4.3.2　对数的运算 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

4．3.2　对数的运算(1)
一、 单项选择题
1 (2025黔江期末)计算lg 2＋lg 50－2log23的值为(　　)
A. －2 B. －1
C. 4 D. 5
2 (lg 5)2＋lg 2 lg 5＋lg 20的值是(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3 的值是(　　)
A. 12 B. 9＋
C. 9 D. 84
4 (2025成都期末)lg 25＋lg 4＋的值为(　　)
A. B. C. D.
5 (2024长春期中)若log4x＋log4y＝2，则＋的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
6 若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg (a＋2b)，则2a＋b的最小值为(　　)
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
7 已知lg a，lg b是方程6x2－4x－3＝0的两根，则等于(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
8 (2024焦作十二中月考)下列运算中，正确的是(　　)
A. ＝1
B. ＝2
C. lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＝0
D. (lg 2)2＋lg 2lg 5＋lg 5＝2
9 (2024连云港期中)若x>0，y>0，则下列各式中恒等的是(　　)
A. lg x＋lg y＝lg (x＋y)
B. lg ＝lg x－lg y
C. lg x2＝(lg x)2
D. lg ＝3lg y－lg x
三、 填空题
10 (2025株洲期末)计算：81＋-2＋log3－3log32＝________．
11 方程lg x＋lg (x－1)＝1－lg 5的解是________．
12 (2024厦门科技中学月考)已知函数f(x)＝则f(log215)＝________．
四、 解答题
13 若xlog34＝1，求4x＋4－x的值．
14 计算：lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2)2＋lg ＋lg 0.06.
15 (2024北京月考)设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝4c2.求证：log2＋log2(1＋)＝1.
4．3.2　对数的运算(2)
一、 单项选择题
1 (2024云南学业水平考试)log25×log52的值为(　　)
A. 5 B. 2 C. 1 D. 0
2 若a＝－2，logb9＝2，c＝log273，则a＋b＋c等于(　　)
A. 7 B. C. D. 27
3 (2024河南开学考试)已知2a＝b，2b＝3，logb6＝c，则下列结论中正确的是(　　)
A. b＋1＝ac B. 3b＋a＝c
C. ac＋a＝2b D. b＝ac
4 (2024滨海期末)计算lg 5＋7log72＋log23·log94＋lg 2的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5 “喊泉”是一种地下水的毛细现象．在合适的条件下，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生一系列物理声学作用．已知声音越大，涌起的泉水越高，声强m与参考声强m0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(单位：dB)，即L＝lg .若某处“喊泉”的声强级L(单位：dB)与喷出的泉水高度x(单位：dm)满足关系式L＝0.4x，A，B两人分别在这处“喊泉”大喊一声，若A“喊泉”喷出泉水的高度比B“喊泉”喷出的泉水高度高5 dm，则A“喊泉”的声强是B“喊泉”声强的(　　)
A. 5倍 B. 10倍
C. 20倍 D. 100倍
6 (2024浙江开学考试)方程log3x＝log6x·log9x的实数解有(　　)
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
7 若log3(2a＋b)＝1＋log，则当a＋2b取得最小值时，实数a的值为(　　)
A. 6 B. 1 C. 3 D.
二、 多项选择题
8 (2025东莞期末)已知10a＝2，10b＝3，则下列运算中正确的是(　　)
A. 10＝ B. 10＝
C. ＝log32 D. ab＝lg 6
9 下列说法中，正确的是(　　)
A. 若lg 3＝m，lg 2＝n，则log518＝
B. 若a＋a-1＝14，则a＋a－＝±4
C. －2ln (ln ee)＝7
D. ＋2log23×log94＝＋1
三、 填空题
10 (2025武汉期末)求值：3log34＋lg 5－2×lg 2×log23＝________．
11 已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则ab＝________．
12 (2025上海交通大学附属中学月考)我们在语文课上学过《劝学》，其中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把(1＋1%)365看作是经过365天的“进步值”，(1－1%)365看作是经过365天的“退步值”，则大约经过________天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍(参考数据：lg 101≈2.004 3，lg 99≈1.995 6).
