4.4.2 对数函数的图象和性质 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

4．4.2　对数函数的图象和性质(1)
一、 单项选择题
1 在同一坐标系中，函数y＝log4x与y＝x的图象之间的关系是(　　)
A. 关于x轴对称
B. 关于y轴对称
C. 关于原点对称
D. 关于直线y＝x对称
2 (2024江门期中)设a＝log32，b＝21.1，c＝20.8，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. bC. c3 (2024长春期中)函数y＝loga(x＋3)＋5(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为(　　)
A. (2，－3) B. (－2，6)
C. (－3，5) D. (－2，5)
4 已知函数f(x)＝e|x|＋lg |x|，则不等式f(x＋1)>f(2x－1)的解集为(　　)
A. (0，2) B. ∪
C. (0，3) D. ∪
5 (2025遵义期末)已知函数f(x)＝ln (x2－2x)，则f(x)的单调减区间为(　　)
A. (－∞，1) B. (1，＋∞)
C. (－∞，0) D. (2，＋∞)
6 若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在区间[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则函数g(x)＝ax2＋x＋1在区间[－2，2]上的值域为(　　)
A. B.
C. D. [0，3]
7 (2025宝山华曜高级中学月考)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，4)
B. (－4，4]
C. [－4，4)
D. (－∞，－4)∪[－2，＋∞)
二、 多项选择题
8 已知函数f(x)＝ln (x2＋ax－a)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若f(x)的定义域为R，则－4≤a≤0
B. 若f(x)的值域为R，则a≤－4或 a≥0
C. 若a＝2，则f(x)的单调减区间为(－∞，－1)
D. 若f(x)在区间(－2，－1)上单调递减，则a≤
9 (2024桂林期中)若函数f(x)＝x，则下列说法中正确的是(　　)
A. 函数f(x)的定义域为R
B. 当00
C. f(x)>1的解集为
D. f＝0
三、 填空题
10 (2025芜湖期末)函数f(x)＝，x∈(，e2]的值域为________．
11 若函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a＝________．
12 已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋12)在区间(2，3)上单调递减，则实数a的取值范围是__________．
四、 解答题
13 已知函数f(x)＝log2(4x－2×2x＋3).
(1) 求方程f(x)＝1的根；
(2) 求f(x)在区间[0，2]上的值域．
14 已知对数函数f(x)的图象过点.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 解关于x的不等式：f(x＋4)≤(3x＋3).
15 已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0(1) 求函数f(x)的定义域；
(2) 若函数f(x)的最小值为－4，求实数a的值．
4．4.2　对数函数的图象和性质(2)
一、 单项选择题
1 下列不等式中，正确的是(　　)
A. < B. 1.70.3<0.93.1
C. log37>log57 D. log232 (2024昆明期末)若p：log2(a－1)<1，q：3a-1<9，则p是q的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3 (2025九龙坡期末)已知f(x)＝log4(4x＋1)＋kx为偶函数，则实数k的值为(　　)
A. － B. C. －1 D. 1
4 已知函数f(x)＝|lg x|，f(a)＝f(b)，aA. [2，＋∞)
B. (2 023，＋∞)
C. (2 024，＋∞)
D. (0，＋∞)
5 设f(x)是定义域为R的偶函数，且在区间(0，＋∞) 上单调递减，则下列关系式中正确的是(　　)
A. f＞f()＞f()
B. f＞f()＞f()
C. f()＞f()＞f
D. f()＞f()＞f
6 (2025延庆期末)不等式log3x≥(x－1)的解集是(　　)
A. {x|1≤x≤3}
B. {x|1≤x≤4}
C. {x|x≥1}
D. {x|0≤x≤1或x≥3}
7 (2024六安期末)已知函数f(x)＝loga(＋－1)(a>1)，若对于定义域内的任意x1，总存在x2，使得f(x2)A. (2，6) B. [2，6)
C. (4，＋∞) D. [4，＋∞)
二、 多项选择题
8 (2024南京师大附中月考)设函数f(x)＝lg ，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)的定义域为(－1，1)
B. f(x)是奇函数
C. 对于函数f(x)定义域内的任意两个不同的实数x1，x2，总满足>1
D. 对于任意的x∈(－1，1)，都有f＝2f(x)
9 (2024重庆九龙坡期末)若0A. maC. logma三、 填空题
10 已知函数f(x)＝(t－2)xt是幂函数，则函数g(x)＝logt(x＋t)＋t的图象恒过定点的坐标为________．
11 (2025榆林期末)若函数f(x)＝log3(x－a＋2)的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为________．
12 函数y＝(x)2－x2＋5在区间[2，4]上的值域为________．
四、 解答题
13 (2025莆田二十四中月考)
(1) 求函数y＝(log2x)2＋log2x，x∈的值域；
(2) 解关于x的不等式：loga(x＋1)>loga(3－x2)(a>0，且a≠1).
