4.5.3 函数模型的应用 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

4．5.3　函数模型的应用
一、 单项选择题
1 (2025上海杨思高级中学月考)已知某企业生产总值连续两年持续增加，若第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该企业这两年生产总值的年平均增长率为(　　)
A.
B.
C.
D. －1
2 在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系式最可能是(其中a为待定系数)(　　)
A. y＝ax B. y＝ax2＋1
C. y＝loga(x＋1) D. y＝
3 (2024合肥二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为T(单位：天).铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1，T2.开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则T1，T2满足的关系式为(　　)
A. －2＋＝
B. 2＋＝
C. －2＋log2＝log2
D. 2＋log2＝log2
4 心理学家用函数L(t)＝A(1－e－kt)测定在时间t(单位：min)内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5 min内能够记忆20个单词，则k的值约为(ln 0.9≈－0.105，ln 0.1≈－2.303)(　　)
A. 0.021 B. 0.221
C. 0.461 D. 0.661
5 音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度).设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的(　　)
A. 倍 B. 10倍 C. lg 倍 D. ln 倍
6 钱学森弹道，即“助推—滑翔”弹道．在学习了“函数的应用”后，用y＝的图象拟合某一钱学森弹道，其中x(千公里)表示弹道横向位移，y(千公里)表示弹道纵向位移，在网络公开平台可获得两组数据：x＝1，y＝；x＝3，y＝，则a，b的值分别为(　　)
A. 1，3 B. 3，1
C. －3，－ D. －，－3
7 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A. 1010.1 B. 10.1
C. lg 10.1 D. 10-10.1
二、 多项选择题
8 (2024广东期末)如图，某池塘中浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at，则下列结论中正确的是(　　)
A. 浮萍的面积逐月翻一番
B. 第5个月时，浮萍的面积会超过30 m2
C. 第7个月的浮萍面积超过第6个月和第8个月的平均值
D. 浮萍每月增加的面积都相等
9 (2024钦州期末)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列结论，其中正确的是(　　)
A. 在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均达标
B. 在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等
C. 甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值
D. 在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量
三、 填空题
10 (2024咸阳期中)某商店销售A，B两款商品，利润(单位：元)分别为y1＝－x2＋19x和y2＝6x，其中x(x∈N)为销量(单位：袋)，若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为________元．
11 为了保证信息安全传输，有一种系统称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文密文t密文t明文y.现在加密密钥为幂函数，解密密钥为指数函数．过程如下：发送方发送明文“9”，通过加密后得到密文“3”，再发送密文“3”，接受方通过解密密钥得到明文“27”．若接受方得到明文“9”，则发送方发送的明文为________．
12 (2024佛山期末)表观活化能的概念最早是针对阿伦尼乌斯公式k＝Ae－中的参量Ea提出的，是通过实验数据求得的，又叫实验活化能，阿伦尼乌斯公式中的k为反应速率常数，R为摩尔气体常量，T为热力学温度(单位为开尔文，简称开)，A(A>0)为阿伦尼乌斯常数．已知某化学反应的温度每增加10开，反应速率常数k变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时，＝________．(参考数据：ln 2≈0.7)
四、 解答题
13 某厂1月，2月，3月生产某种产品的产量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y(万件)与月份x的关系.模拟函数可选择二次函数或函数y＝abx＋c(a，b，c为常数)，已知四月份该产品的产量为1.36万件，试问用以上哪个函数作模拟函数较好？
14 (2024衡阳一中月考)某品牌平板电脑体验店预计2024年10月到2025年9月全年可以销售450台平板电脑，已知该品牌平板电脑的进价为3 000元/台，为节约资金，决定分批购入，若每批都购入x(x∈N*)台，则每批需付运费200元，储存购入的平板电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比，若每批购入50台，则全年需付运费和保管费6 800元．
(1) 求全年所付运费和保管费之和y关于x的函数；
(2) 若全年只有5 600元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当的安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量；如果不够用，最少还需补多少？
15 (2024张家口期末)近年来城市交通拥堵严重，某市区内的主要街道经常出现堵车现象．电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作，成为市民出行的常用交通工具．据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q(单位：千辆/h)与电动自行车的平均速度v(单位：km/h)(注：国家规定电动自行车最大设计时速为25 km/h)的函数关系为Q(v)＝(0(1) 欲使电动自行车流量不少于10千辆/h，求v的取值范围；
(2) 当电动自行车流量Q最大时，求v的值并估计最大流量(精确到0.1).