四、 解答题
13 (2024恩施州期末)
(1) 计算：lg －lg ＋lg 12.5－log89×log34；
(2) 已知3a＝4b＝36，求＋的值；
(3) 若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg (ab)·(logab＋logba)的值.
14 (2025南京期末)已知6m＝2，6n＝5.
(1) 求62m－n的值；
(2) 用m，n表示log2015.
15 (2024达州期末)股票作为证券金融的重要组成部分，每个交易日都在改变着财富的分配．以本金a买入某只股票，若该股票连续两个交易日每个交易日上涨m%，则该股民的股值为a(1＋m%)2；若该股票连续两个交易日每个交易日下跌m%，则该股民的股值为a(1－m%)2.
(1) 已知同一天股民甲买入A股票，本金为100万元，股民乙买入B股票，本金为100万元，刚好A股票连续5个交易日每个交易日上涨10%，B股票连续5个交易日每个交易日下跌10%，此时股民甲的股值是股民乙股值的多少倍？(结果精确到0.01)
(2) 若某股民投入a万元买入股票，每个月都能盈利10%，经过多少个月后这个股民的本金与盈利之和超过2a万元？(结果保留成整数)
(参考数据：1.15≈1.61，0.95≈0.59，lg 1.1≈0.041，lg 5≈0.699)
4．3.2　对数的运算(1)
1. B　lg 2＋lg 50－2log23＝lg 100－3＝2－3＝－1.
2. C　(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 20＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20＝lg 5＋lg 20＝lg 100＝2.
3. C　因为＋2log23＝log2＋log29＝log29，所以原式＝9.
4. A　原式＝lg 100＋2＝2＋＝.
5. C　由log4x＋log4y＝2，得log4(xy)＝2，所以xy＝42＝16，且x>0，y>0，所以＋≥2＝2＝，当且仅当＝，即x＝2，y＝4时，等号成立，故＋的最小值为.
6. A　由a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg (a＋2b)，得lg (ab)＝lg (a＋2b)，即ab＝a＋2b，则有＋＝1，所以2a＋b＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以2a＋b的最小值为9.
7. D　由根与系数的关系，得lg a＋lg b＝，lg a·lg b＝－，所以(lg )2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝()2－4×(－)＝.
8. AC　＝＝1，故A正确；＝＝＝1，故B错误；lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＝(lg 7＋lg 2)－(2lg 7－2lg 3)＋lg 7－(2lg 3＋lg 2)＝0，故C正确；(lg 2)2＋lg 2lg 5＋lg 5＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝1，故D错误．故选AC.
9. BD　对于A，lg x＋lg y＝lg (xy)，故A不正确；对于B，根据对数的运算法则，得lg ＝lg x－lg y，故B正确；对于C，lg x2＝2lg x，故C不正确；对于D，lg ＝lg y3－lg ＝lg y3－lg x＝3lg y－lg x，故D正确．故选BD.
10. 6　原式＝3＋4＋log38－log33－log323＝6＋log38－log38＝6.
11. x＝2　方程变形为lg [x(x－1)]＝lg 2，所以x(x－1)＝2，解得x＝2或x＝－1.经检验x＝－1不合题意，舍去，所以原方程的解为x＝2.
12. 　f(log215)＝f(log215－2)＝f(log215－log24)＝f＝f＝f＝2－log2－1＝2log2－1＝－1＝.
13. 因为xlog34＝1，所以log34x＝1，可得4x＝3，
所以4x＋4－x＝3＋3-1＝.
14. 原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2
＝3×lg 5×lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2
＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2
＝3lg 2＋3lg 5－2
＝3(lg 2＋lg 5)－2
＝3－2＝1.
15. log2(1＋)＋log2(1＋)
＝log2＋log2
＝log2
＝log2
＝log2
＝log2
＝log22＝1.