14 (2025临沂期末)已知函数f(x)＝log2(3＋x)＋log2(a－x)(a>0)为偶函数．
(1) 求实数a的值；
(2) 若f(m－1)15 (2024景德镇期末)已知函数f(x)＝loga(x＋2)＋loga(1－x)(a>0，且a≠1).
(1) 当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2) 是否存在实数a，使得函数f(x)在区间上取得最大值2？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
4．4.2　对数函数的图象和性质(3)
一、 单项选择题
1 (2025南阳期末)已知f(x)＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)在区间(0，4)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. (1，2) D. (1，2]
2 设函数f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在区间(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系为(　　)
A. f(a＋1)＝f(2) B. f(a＋1)>f(2)
C. f(a＋1)3 (2024咸宁期末)函数f(x)＝ln (x2－2ax－3a)在区间(－∞，－1]上单调递减的一个充分不必要条件是(　　)
A. {a|－1≤a≤1} B. {a|－1≤a<1}
C. {a|－1－1}
4 若奇函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，则不等式f(1)A. ∪(10，＋∞)
B.
C. (0，10)
D.
5 (2025泉州期末)函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则必有(　　)
A. a>1，1B. 0C. a>1，－2D. 06 (2025海口期末)已知函数f(x)＝loga(ax＋b)(a>0，且a≠1)的值域为R，则实数b的取值范围是(　　)
A. (0，＋∞) B. [0，＋∞)
C. (－∞，0) D. (－∞，0]
7 (2024定西期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－log2x－1，则不等式(x－1)f(x)>0的解集为(　　)
A. (－2，0)∪(1，2)
B. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
C. (－∞，－2)∪(1，2)
D. (－2，0)∪(2，＋∞)
二、 多项选择题
8 (2025四川期末)已知函数f(x)＝lg (7－x)＋lg (x－3)，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)的定义域为(3，7)
B. f(x)在定义域内单调递减
C. f(x)的最大值为2lg 2
D. f(x)的图象关于直线x＝5对称
9 (2024重庆期末)已知函数f(x)＝log2(－x)＋3，则下列说法中正确的是(　　)
A. 函数f(x)的图象关于点(0，3)对称
B. f(ln 2)＋f＝6
C. 函数f(x)在定义域上单调递增
D. 若实数a，b满足f(a)＋f(b)>6，则a＋b<0
三、 填空题
10 (2024佛山郑裕彤中学月考)不等式3x＋log2x>10的解集为________．
11 已知函数f(x)＝
有最小值，则f 的取值范围为________．
12 如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y3＝logax(a>1)的图象上，则实数a的值为________．
四、 解答题
13 已知函数f(x)＝logmx(m>0且m≠1)的图象经过点(3，1).
(1) 解关于x的方程f2(x)＋(m－1)f(x)＋1－m2＝0；
(2) 若关于x的不等式[1＋f(x)]·[a－f(x)]>0的解集是，求实数a的值．
14 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝x.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 解不等式f(x2－1)>－2.
15 (2024河北期末)已知函数f(x)＝(6－x)－(6＋x).
(1) 判断函数f(x)的奇偶性；
(2) 判断函数f(x)的单调性；
(3) 若f(2k＋1)4．4.2　对数函数的图象和性质(1)
1. A　因为y＝x＝－log4x，所以函数y＝log4x与y＝x的图象关于x轴对称．
2. D　由指数函数的单调性可知21.1>20.8>1，即b>c>1，又03. D　令x＋3＝1，则x＝－2，此时y＝5，故定点A的坐标为(－2，5).
4. D　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝e|－x|＋lg |－x|＝e|x|＋lg |x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．又当x>0时，f(x)＝ex＋lg x，根据基本函数的性质知，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．由对称性知，函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．因为f(x＋1)>f(2x－1)，所以解得05. C　由题意，得x2－2x>0，解得x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)，即函数f(x)的定义域为x∈(－∞，0)∪(2，＋∞).设t＝x2－2x，则y＝ln t．因为t＝x2－2x在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增，且y＝ln t在定义域内单调递增，所以f(x)＝ln (x2－2x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)＝ln (x2－2x)的单调减区间为(－∞，0).
