4.5.2 用二分法求方程的近似解 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

4．5.2　用二分法求方程的近似解
一、 单项选择题
1 (2025北京期末)设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0的近似解的过程中，有f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则该方程的根所在的区间为(　　)
A. (1，1.25) B. (1.25，1.5)
C. (1.5，2) D. 不能确定
2 (2025淄博期末)下列函数的零点不能用二分法求出的是(　　)
A. f(x)＝x3－1
B. f(x)＝x＋－4
C. f(x)＝x2＋2x＋2
D. f(x)＝－x2＋4x＋1
3 若函数f(x)的图象在区间[a，b]上连续，且同时满足f(a)·f(b)＜0，f(a)·f＞0，则下列说法中一定正确的是(　　)
A. f(x)在区间上有零点
B. f(x)在区间上有零点
C. f(x)在区间上无零点
D. f(x)在区间上无零点
4 已知函数f(x)在区间(10，12)内有一个零点，要使零点近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间(10，12)至少需要二等分(　　)
A. 8次 B. 9次 C. 10次 D. 11次
5 用二分法求方程log8x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(　　)
A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)
6 (2024昆明期末)若函数y＝f(x)的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：f(1) ＝－2，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，f(1.406 25)＝－0.054，f(1.437 5)＝0.162，f(1.6)＝0.625，则方程f(x)＝0的一个近似根(精确度为0.1)为(　　)
A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5
7 对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内(　　)
A. 可能有两个零点 B. 一定没有零点
C. 一定有零点 D. 至多有一个零点
二、 多项选择题
8 (2025武汉六中月考)某同学利用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：
f(2)≈－1.307 f(2.5)≈－0.084 f(2.562 5)≈0.066
f(2.625)≈0.215 f(2.75)≈0.512 f(3)≈1.099
则函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的近似值(精确度为0.1)可取为(　　)
A. 2.49 B. 2.52 C. 2.55 D. 2.58
9 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝(x－2)(x－3)＋0.02，则下列关于y＝f(x)在R上零点的说法中正确的是(　　)
A. 有4个零点，其中两个零点在区间(－3，－2)内
B. 有5个零点，其中两个零点在区间(－3，－2)内
C. 有5个零点，都不在区间(0，2)内
D. 有5个零点，正零点有一个在区间(0，2)内，一个在区间(3，＋∞)内
三、 填空题
10 (2025上海奉贤期末)某同学利用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，利用计算器分别计算了x＝2，x＝2.5，x＝3三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算x的值为________．
11 若函数f(x)的图象是连续的，且函数f(x)的唯一零点同在区间(0，4)，(0，2)，，内，则与f(0)符号不同的是________．(填序号)
①f(4)；②f(2)；③f(1)；④f；⑤f.
12 某同学在借助题设给出的数据求方程lg x＝2－x的近似解(精确到0.1)时，设f(x)＝lg x＋x－2，得出f(1)<0，且f(2)>0，他用“二分法”取到了4个x的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为________．
四、 解答题
13 判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度为0.1)
14 求方程x2＝2x＋1的一个近似解．(精确度为0.1)
15 (2024新乡月考)随着社会的发展，电动车进入了千家万户，给我们的生活带来了极大的方便．某品牌电动车2018年平均每台电动车的生产成本为1 500元，并以纯利润15%标定出厂价.2019年开始，公司加强管理，降低生产成本.2022年平均每台电动车尽管出厂价仅是2018年出厂价的75%，但却实现了纯利润40%的高收益．若以2018年的生产成本为基数，用二分法求2019～2022年生产成本平均每年降低的百分数．(精确度为0.01，参考数据：0.554≈0.091 5，0.74＝0.240 1，0.84＝0.409 6，0.854≈0.522 0，0.8754≈0.586 2，0.887 54≈0.620 4，0.94＝0.656 1，0.881 254≈0.603 1)
4．5.2　用二分法求方程的近似解
1. B　因为f(x)＝3x＋3x－8是R上的增函数，且f(1.25)<0，f(1.5)>0，则f(1.25)·f(1.5)<0，所以根据零点存在定理可知，方程的根所在的区间为(1.25，1.5).
2. C　对于A，f(x)＝x3－1在R上单调递增，且与x轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，故A中的零点可用二分法求解；对于B，当x<0时，f(x)＝x＋－4＝－－4≤－2－4＝－6，当且仅当x＝－1时，等号成立，无零点；当x>0时f(x)＝x＋－4≥2－4＝－2，当且仅当x＝1时，等号成立．又f(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，此时有两个零点x＝2±，且函数值在零点两侧异号，故B中的零点可用二分法求解；对于C，f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2只有一个零点x＝－，且在该零点左右两边的函数值都大于零，故C中的零点不能用二分法求解；对于D，f(x)＝－x2＋4x＋1＝－(x－2)2＋5，在区间(－∞，2)上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝5>0，可得零点处的两侧函数值异号，故D中的零点可用二分法求解．
3. B　由题意，易得f(b)·f＜0，因此f(x)在区间上一定有零点，但在其他区间上可能有零点，也可能没有零点．
4. D　设对区间(10，12)至少二等分n次，此时区间长度为2，则第n次二等分后区间长度为.由题意，得<0.001，所以2n>2 000，即n>log22 000.因为log21 0245. B　令f(x)＝log8x－.因为函数y＝log8x，y＝－在区间(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)＝log8x－在区间(0，＋∞)上单调递增．又f(1)＝－<0，f(2)＝log82－＝－＝>0，所以函数f(x)＝log8x－在区间(1，2)内有唯一零点，所以用二分法求方程log8x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2).
