 B. 24倍 C. 36倍 D. 48倍
7 (2024玉林期中)某种产品的有效期y(单位：天)与储藏的温度x(单位：℃)满足关系式y＝ekx＋b(e＝2.718 28…，k，b为常数)，若该产品在0 ℃下的有效期为192天，在33 ℃下的有效期是24天，则该产品在22 ℃的有效期为(　　)
A. 45天 B. 46天 C. 47天 D. 48天
二、 多项选择题
8 (2024陕西期中)下列命题中，是真命题的是(　　)
A. y＝x4是幂函数
B. y＝不是指数函数
C. y＝－x不是幂函数
D. y＝(5x)2是指数函数
9 若函数f(x)＝·ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列说法中正确的是(　　)
A. a＝8 B. f(0)＝－3
C. f＝2 D. a＝4
三、 填空题
10 (2024长春月考)若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为________．
11 已知函数y＝(a2－3)ax是指数函数，则实数a的值是________．
12 (2024上海段测)给出下列函数：①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝πx；⑥y＝4x2；⑦y＝xx；⑧y＝(a－1)x(a>1)，其中是幂函数的有________；是指数函数的有________．(填序号)
四、 解答题
13 已知函数f(x)＝，且f(1) ＝.
(1) 求实数a及f(－2)的值；
(2) 判断f(x)的奇偶性并证明．
14 (2025四川期末)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2，4).
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 若函数g(x)＝(m>0)是奇函数．
①求实数m的值；
②判断并用定义法证明函数g(x)的单调性．
15 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同．假定保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)的关系式为y＝kerx(k，r为常量，无理数e＝2.718 28…).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少？
4.2.1　指数函数的概念
1. A　由f＝，得a＝，所以f(2)＝a2＝(a)4＝4＝.
2. B　设该物质的年衰减率为t，原质量为1，则1年后的剩余质量为(1－t)1，2年后的剩余质量为(1－t)2，…，50年后的剩余质量为(1－t)50＝0.952 7，即1－t＝0.952 7，则y与x的函数关系式是y＝(1－t)x＝0.952 7.
3. A　设这6年间平均每年的增长率为x，则 1 200(1＋x)6＝4 800，解得x＝－1＝－1.
4. D　设这种放射性元素的年衰减率为P，则(1－P)100＝，即1－P＝，故这种元素1 g，3年后剩下(1－P)3＝＝＝(g).
5. D　由题意可知，第一年后的价值为a(1－b%)万元，第二年后的价值为a(1－b%)2万元，依此类推，可知n年后这批设备的价值为a(1－b%)n万元．
6. C　设湖泊中原来的蓝藻数量为a，则a(1＋6.25%)30＝6a，所以经过60天后该湖泊的蓝藻数量为y＝a(1＋6.25%)60＝a[(1＋6.25%)30]2＝36a，所以经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍．
7. D　由题意，得eb＝192，e33k＋b＝24，所以e33k＝＝，可得e11k＝，eb＝192，则当x＝22时，y＝e22k＋b＝(e11k)2·(eb)＝2×192＝48.
8. ACD　由幂函数的定义可知，y＝x4是幂函数，y＝－x不是幂函数，故AC正确；因为＝x，(5x)2＝(52)x＝25x，所以由指数函数的定义可知，y＝，y＝(5x)2都是指数函数，故B错误，D正确．故选ACD.
9. AC　因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，解得a＝8，所以f(x)＝8x，所以f(0)＝1，f＝8＝2，故BD错误，AC正确．故选AC.
10. (－∞，1)∪　因为函数y＝(4－3a)x是指数函数，所以需满足解得a<且a≠1，故实数a的取值范围为(－∞，1)∪.
11. 2　由函数y＝(a2－3)ax是指数函数，得解得a＝2.
12. ②　①⑤
13. (1) 由题意，得f(1)＝2＋a＝，
解得a＝－1，
所以f(x)＝，
所以f(－2)＝＝－.
(2) f(x)为奇函数，证明如下：
由(1)知，f(x)＝，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
14. (1) 因为指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2，4)，
所以a2＝4(a>0且a≠1)，
解得a＝2，
所以f(x)＝2x.
(2) ①由(1)知，g(x)＝(m>0)是奇函数，
因为m>0，所以2x＋m>0恒成立，
所以g(x)的定义域为R，
所以g(0)＝＝0，解得m＝1，
当m＝1时，g(x)＝的定义域为R，
且g(－x)＝＝＝－g(x)，
故g(x)是奇函数，满足题意，所以m＝1.
②函数g(x)在R上单调递增，证明如下：
设 x1，x2∈R，x1则g(x2)－g(x1)＝－＝－＝.
因为x10，2x1＋1>0，2x2＋1>0，所以g(x2)－g(x1)>0，
所以g(x2)>g(x1)，
所以g(x)＝在R上单调递增．
15. 因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常量)，
所以解得
所以y＝100.
当x＝10时，y＝100×＝64.
故在10 ℃的冰箱中牛奶的保鲜时间为64 h.