5.1.1 任意角 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

5.1.1　任　意　角
一、 单项选择题
1 将角α的终边逆时针旋转30°，与120°角的终边重合，则与α终边相同的角的集合为(　　)
A. {β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}
B. {β|β＝k·360°＋90°，k∈Z}
C. {β|β＝k·180°＋150°，k∈Z}
D. {β|β＝k·360°＋150°，k∈Z}
2 下列命题中，正确的是(　　)
A. 第一象限的角必是锐角
B. 终边重合的角必相等
C. 相等角的终边位置必重合
D. 不相等的角其终边位置必不重合
3 (2025重庆渝西中学月考)－1 000°角的终边在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
4 若角α与角β的终边互为反向延长线，则下列结论中正确的是(　　)
A. α＝β＋180°
B. α＝β－180°
C. α＝－β
D. α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z
5 (2024北京师范大学天津附属中学月考)集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋60°，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
A B C D
6 (2025山西实验中学月考)“α为第二象限角”是“是第一象限角”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7 (2023上海嘉定期中)若α是第一象限角，则下列各角中是第三象限角的是(　　)
A. 90°－α B. 180°－α
C. 270°－α D. －α
二、 多项选择题
8 下列条件中，能使角α和角β的终边关于y轴对称的是(　　)
A. α＋β＝540° B. α＋β＝360°
C. α＋β＝180° D. α＋β＝90°
9 (2025舒城晓天中学月考)下列说法中，不正确的是(　　)
A. 第二象限角都是钝角
B. 第二象限角大于第一象限角
C. 若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
D. 若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)
三、 填空题
10 (2024枣庄月考)与－660°角的终边相同的最小正角是________，最大负角是________．
11 已知角α＝45°，在－720°～0°的范围内与角α有相同终边的角β＝____________．
12 已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．
四、 解答题
13 已知角α＝2 017°.
(1) 把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的角；
(2) 求角θ，使角θ与角α的终边重合，且－360°≤θ<720°.
14 设α是第一象限角，试探究：
(1) 2α一定不是第几象限角？
(2) 是第几象限角？
(3) 是第几象限角？
15 如图，点A在半径为1，圆心为原点的圆周上，且∠xOA＝45°，点P从点A出发以逆时针方向做匀速圆周运动，已知点P每秒转过θ(0°<θ<180°)，2 s到达第三象限，14 s刚好回到出发点A，求θ.
5.1.1　任　意　角
1. B　由题意，得α＋30°＝k·360°＋120°，k∈Z，则α＝k·360°＋90°，k∈Z，所以与α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋90°，k∈Z}．
2. C　对于A，390°角的终边在第一象限，但不是锐角，故A错误；对于B，390°角和30°角的终边相同，但两角不等，故B错误；对于C，相等角的终边位置必重合，故C正确；对于D，390°角和30°角不相等，而390°角和30°角的终边相同，故D错误．
3. A　－1 000°角的终边与－1 000°＋360°×3＝80°角的终边相同，则终边在第一象限．
4. D　因为角α与角β的终边互为反向延长线，所以两角相差180°的奇数倍，即α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z.
5. C　当k＝2n，n∈Z时，{α|n·360°≤α≤n·360°＋60°}，当k＝2n＋1，n∈Z时，{α|n·360°＋180°≤α≤n·360°＋240°}，故C满足题意．
6. D　若α＝480°，为第二象限角，则＝240°，是第三象限角，即不满足充分性；若＝30°，为第一象限角，则α＝60°是第一象限角，即不满足必要性．综上，“α为第二象限角”是“是第一象限角”的既不充分也不必要条件．
7. C　若α是第一象限角，则k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z.－90°－k·360°<－α<－k·360°，k∈Z，则－α是第四象限角，故D错误；－k·360°<90°－α<90°－k·360°，k∈Z，则90°－α是第一象限角，故A错误；90°－k·360°<180°－α<180°－k·360°，k∈Z，则180°－α是第二象限角，故B错误；180°－k·360°<270°－α<270°－k·360°，k∈Z，则270°－α是第三象限角，故C正确．
8. AC　假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，由角α和角β的终边关于y轴对称，得α＋β＝180°.根据终边相同角的概念，可得α＋β＝360°·k＋180°＝(2k＋1)180°，k∈Z，所以满足条件的为A，C.故选AC.
9. ABC　对于A，495°＝135°＋360°是第二象限角，但不是钝角，故A错误；对于B，α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限角，但α<β，故B错误；对于C，若α＝360°，β＝720°，则α≠β，但二者终边重合，故C错误；对于D，角α与角β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，所以α－β＝k·180°(k∈Z)，故D正确．故选ABC.
10. 60°　－300°　因为与－660°角的终边相同的角是－660°＋k·360°(k∈Z)，所以当k＝2时，与－660°角的终边相同的最小正角是60°；当k＝1时，与－660°角的终边相同的最大负角是－300°.
11. －675°或－315°　由终边相同的角的关系知β＝k·360°＋45°，k∈Z，取k＝－1或k＝－2，得β＝－315°或β＝－675°.
12. {α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}　因为在[0°，360°]内，终边落在阴影部分的角的集合为{α|45°<α<150°}，所以所求角的集合为{α|45°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}．
13. (1) 由2 017°除以360°，得商为5，余数为217°，
所以取k＝5，β＝217°，即α＝5×360°＋217°.
又β＝217°是第三象限的角，α与β终边相同，
所以α为第三象限的角．
(2) 与2 017°的终边重合的角为k·360°＋2 017°(k∈Z)，
令－360°≤k·360°＋2 017°<720°(k∈Z)，
解得－6≤k<－3(k∈Z)，
所以k＝－6，－5，－4.
当k＝－6时，θ＝－6×360°＋2 017°＝－143°；
当k＝－5时，θ＝－5×360°＋2 017°＝217°；
当k＝－4时，θ＝－4×360°＋2 017°＝577°，
所以角θ的值为－143°，217°，577°.
14. 因为α是第一象限角，
所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z.
(1) 2k·360°＜2α＜2k·360°＋180°，k∈Z，
则2α是第一或第二象限角，或是终边在y轴的正半轴上的角，
所以2α一定不是第三或第四象限角．
(2) k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z.
当k为偶数时，为第一象限角；
当k为奇数时，为第三象限角，
所以为第一或第三象限角．
(3) k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z.
当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＜＜n·360°＋30°，n∈Z，是第一象限角；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°＜＜n·360°＋150°，n∈Z，是第二象限角；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°＜＜n·360°＋270°，n∈Z，是第三象限角，
所以为第一或第二或第三象限角．
15. 由题意，得14θ＝k·360°(k∈Z)，即θ＝(k∈Z).
又180°<2θ＋45°<270°，所以67.5°<θ<112.5°，
所以67.5°<<112.5°，即又k∈Z，所以k为3或4，所以θ为或.