4.5.1 函数的零点与方程的解 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

4.5.1　函数的零点与方程的解
一、 单项选择题
1 (2025石家庄期末)函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　)
A. (1，2) B. (2，e)
C. (e，3) D. (3，e2)
2 (2025齐齐哈尔期末)已知函数f(x)＝x3－x－5存在唯一的零点，则零点所在的区间是(　　)
A. (0，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，4)
3 设f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内(　　)
A. 至少有一实根 B. 至多有一实根
C. 没有实根 D. 必有唯一实根
4 已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5 (2024北京密云期末)设c∈R，函数f(x)＝若f(x)恰有一个零点，则实数c的取值范围是(　　)
A. [－2，0] B. {0}∪(－∞，－2]
C. [－1，0] D. {0}∪(－∞，－1]
6 (2025广东期末)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)
A. x1>x2>x3 B. x3>x2>x1
C. x1>x3>x2 D. x2>x1>x3
7 (2025西安期末)已知定义在区间[－1，6]上的函数f(x)＝
若关于x的方程[f(x)]2－(a＋1)f(x)＋a＝0有8个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A. (0，1) B. [0，1]
C. (1，2) D. [1，2]
二、 多项选择题
8 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若f(a)f(b)＜0，则存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B. 若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C. 若任意实数c∈[a，b]使得f(c)≠0，则f(a)f(b)＞0
D. 若存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0，则f(a)f(b)＜0
9 若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0，8)，(0，4)，(0，2)内，则下列说法中不正确的是(　　)
A. 函数f(x)在区间(0，1)内有零点
B. 函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点
C. 函数f(x)在区间(1，8)内无零点
D. 函数f(x)在区间[2，8)内无零点
三、 填空题
10 (2024昆明行知中学月考)函数f(x)＝x－|ln x|的零点个数为________．
11 若函数f(x)＝x2＋ax－在区间(－1，1)上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
12 若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
13 已知函数f(x)＝ln x＋x2－a有一个零点在区间(1，2)内，求实数a的取值范围．
14 (2025九江期末)已知函数f(x)＝2x＋－1(a∈R).
(1) 若f(x)为偶函数，求实数a的值；
(2) 讨论f(x)的零点个数．
15 (2024武汉期末)已知函数f(x)＝log2(4x＋1)＋2kx为偶函数．
(1) 求实数k的值；
(2) 解关于m的不等式f(2m＋1)(3) 设g(x)＝log2(a·2x＋2a)，若函数f(x)与g(x)的图象有2个公共点，求实数a的取值范围．
4.5.1　函数的零点与方程的解
1. A　f(x)＝ln x－的定义域为(0，＋∞)，又y＝ln x与y＝－在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝ln x－在区间(0，＋∞)上单调递增．又f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－>0，所以f(1)·f(2)<0，根据函数的零点存在定理可得函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为(1，2).
2. B　因为f(0)＝－5<0，f(1)＝－5<0，f(2)＝1>0，f(3)＝19>0，f(4)＝55>0，故零点所在的区间为(1，2).
3. D　由题意知，函数f(x)的图象在区间[a，b]内与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内只有一个实根．
4. B　因为f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，所以f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内至少各有一个零点，故f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
5. D　若c>0，当x≥c时，x＋c≥2c>0，此时函数y＝x＋c无零点，当xc>0，此时函数y＝2x＋c无零点，所以f(x)无零点，不符合题意；若c＝0，则f(x)＝画出函数f(x)的图象如图，由图可知，当 c＝0时，函数f(x)恰有一个零点0，满足题意；若c<0，当x≥c时，由x＋c＝0，得x＝－c，此时函数y＝x＋c恰有一个零点－c，要使函数f(x)恰有一个零点，则当x6. B　令f(x)＝0，即2x＝－x；令g(x)＝0，即log2x＝－x；令h(x)＝0，即log2x＝，则三个函数的零点即为对应两函数图象交点的横坐标，分别作出y＝2x，y＝log2x，y＝和y＝－x的图象如图，由图象可知x3>x2>x1.