4．5.3　函数模型的应用
1. D　设该企业这两年生产总值的年平均增长率为x，可得(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝－1.
2. A　作出散点图如下，其与指数函数的图象最为接近，故选A.
3. B　设开始记录时，甲、乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为，乙的质量为.由题意，得＝×＝2＋，则2＋＝.
4. A　由题意，得200(1－e-5k)＝20，即1－e-5k＝0.1，则e-5k＝0.9，两边同取对数可得ln e-5k＝ln 0.9，即－5k≈－0.105，解得k≈0.021.
5. B　由题意，得η1＝10lg ＝70，η2＝10lg ＝60，所以＝107，＝106，即I1＝107×I0，I2＝106×I0，所以＝10，即I1是I2的10倍．
6. B　将x＝1，y＝；x＝3，y＝代入y＝可得＝和＝，解得a＝3，b＝1.
7. A　令m2＝－1.45，m1＝－26.7，则lg ＝(m2－m1)＝×(－1.45＋26.7)＝10.1，从而＝1010.1.
8. AB　由图可知点(1，2)在函数y＝at的图象上，所以a1＝2，即a＝2，所以y＝2t，所以2t+1＝2×2t，故A正确；当t＝5时，有25＝32>30，故B正确；设t＝6，7，8时的浮萍面积分别为y6，y7，y8，所以y6＝26＝64，y7＝27＝128，y8＝28＝256，所以＝＝160>128，故C错误；第3个月比第2个月增加23－22＝4(m2)的浮萍面积，第4个月比第3个月增加24－23＝8(m2)的浮萍面积，且8≠4，所以实际上面积增长的速度越来越快，故D错误．故选AB.
9. BD　由图可知在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均超标，故A错误；在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等，故B正确；甲企业的污水排放量的最小值不大于乙企业的污水排放量的最大值，故C错误；在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量，故D正确．故选BD.
10. 162　设该商店销售A商品x袋，则销售B商品(20－x)袋，所以可获得的利润y＝－x2＋19x＋6(20－x)＝－x2＋13x＋120＝－2＋，因为x∈[0，20]，x∈N，所以当x＝6或x＝7时，利润最大，最大利润为162元．
11. 4　设加密密钥为幂函数y1＝xα，则9α＝3，解得α＝，即y1＝x.设解密密钥为指数函数y2＝ax，则a3＝27，解得a＝3，即y2＝3x.因为接受方得到明文“9”，所以9＝3t，解得t＝2，则2＝x，解得x＝4，即发送方发送的明文为4.
12. 8 400　根据题意，温度每增加10开，反应速率常数k变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时，反应速率常数k变为300开时的210倍．由k＝Ae－，得当T＝300开时，k1＝Ae－；当T＝400开时，k2＝Ae－，所以＝＝210，即e＝210，则＝10ln 2，可得＝12 000ln 2≈12 000×0.7＝8 400.
13. ①若用二次函数，
设f(x)＝kx2＋lx＋m，k≠0，
所以解得
所以f(x)＝－x2＋x＋，f(4)＝1.3.
②若用函数y＝g(x)＝abx＋c，
则解得
所以g(x)＝－×＋，
所以g(4)＝1.35，
所以g(4)更接近1.36，故选用y＝abx＋c更好．
14. (1) 设保管费与电脑总价值的比例系数为k，
则y＝×200＋k×3 000x＝＋3 000kx，
当x＝50时，y＝6 800，解得k＝，
所以y＝＋100x(x∈N*).
(2) 由(1)知，y＝＋100x≥2＝6 000，
当且仅当＝100x，即x＝30时，等号成立，
所以每批应购入平板电脑30台，全年运费和保管费最少，为6 000元，此时还需补400元．
15. (1) 电动自行车流量不少于10千辆/h，
即Q(v)＝≥10，
化简，得v2－58v＋400≤0，
解得8≤v≤50，
又因为最高设计时速为25 km/h，故8≤v≤25，
所以欲使电动自行车流量不少于10千辆/h，则8≤v≤25.
(2) Q(v)＝＝，
由基本不等式，得v＋≥2＝2＝40，
当且仅当v＝，即v＝20时取等号，
此时电动车流量有最大值，最大值为Q(v)＝＝≈14.3，
故当v＝20 km/h时，电动车流量最大，最大流量约为14.3千辆/h.