6. A　显然函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在区间[0，1]上是单调的，所以函数f(x)在区间[0，1]上的最大值和最小值之和为f(0)＋f(1)＝1＋a＋loga2＝a，解得a＝，所以g(x)＝x2＋x＋1＝(x＋1)2＋在区间[－2，－1]上单调递减，在区间(－1，2]上单调递增，所以g(x)＝x2＋x＋1在区间[－2，2]上的值域为.
7. C　因为函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上单调递减，设g(x)＝x2－ax－3a，所以g(x)＝x2－ax－3a区间(－∞，－2]上单调递减且恒大于0，则≥－2，且g(－2)>0，解得实数a的取值范围是[－4，4).
8. BD　对于A，由f(x)的定义域为R，得Δ＝a2＋4a<0，解得－49. BD　对于A，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，故A错误；对于B，f(x)＝x在区间(0，＋∞)上单调递减，当01＝0，故B正确；对于C，因为f(x)＝x在区间(0，＋∞)上单调递减，又f(x)>1，即x>，所以010. [1，＋∞)　因为x∈(，e2]，所以ln x＋1∈(0，3]，则∈[1，＋∞)，即函数f(x)的值域为[1，＋∞).
11. 　因为0＜a＜1，所以函数f(x)＝logax是减函数，所以在区间[a，2a]上，f(x)min＝loga(2a)，f(x)max＝logaa＝1，所以loga(2a)＝，解得a＝.
12. (0，1)∪[6，7]　因为函数f(x)＝loga(x2－ax＋12)在区间(2，3)上单调递减，所以或解得6≤a≤7或013. (1) 由log2(4x－2×2x＋3)＝1，
得4x－2×2x＋1＝0，即(2x－1)2＝0，
所以2x＝1，解得x＝0.
(2) 令t＝2x，当x∈[0，2]时，t＝2x∈[1，4]，
则y＝log2(t2－2t＋3)，
因为h(t)＝t2－2t＋3在t∈[1，4]上单调递增，
所以h(t)∈[2，11]，
又由复合函数的单调性可知，y＝log2(t2－2t＋3)在t∈[1，4]上单调递增，
故y＝log2(t2－2t＋3)∈[1，log211]，
即f(x)在区间[0，2]上的值域为[1，log211].
14. (1) 设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
将点代入上式，得a＝，
所以f(x)＝x.
(2) 由f(x＋4)＝(x＋4)≤(3x＋3)，
得解得－1所以原不等式的解集为.
15. (1) 要使函数有意义，则需满足
解得－3所以函数f(x)的定义域为(－3，1).
(2) 函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4].
因为－3因为0即f(x)min＝loga4.
由loga4＝－4，得a-4＝4，所以a＝4－＝.
4．4.2　对数函数的图象和性质(2)
1. C　对于A，因为y＝x为减函数，<，所以>，故A错误；对于B，因为y＝1.7x为增函数，y＝0.9x为减函数，所以1.70.3>1.70＝1＝0.90>0.93.1，故B错误；对于C，在同一坐标中画出y＝log3x与y＝log5x的图象如图所示，由图可知log37>log57，故C正确；对于D，因为log47＝log227＝log27＝log2，y＝log2x是区间(0，＋∞)上的增函数，<3，所以log23>log2＝log47，故D错误．
2. A　对于p，由log2(a－1)<1＝log22，得03. A　因为f(x)＝log4(4x＋1)＋kx为偶函数，所以f(x)－f(－x)＝[log4(4x＋1)＋kx]－[log4(4－x＋1)－kx]＝log4＋2kx＝log4＋2kx＝(2k＋1)x＝0.因为x不恒为0，所以2k＋1＝0，解得k＝－.
4. C　由05. C　因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f＝f(log34).因为log34>log33＝1，1＝20>>>0，所以log34>>>0.又f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以f(log34)f()>f.