4．3.2　对数的运算(2)
1. C　log25×log52＝×＝1.
2. B　因为a＝－2，所以a＝＝4.因为logb9＝2，所以b2＝9，又b>0，所以b＝3.因为c＝log273＝＝＝，所以a＋b＋c＝4＋3＋＝.
3. A　因为2a＝b，2b＝3，所以a＝log2b，b＝log23，ac＝log2b·logb6＝log26＝log23＋1，故b＋1＝ac.
4. C　lg 5＋7log72＋log23·log94＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)＋7log72＋log23·log94＝lg 10＋2＋log23·log3222＝lg 10＋2＋log23·log32＝1＋2＋log23·＝4.
5. D　设A，B的声强分别为m1，m2，A，B“喊泉”喷出泉水的高度分别为x1，x2，则lg ＝0.4x1，lg ＝0.4x2，即lg m1－lg m0＝0.4x1，lg m2－lg m0＝0.4x2，从而lg m1－lg m2＝0.4(x1－x2)＝0.4×5＝2，即lg ＝2，所以＝100，故A“喊泉”的声强是B“喊泉”声强的100倍．
6. C　由题意，得log3x＝＝·＝log6x·log9x，所以ln x＝0或ln x＝＝2ln 6＝ln 36，解得x＝1或x＝36，所以方程log3x＝log6x·log9x的实数解有2个．
7. B　因为log3(2a＋b)＝1＋log，所以可得因为log3(2a＋b)＝1＋log＝1＋log3(ab)＝log3(3ab)，所以2a＋b＝3ab，即＋＝3，所以a＋2b＝(a＋2b)(＋)＝(1＋＋＋4)＝＋(＋)≥＋×2＝3，当且仅当＝且＋＝3，即a＝b＝1时，等号成立，所以当a＋2b取得最小值时，实数a的值为1.
8. ABC　对于A，10＝＝＝，故A正确；对于B，10＝＝＝＝，故B正确；对于C，因为10a＝2，10b＝3，所以a＝lg 2，b＝lg 3，则由换底公式可得＝＝log32，故C正确；对于D，因为a＝lg 2，b＝lg 3，所以ab＝lg 2·lg 3≠lg 6，故D错误．故选ABC.
9. ACD　对于A，由lg 3＝m，lg 2＝n，得log518＝＝＝＝，故A正确；对于B，由a＋a-1＝14，得a>0，所以(a＋a－)2＝a＋a-1＋2＝16，得a＋a－＝4，故B错误；对于C，()-2－2ln (ln ee)＝9－2ln e＝9－2＝7，故C正确；对于D，＋2log23·log94＝＋×＝－1＋2＝＋1，故D正确．故选ACD.
10. 5　3log34＋lg 5－2×lg 2×log23＝4＋lg 5＋lg 2×log32×log23＝4＋lg 5＋lg 2＝5.
11. 9　因为a>b>1，所以01，所以b＝，a＝3，所以ab＝9.
12. 230　设大约经过n天，“进步值”大约是“退步值”的100倍，此时进步值为(1＋1%)n＝1.01n，退步值为(1－1%)n＝0.99n，即＝100，则n＝log100＝≈≈230.
13. (1) lg －lg ＋lg 12.5－log89×log34＝lg (××12.5)－×＝1－＝－.
(2) 由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，
所以＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.
(3) 原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
所以t1＋t2＝2，t1·t2＝.
因为a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
所以t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，
所以lg (ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)·(＋)＝(lg a＋lg b)·＝(lg a＋lg b)·＝2×＝12，
即lg (ab)·(logab＋logba)＝12.
14. (1) 由6m＝2，6n＝5，得62m－n＝＝.
(2) 由6m＝2，6n＝5，得m＝log62，n＝log65，
所以log2015＝＝＝＝.
15. (1) 由题意，得股民甲的股值为100×(1＋10%)5(万元)，
股民乙的股值为100×(1－10%)5(万元)，
所以股民甲的股值是股民乙股值的≈≈2.73(倍)，
即此时股民甲的股值是股民乙股值的2.73倍．
(2) 设经过x个月后这个股民的本金与盈利之和超过 2a万元，
则a(1＋10%)x≥2a，即1.1x≥2，
所以x≥log1.12＝＝≈≈7.34，
所以经过8个月后这个股民的本金与盈利之和超过2a万元．