4.4.3 不同函数增长的差异 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

4．4.3　不同函数增长的差异
一、 单项选择题
1 下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A. y＝ex B. y＝ln x
C. y＝3x D. y＝e－x
2 (2024太原段测)若函数y1＝a·log2x，y2＝b·2x，y3＝c·2x，则由如图所示的图象可得f(x)，g(x)，h(x)对应的函数依次为(　　)
A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3
C. y3，y2，y1 D. y1，y3，y2
3 若函数y1＝a·x2，y2＝c·2x，y3＝b·x3，则由表中数据确定f(x)，g(x)，h(x)依次对应函数(　　)
x f(x) g(x) h(x)
1 2 0.2 0.2
5 50 25 3.2
10 200 200 102.4
A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3
C. y3，y2，y1 D. y1，y3，y2
4 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示. 横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法中错误的是(　　)
A. 投资3天以内(含3天)，采用方案一
B. 投资4天，不采用方案三
C. 投资6天，采用方案一
D. 投资12天，采用方案二
5 (2024南京金陵中学期初)已知函数f(x)的数据如下表，则该函数的解析式可能为(　　)
x －2 －1 0 1 2 3 5
f(x) 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A. f(x)＝ka|x|＋b B. f(x)＝kxex＋b
C. f(x)＝k|x|＋b D. f(x)＝k(x－1)2＋b
6 四人赛跑，其跑过的路程f(x)和时间x的关系分别是f1(x)＝x，f2(x)＝x，f3(x)＝log2(x＋1)，f4(x)＝log8(x＋1)，如果他们一直跑下去，那么最终跑到最前面的人所具有的函数关系是(　　)
A. f1(x)＝x　 B. f3(x)＝log2(x＋1)
C. f2(x)＝x　 D. f4(x)＝log8(x＋1)
7 某研究小组在一项实验中获得一组数据，将其整理得到如图所示的散点图，则下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是(　　)
A. y＝2t2 B. y＝log2t
C. y＝t3 D. y＝2t
二、 多项选择题
8 某工厂八年来的产品累积产量C(即前t年的年产量之和)与时间t(单位：年)的函数图象如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A. 前三年中，总产量增长的速度越来越慢
B. 前三年中，年产量增长的速度越来越快
C. 第三年后，这种产品停止生产
D. 第三年后，年产量保持不变
9 (2024大同月考)下列说法中，正确的是(　　)
A. 函数y＝x减小的速度越来越慢
B. 在指数函数y＝ax(a>1)中，当x>0时，底数a越大，其增长速度越快
C. 不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100
D. 当a>1，k>0时，在区间(0，＋∞)内，对任意的x，总有logax三、 填空题
10 已知1611 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，已知a的取值为，，，，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是________．
12 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：
x 2 2.99 4 5 6.02
y 4 8.02 15.99 32 64.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：①y＝2x；②y＝(x2－1)；③y＝log2x；④y＝2x.其中最接近的一个是________．(填序号)
四、 解答题
13 函数y＝log2x，y＝log5x，y＝lg x的图象如图所示．
(1) 试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释原因；
(2) 以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出y＝x，y＝x，y＝x的图象；
(3) 从(2)的图中你发现了什么？
14 比较y＝x1.000 1和y＝100x＋1 000在区间[0，＋∞)上增长的快慢．
15 假设有一套住房的房价从2002年的20万元上涨到2012年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2002年以来经过的年数．
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 40
P2/万元 20 40
(1) 求函数P1＝f(t)的解析式；
(2) 求函数P2＝g(t)的解析式；
(3) 完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．
4．4.3　不同函数增长的差异
1. A　y＝e－x＝()x，又0<<1，所以y＝e－x随x的增大而减小，故D不正确；y＝ex，y＝ln x与y＝3x都是增函数，因为y＝ex为指数函数，y＝ln x为对数函数，y＝3x为一次函数，所以随x的增大而增大且速度最快的是y＝ex.