6. A　在同一坐标系内作出函数y＝log3x，y＝(x－1)的图象如图，观察图象知，当且仅当1≤x≤3时，函数y＝log3x的图象不在直线y＝(x－1)的下方，所以不等式log3x≥(x－1)的解集是{x|1≤x≤3}．
7. D　当x<0或x＝0时，函数无意义，所以x>0.因为对于定义域内的任意x1，总存在x2，使得f(x2)1)，则函数g(x)在定义域内无最小值或g(x)min≤0.因为当a>1时，函数g(x)在区间(0，]上单调递减，在区间[，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g()＝＋－1＝－1≤0，解得a≥4，即实数a的取值范围是[4，＋∞).
8. ABD　对于A，由>0，解得－19. BD　对于A，因为0mb，故A错误；对于B，因为0logmb，故C错误；对于D，因为0logmb>0，则0<<，即logam10. (－2，3)　由f(x)＝(t－2)xt是幂函数，得t＝3，故g(x)＝log3(x＋3)＋3，令x＝－2，得g(x)的图象过定点(－2，3).
11. (－∞，1)　由对数函数的性质，得x－a＋2>0，解得x>a－2，则函数f(x)的定义域为(a－2，＋∞).又函数f(x)的图象经过第一、二、三象限，所以f(0)>0，即log3(0－a＋2)>0，即log3(2－a)>log31，则2－a>1，解得a<1.
12. 　令t＝x.因为2≤x≤4，所以－1≤t≤－，则y＝(x)2－2x＋5＝(t－1)2＋4.又因为函数y＝(t－1)2＋4在区间上单调递减，则当t＝－时函数有最小值；当t＝－1时函数有最大值8，所以函数y＝(x)2－x2＋5在区间[2，4]上的值域为.
13. (1) 令t＝log2x，由x∈，得t∈[－1，1]，
则原函数变为y＝t2＋t＝－，t∈[－1，1].
因为函数y＝t2＋t＝－的图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线t＝－，
所以当t＝－时，y取最小值－；
当t＝1时，y取最大值2，
所以原函数的值域为.
(2) 当a>1时，原不等式可化为
解得1当0解得－1综上，当a>1时，原不等式的解集为{x|114. (1) 因为a>0，所以f(x)的定义域为(－3，a).
又因为f(x)为偶函数，
所以f(x)的定义域关于原点对称，可得a＝3，
此时f(x)＝log2(3＋x)＋log2(3－x)，f(－x)＝log2(3－x)＋log2(3＋x)，满足f(－x)＝f(x)，
故a＝3.
(2) 由(1)知f(x)＝log2(3＋x)＋log2(3－x)，
则f(m－1)＝log2(2＋m)＋log2(4－m).
由f(m－1)解得－2故实数m的取值范围为(－2，－1)∪(3，4).
15. (1) 由题意，得解得－2即函数f(x)的定义域为(－2，1).
当a＝2时，f(x)＝log2(x＋2)＋log2(1－x)＝log2(－x2－x＋2).
令t＝－x2－x＋2，则y＝log2t，
由对数函数的单调性可知函数y＝log2t在区间(0，＋∞)上单调递增．
函数t＝－x2－x＋2图象的对称轴为直线x＝－，
当x∈(－2，1)时，函数t＝－x2－x＋2在区间(－2，－]上单调递增，在区间[－，1)上单调递减，
所以由复合函数的单调性，得函数f(x)的单调增区间为(－2，－)，单调减区间为(－，1).
(2) f(x)＝loga(x＋2)＋loga(1－x)＝loga(－x2－x＋2)(a>0，且a≠1)，
令y＝－x2－x＋2＝－(x＋)2＋，
由－1≤x≤，得≤y≤，
则y＝－(x＋)2＋的值域为[，].
当0所以函数f(x)在区间[－1，]上的最大值为loga，
则loga＝2，解得a＝<1，满足题意；
当a>1时，y＝logax在区间[，]上单调递增，
所以函数f(x)在区间[－1，]上的最大值为loga，
则loga＝2，解得a＝>1，满足题意．
综上，存在满足题意的实数a，实数a的值为或.