7. A　作出函数y＝f(x)的图象如图，由[f(x)]2－(a＋1)f(x)＋a＝0得[f(x)－1][f(x)－a]＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝a.又关于x的方程[f(x)]2－(a＋1)f(x)＋a＝0有8个不同的实数根，而直线y＝1与函数y＝f(x)的图象有4个交点，即方程f(x)＝1有4个不同的实根，所以直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有4个交点，由图象得08. AC　由零点存在定理知，A正确；对于函数f(x)＝x2, f(－1)f(1)>0，但f(0)＝0，故B错误；因为任意实数c∈[a，b]使得f(c)≠0，所以f(x)在区间[a，b]上没有零点．又f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，所以f(a)与f(b)同正或同负，即f(a)f(b)＞0，故C正确；对于函数f(x)＝x2，f(0)＝0，但f(－1)f(1)>0，故D错误．故选AC.
9. ABC　因为函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0，8)，(0，4)，(0，2)内，所以函数f(x)唯一的一个零点在区间(0，2)内，可知函数f(x)在区间[2，8)内无零点．故A，B，C不正确，D正确．故选ABC.
10. 2　函数f(x)＝x－|ln x|的零点个数，等价于方程x－|ln x|＝0解的个数，也等价于y＝x与y＝|ln x|图象的交点个数，作图如下，由图可得y＝x与y＝|ln x|图象的交点个数为2.
11. 　若函数f(x)＝x2＋ax－在区间(－1，1)上有两个不同的零点，则解得012. 　因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在区间[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在区间[－1，1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝－.因为x∈[－1，1]，所以2x∈，所以－∈，所以实数 a的取值范围是.
13. 因为函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，2)上单调递增，且由题意知f(1)·f(2)＜0，
即(ln 1＋1－a)·(ln 2＋4－a)＜0，
解得1＜a＜4＋ln 2，
故实数a的取值范围为(1，4＋ln 2).
14. (1) 由题意，得f(－x)＝f(x)，
即2x＋－1＝2－x＋－1，
即(a－1)(2x－2－x)＝0恒成立，
故a＝1.
(2) 令f(x)＝0，得a＝－(2x)2＋2x.
设t＝2x，则a＝－t2＋t＝－2＋(t>0)，
易得函数y＝－2＋在区间上单调递增，在区间上单调递减，且最大值为，
当a>时，f(x)无零点；
当a＝或a≤0时，f(x)有一个零点；
当015. (1) 对任意的x∈R，4x＋1>0，
所以函数f(x)＝log2(4x＋1)＋2kx的定义域为R.
因为函数f(x)＝log2(4x＋1)＋2kx为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，
即log2(4－x＋1)－2kx＝log2(4x＋1)＋2kx，
所以4kx＝log2(4－x＋1)－log2(4x＋1)＝log2＝log2＝log2＝log22-2x＝－2x，
故k＝－.
(2) f(x)＝log2(4x＋1)－x＝log2(4x＋1)－log22x＝log2＝log2(2x＋2－x)，
令u＝2x＋2－x，任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1>x2，
则2x1>2x2≥1，x1＋x2>0，则2x1＋x2>1，
所以u1－u2＝(2x1＋)－(2x2＋)
＝(2x1－2x2)＋(－)
＝(2x1－2x2)－
＝>0，
即u1>u2，
所以函数u＝2x＋2－x在区间[0，＋∞)上单调递增．
又因为函数y＝log2u在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)＝log2(2x＋2－x)在区间[0，＋∞)上单调递增．
又f(x)为偶函数，所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．
由f(2m＋1)所以|2m＋1|<|m－2|，即(2m＋1)2<(m－2)2，
整理可得(m＋3)(3m－1)<0，解得－3即原不等式的解集为(－3，).
(3) 由g(x)＝f(x)，得log2(a·2x＋2a)＝log2(2x＋2－x)，
可得a·2x＋2a＝2x＋2－x，
即(a－1)·22x＋2a·2x－1＝0.
因为a(2x＋2)>0，所以a>0.
设t＝2x>0，则(a－1)t2＋2at－1＝0，
又函数t＝2x在R上单调递增，
所以由题意可知，关于t的方程(a－1)t2＋2at－1＝0有两个不等的正根，
则有解得即实数a的取值范围为(，1).