4.3.1 对数的概念 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

4.3.1　对数的概念
一、 单项选择题
1 已知2x＝3，则x等于(　　)
A. log23 B. log32
C. D.
2 (2025深圳南山外国语学校期中)若m2 024＝n(m>0且m≠1)，则下列结论中正确的是(　　)
A. logmn＝2 024
B. lognm＝2 024
C. log2 024m＝n
D. log2 024n＝m
3 已知log(2x)＝4，则x的值为(　　)
A. －2 B. 0
C. 2 D. 4
4 (2025邢台四县兄弟学校联考)若代数式log8(x2－2x－3)有意义，则实数x的取值范围为(　　)
A. (－∞，－1)
B. (－1，3)
C. (3，＋∞)
D. (－∞，－1)∪(3，＋∞)
5 艾萨克·牛顿，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，著有《自然哲学的数学原理》《光学》，为太阳中心说提供了强有力的理论支持，推动了科学革命．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ＝(θ1－θ0)e－kt＋θ0，其中t为时间(单位：min)，θ0为环境温度(单位：℃)，θ1为物体初始温度(单位：℃)，θ为冷却后温度(单位：℃).假设在室内温度为20 ℃的情况下，一桶咖啡由100 ℃降低到60 ℃需要20 min，则k的值为(　　)
A. B.
C. － D. －
6 (2024西青期中)若log4(log5x)＝0，则x的值为(　　)
A. 0 B. 1
C. 5 D. 625
7 若函数f(x)满足f(3x)＝x，则f(7)的值为(　　)
A. 37 B. 73
C. log37 D. log73
二、 多项选择题
8 下列说法中，正确的有(　　)
A. 零和负数没有对数
B. 任何一个指数式都可以化成对数式
C. 以10为底的对数叫做常用对数
D. 以e为底的对数叫做自然对数
9 (2024东莞期中)下列四个命题：①lg 10＝1；②若2x＝N，则x＝log2N；③lg (ln e)＝1；④lg (ln 1)＝0.其中是真命题的有(　　)
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
三、 填空题
10 (2024上海月考)若对数log3a(－2a＋1)有意义，则实数a的取值范围是________．
11 (2025长春期末)已知a>0且a≠1，若loga2＝2m，loga3＝n，则a4m－n＝________．
12 方程4x－6×2x－7＝0的解是________．
四、 解答题
13 (2024武汉月考)求下列各式中x的值．
(1) log8[log7(log2x)]＝0；
(2) log2[log3(log2x)]＝1；
(3) 3log3(2x＋1)＝27.
14 求解方程22x－4×2x＋3＝0.
15 若x＝m，y＝m＋2，求的值．
4.3.1　对数的概念
1. A　因为2x＝3，所以x＝log23.
2. A　因为m2 024＝n(m>0且m≠1)，所以logmn＝2 024.
3. C　由log(2x)＝4，得()4＝2x，即x2＝2x.又x>0且x≠1，所以x＝2.
4. D　由题意，得x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，故实数x的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞).
5. A　由题意，得60＝(100－20)e-20k＋20，即e-20k＝，即e20k＝2，所以20k＝ln 2，所以k＝.
6. C　因为log4(log5x)＝0，所以log5x＝40＝1，所以x＝51＝5.
7. C　令3x＝7，则x＝log37，所以f(7)＝log37.
8. ACD　由对数的定义可知A，C，D正确；对于B，当a>0且a≠1时，ax＝N才能化为对数式，故B错误．故选ACD.
9. AB　对于①，lg 10＝log1010＝1，故①正确；对于②，根据指数式和对数式的互化可知②正确；对于③，lg (ln e)＝lg 1＝0，故③错误；对于④，lg (ln 1)＝lg 0，对数的真数部分应是正数，因此lg 0无意义，故④错误．故选AB.
10. ∪　由题意，得解得011. 　因为a>0且a≠1，loga2＝2m，loga3＝n，所以a2m＝2，an＝3，则a4m＝4，an＝3，故a4m－n＝＝.
12. x＝log27　设t＝2x(t＞0)，则原方程可化为t2－6t－7＝0，解得t＝7或t＝－1(舍去)，所以2x＝7，所以x＝log27，所以原方程的解为x＝log27.
13. (1) 因为log8[log7(log2x)]＝0，所以log7(log2x)＝1，
所以log2x＝7，解得x＝27＝128.
(2) 因为log2[log3(log2x)]＝1，所以log3(log2x)＝2，
所以log2x＝9，解得x＝29＝512.
(3) 因为3log3(2x＋1)＝27，所以log327＝log3(2x＋1)，
所以27＝2x＋1，解得x＝13.
14. 由方程22x－4·2x＋3＝0，
可得(2x－3)(2x－1)＝0，
解得2x＝3或2x＝1，
所以x＝log23或x＝0.
15. 因为x＝m，
所以＝x，x2＝.
因为y＝m＋2，
所以y＝＝，
所以＝＝＝＝16.