4．4.2　对数函数的图象和性质(3)
1. B　因为a>0，所以u＝2－ax在区间(0，4)上单调递减，又f(x)＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)在区间(0，4)上单调递增，所以解得02. B　易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以0f(2).
3. C　令t(x)＝x2－2ax－3a，则y＝ln t，由复合函数的单调性可知t(x)＝x2－2ax－3a在区间(－∞，－1]上单调递减，则解得－1≤a<1，故选C.
4. C　因为奇函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在R上单调递减，所以由f(1)5. A　由图象可知，f(x)在定义域上单调递增，又y＝x＋b是增函数，根据复合函数单调性同增异减可知a>1，而f(0)＝logab∈(0，1)，所以16. D　令t＝ax＋b，则g(t)＝logat，要使函数f(x)＝loga(ax＋b)(a>0，且a≠1)的值域为R，则(0，＋∞)是函数t＝ax＋b的值域的子集．又当x∈R时，ax>0，所以b≤0，即实数b的取值范围是(－∞，0].
7. A　当x>0时，f(x)＝－log2x－1，则f(2)＝－log22－1＝0.因为y＝与y＝－log2x在区间(0，＋∞)上都单调递减，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，且f(0)＝0，f(－2)＝－f(2)＝0.由(x－1)f(x)>0，得或解得18. ACD　由解得39. ABD　f(－x)＝log2(＋x)＋3＝－log2(－x)＋3，则f(－x)＋f(x)＝6，可得f(x)的图象关于点(0，3)对称，所以f(ln 2)＋f(ln )＝f(ln 2)＋f(－ln 2)＝6，故AB正确；t＝－x＝单调递减，又y＝log2t＋3单调递增，所以f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．又f(x)的图象关于点(0，3)对称，所以f(x)在定义域R上单调递减，故C错误；由f(a)>6－f(b)＝f(－b)，结合C可知a<－b，则a＋b<0，故D正确．故选ABD.
10. {x|x>2}　设f(x)＝3x＋log2x，易得该函数在区间(0，＋∞)上单调递增．因为f(2)＝32＋log22＝10，所以不等式3x＋log2x>10，即f(x)>f(2)，解得x>2.
11. [2，3)　当x≤2时，f(x)＝(x－1)2＋2的最小值为2；当x>2时，要使f(x)存在最小值，必有a＋log22≥2，解得a≥1，所以0<≤1，所以f＝＋2∈[2，3).
12. 　设C(x0，logax0)，则2logaxB＝logax0，即 x＝x0，解得xB＝，故xC－xB＝x0－＝2，解得 x0＝4，即B(2，2loga2)，A(2，3loga2).由AB＝2，得3loga2－2loga2＝2，解得a＝.
13. (1) 由题意，得f(3)＝1，即logm3＝1，
解得m＝3，可得f(x)＝log3x，
则f2(x)＋(m－1)f(x)＋1－m2＝0，
即f2(x)＋2f(x)－8＝0，
解得f(x)＝2或f(x)＝－4，
即log3x＝2或log3x＝－4，
解得x＝9或x＝，
所以原方程的解为x＝9或x＝.
(2) 由(1)知函数f(x)＝log3x，
由x∈，得log3x∈(－1，2).
又[1＋f(x)]·[a－f(x)]>0，
则(log3x＋1)·(log3x－a)<0，令log3x＝t，
可得关于t的一元二次不等式(t＋1)·(t－a)<0的解集为(－1，2)，
所以－1，2是关于t的方程(t＋1)·(t－a)＝0的两根，则a＝2，
故实数a的值为2.
14. (1) 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x).
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2) 因为f(4)＝4＝－2，且f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4).
又因为函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，
所以0<|x2－1|<4，解得－而当x2－1＝0，即x＝±1时，f(0)＝0>－2成立，
所以－即原不等式的解集为(－，).
15. (1) 由题意，得函数f(x)的定义域为(－6，6)，关于原点对称．
又f(－x)＝(6＋x)－(6－x)＝－[(6－x)－(6＋x)]＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(2) f(x)＝(6－x)－(6＋x)＝＝(－1＋).
因为函数y＝－1＋在区间(－6，6)上单调递减，
且y＝x在区间(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在区间(－6，6)上单调递增．
(3) 因为f(x)在区间(－6，6)上单调递增，
所以由f(2k＋1)解得－1故实数k的取值范围为.