2. B　由函数图象，得f(x)为正比例函数，其对应函数为y2；g(x)为对数型函数，其对应函数为y1；h(x)为指数型函数，其对应函数为y3.
3. D　因为＝25＝，＝4＝，所以f(x)＝y1；因为＝125＝，＝8＝，所以g(x)＝y3；因为＝16＝，＝32＝，所以h(x)＝y2.
4. D　由图可知，投资3天以内(含3天)，结合图象对应的高低，可得方案一的回报最多，故A正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，结合图象对应的高低，可知方案一，方案二都比方案三高，故B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，结合图象对应的高低，可知方案一的回报比方案二、方案三都高，故C正确；投资12天，根据图象的变化可知，方案三的回报高很多，所以采用方案三，故D错误．
5. A　由函数f(x)的数据可知，f(－2)＝f(2)，f(－1)＝f(1)，偶函数满足此性质，排除B，D；当x>0时，由函数f(x)的数据可知，函数f(x)增长越来越快，排除C，故选A.
6. C　f1(x)是幂函数，f2(x)是一次函数，f1(x)的幂指数是，故当x越大时，f2(x)的函数图象在f1(x)的函数图象上方，f3(x)与f4(x)是对数型函数，其增长速度越来越慢，故这两函数对应的两人最终会落在后面，所以当四人一直跑下去，第二个人会跑在最前面，其对应的函数是f2(x).
7. B　由散点图知，当t＝2时，y＝1，且图象增长缓慢，因此只有B最接近．
8. ACD　由函数图象可知，在区间[0，3]上，图象是凸起上升的状态，表明总产量的增长速度越来越慢，故A正确；由总产量的增长越来越慢可知，年产量逐年减少，故B错误；在区间(3，8]上，图象是一条水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0，故C，D正确．故选ACD.
9. AB　对于A，由对数函数的性质知，函数y＝x减小的速度越来越慢，故A正确；对于B，由指数函数的性质知，指数函数y＝ax(a>1)中，当x＞0时，底数a越大，其增长速度越快，故B正确；对于C，由指数函数的性质知，随着x的增大，y＝1.1x的增长速度越来越快，最终会远远超过幂函数y＝x100的增长速度，因此一定存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100，故C不正确；对于D，取a＝2，k＝4，由图知，在区间(0，＋∞)内，对任意的x，logax10. x>log2x　作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的图象如图，由图象可知，在区间(0，4)内，x>log2x；当x＝4或x＝16时，x＝log2x；在区间(4，16)内，xlog2x.
11. ，，，　当a>1时，对数函数y＝logax的图象是上升的；当01的对数函数，在区间(1，＋∞)上，底数越大越靠近x轴；对于底数012. ④　由于直线是均匀增加的，故①不正确；由表中数据可得自变量近似等速增加，函数值近似成倍增加，故函数y＝2x最接近．
13. (1) 当底数大于1时，在直线x＝1的右侧，底数越大，函数图象越靠近x轴，所以①对应函数y＝lg x，②对应函数y＝log5x，③对应函数y＝log2x.
(2)
(3) 从(2)的图中发现y＝log2x，y＝log5x，y＝lg x的图象分别与y＝x，y＝x，y＝x的图象关于x轴对称．
14. 当x>1 000时，有101x>100x＋1 000，
则有>＝，
所以对任意正数M>1，当x>(101M)10 000>1 000时，
有x1.000 1＝x0.000 1·x>[(101M)10 000]0.000 1·x＝M·101x>M(100x＋1 000)，
这表明无论M多大，当x大到一定程度，y＝x1.000 1就会比y＝100x＋1 000的M倍还大，
所以当x大到一定程度，y＝x1.000 1在区间[0，＋∞)上比y＝100x＋1 000在区间[0，＋∞)上增长快．
15. (1) 设f(t)＝kt＋b(k≠0)，t≥0.
由f(0)＝k×0＋b＝20，f(10)＝k×10＋b＝40，
解得k＝2，b＝20，即P1＝2t＋20，t≥0.
(2) 设g(t)＝a0at，t≥0.
由g(0)＝20，g(10)＝40，得a0＝20，a＝2，
即P2＝20×2，t≥0.
(3) 填表如下：
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 30 40 50 60
P2/万元 20 20 40 40 80
作函数图象如下：
根据两个函数的图象，若房价按函数P1＝f(t)呈直线上升，每年的增加量相同，保持相同的增长速度；若按函数P2＝g(t)呈指数增长，每年的增加量越来越大，开始增长慢，然后会越来越快，但保持相同的增长比例．