6. C　因为f(1.437 5)>0，f(1.375)<0，所以f(1.437 5)f(1.375)<0，所以函数f(x)在区间(1.375，1.437 5)内有零点．又1.437 5－1.375＝0.062 5<0.1，所以方程f(x)＝0的一个近似根(精确度为0.1)是区间(1.375，1.437 5)内的任意一个值(包括端点值)，结合选项可知，1.4∈[1.375，1.437 5].
7. A　如图，若函数f(x)的图象及给定的区间(a，b)如图1或图2所示，可知C错误；若如图3所示，可知B，D错误，A正确．
图1 图2 图3
8. BC　因为函数f(x)＝ln x＋2x－6在其定义域上单调递增，结合表格可知，方程ln x＋2x－6＝0的唯一近似解所在区间可以是(2.5，3)，(2.5，2.75)，(2.5，2.625)，(2.5，2.562 5)内，其区间长度分别为0.5，0.25，0.125，0.062 5.又精确度为0.1，所以方程ln x＋2x－6＝0的近似解在区间(2.5，2.562 5)上，则近似解可取为2.52，2.55.故选BC.
9. BC　①当x＞0时，f(x)的图象可由抛物线y＝(x－2)(x－3)(与x轴交点的横坐标为2，3)向上平移0.02个单位长度得到，可得f(x)在区间(2，3)内有两个零点．②当x＜0时，f(x)＝－(x＋2)(x＋3)－0.02，同理可得f(x)在区间(－3，－2)内也有两个零点．③因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以有五个零点．故选BC.
10. 2.75　因为f(2)＝ln 2－2<0，f(2.5)＝ln 2.5－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由零点存在定理知，区间(2.5，3)内存在零点，下一步需计算＝2.75.
11. ①②④　由二分法的步骤可知，因为零点在区间(0，4)内，则有f(0)·f(4)<0，所以f(4)与f(0)符号不同，不妨设f(0)>0，f(4)<0，故①正确；取中点2，因为零点在区间(0，2)内，则有f(0)·f(2)<0，则f(0)>0，f(2)<0，故②正确；取中点1，因为零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，则由f(2)<0知f(1)>0，故③错误； 取中点，因为零点在区间内，则有f(1)·f<0，则由f(1)>0知f<0，故④正确；取中点，因为零点在区间内，则有f·f<0，则由f<0知f>0，故⑤错误，所以与f(0)符号不同的是f(4)，f(2)，f.
12. 1.75　先判断零点所在的区间为(1，2)，故用“二分法”取的第一个值为1.5，由于方程的近似解为x≈1.8，故零点所在的区间进一步确定为(1.5，2)，故取的第二个值为(1.5＋2)÷2＝1.75.
13. 因为f(x)＝2x3－1，
所以f(0)＝－1<0，f(1)＝2－1＝1>0.
因为f(0)·f(1)<0，所以f(x)在区间(0，1)内有零点．
又f(x)＝2x3－1是R上的增函数，
所以f(x)有且只有一个零点x0∈(0，1).
取区间(0，1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝2×0.53－1＝－0.75<0，
所以f(0.5)·f(1)<0，可得x0∈(0.5，1)；
取区间(0.5，1)的中点x2＝0.75，f(0.75)＝2×0.753－1＝－0.156 25<0，
所以f(0.75)·f(1)<0，可得x0∈(0.75，1)；
取区间(0.75，1)的中点x3＝0.875，f(0.875)＝2×0.8753－1≈0.339 8>0，
所以f(0.75)·f(0.875)<0，可得x0∈(0.75，0.875)；
取区间(0.75，0.875)的中点x4＝0.812 5，f(0.812 5)＝2×0.812 53－1≈0.072 8>0，
所以f(0.75)·f(0.812 5)<0，可得x0∈(0.75，0.812 5).
因为|0.812 5－0.75|＝0.062 5<0.1，
所以f(x)＝2x3－1零点的近似值可取为0.75.
14. 设f(x)＝x2－2x－1，
因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
且f(x)在区间(2，3)内单调递增，
所以在区间(2，3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一的实数根，设为x0.
取区间(2，3)的中点2.5，因为f(2.5)＝0.25>0，所以f(2)f(2.5)<0，此时x0∈(2，2.5)；
取区间(2，2.5)的中点2.25，因为f(2.25)＝－0.437 5<0，所以f(2.25)f(2.5)<0，此时x0∈(2.25，2.5)；
取区间(2.25，2.5)的中点2.375，因为f(2.375)<0，所以f(2.375)f(2.5)<0，此时x0∈(2.375，2.5)；
再取区间(2.375，2.5)的中点2.437 5，因为f(2.437 5)>0，所以f(2.375)f(2.437 5)<0，此时x0∈(2.375，2.437 5).
因为|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，
所以方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.
15. 设2022年每台电动车的生产成本为M元，依题意得M(1＋40%)＝1500×(1＋15%)×75%，
解得M≈924，
所以2022年每台电动车的生产成本约为924元．
设2019～2022年生产成本平均每年降低的百分数为x，
根据题意，得1 500(1－x)4＝924(0x 10% 15% 20% 30% 45%
f(x) 60.15 －141 －309.6 －563.85 －786.75
则f(0.1)·f(0.15)<0，故函数在区间(0.1，0.15)内有零点x0.
取区间(0.1，0.15)的中点x1＝0.125，f(0.125)≈－44.7，
所以f(0.125)·f(0.1)<0，可得x0∈(0.1，0.125).
取(0.1，0.125)的中点x2＝0.112 5，f(0.112 5)≈6.6，
所以f(0.112 5)·f(0.125)<0，可得x0∈(0.112 5，0.125)，
同理x0∈(0.112 5，0.118 75).
因为|0.118 75－0.112 5|＝0.006 25<0.01，
所以原方程的近似解可取为0.112 5，
故2019～2022年生产成本平均每年降低11.25%.