5.1.2 弧 度 制 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

5．1.2　弧　度　制
一、 单项选择题
1 下列关于弧度制的说法中，正确的是(　　)
A. 正角或者负角的弧度数都是正数
B. 四分之一圆所对的圆心角是
C. 角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于2π
D. 用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关
2 (2024天津宁河期末)杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴．已知某纸扇的扇环如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和10(单位：cm)的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为，则扇面(扇环)的面积是(　　)
　
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D. cm2
3 (2024榆林期末)如图所示的时钟显示的时刻为4：30，设150 min后时针与分针的夹角为α(0<α≤π)，则角α的大小为(　　)
A. B. C. D.
4 (2024海口月考)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)，则角α的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D. (k∈Z)
5 将－表示成2kπ＋θ(k∈Z)的形式，则使|θ|最小的θ的值是(　　)
A. － B. C. － D.
6 《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为 m，整个肩宽约为 m，“弓”所在圆的半径约为1.25 m，则掷铁饼者双手之间的距离约为(　　)
A. m B. m
C. 2 m D. 2 m
7 (2025重庆期末)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图，水滴是由线段AB，AC和圆的优弧BC围成，其中AB，AC恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为1，点A到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为(　　)
A. ＋ B. ＋
C. ＋ D. 2＋
二、 多项选择题
8 已知两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形 (　　)
A. 弧长之比为1∶2 B. 弧长之比为1∶
C. 周长之比为1∶2 D. 周长之比为1∶
9 (2024吉林田家炳高级中学月考)下列说法中，正确的是(　　)
A. 角－与角的终边相同
B. 若α为第二象限角，则为第一象限角
C. 终边经过点(m，m)(m>0)的角的集合是
D. 若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为
三、填空题
10 (2024佛山月考)已知角α＝35°，角β＝，角θ＝2 rad，则α，β，θ的大小关系为________．
11 已知某机械装置有两个相互啮合的齿轮，大轮有48齿，小轮有18齿．如果小轮的转速为120转/min，大轮的半径为10 cm，则大轮圆周上的一点每秒转过的弧长为________cm.
12 已知角α的终边与角的终边相同，则在区间[0，2π)内终边与角的终边相同的角为____________．
四、 解答题
13 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1) 若α＝120°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2) 已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3) 若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
14 (2024河南期中)已知某扇形的半径r＝2 cm，周长C＝ cm.
(1) 求该扇形的面积；
(2) 求在区间(0，3π)上与该扇形的圆心角α终边相同的角．
15 (1) 已知凸四边形的四个内角之比为1∶3∶5∶6，用弧度制将这些内角的大小表示出来；
(2) 已知一个半径为r的扇形，它的周长等于弧所在的半圆的弧长，求扇形圆心角的弧度数．
5．1.2　弧　度　制
1. B　正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，故A错误；整圆的圆心角是2π，所以四分之一圆所对的圆心角是，故B正确；角的终边顺时针旋转一周得到的角是－2π，角的终边逆时针旋转一周得到的角是2π，故C错误；无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径无关，故D错误．
2. A　因为上、下两条弧分别在半径为30 cm和10 cm的圆上，圆心角为，所以由扇形的面积公式S＝lr＝αr2可得，两个扇形的面积分别为S1＝××102＝(cm2)，S2＝××302＝(cm2)，所以扇面的面积为S2－S1＝－＝(cm2).
3. B　150 min后是7：00整，时针指向7，分针指向12，所以α＝2π－(×2π)＝.
4. D　由题意，得在区间[0，2π)内阴影部分的边界射线对应的角分别为，，所以在阴影部分内对应角的范围是，所以角α的取值范围是(k∈Z).
5. C　因为－＝－2π－＝－4π＋，又|－|<，所以θ＝－.
6. A　如图，由题意可知，“弓”所在圆的弧长l＝×2＋＝，所以∠BOC＝＝，则掷铁饼者双手之间的距离约为BC＝×1.25＝(m).
7. C　如图，取优弧BC所在圆的圆心D，连接AD，BD，CD，则BD⊥AB，CD⊥AC，AD＝2，BD＝CD＝1，所以∠BAD＝∠CAD＝，所以∠BDC＝，AB＝AC＝＝，所以优弧BC对应的圆心角为，对应的扇形面积为××12＝.又S△ABD＝S△ACD＝××1＝，所以该封闭图形的面积为＋S△ABD＋S△ACD＝＋.
8. BD　设两个扇形的圆心角为α，半径分别为r1，r2，则＝，即r2＝r1，所以两个扇形弧长之比为＝＝，周长之比为＝＝.故选BD.
9. ACD　对于A，因为＝2π－，所以角－与角的终边相同，故A正确；对于B，取α＝500°，则α为第二象限角，但＝250°为第三象限角，故B错误；对于C，终边经过点(m，m)(m>0)的角的集合是，故C正确；对于D，设扇形的半径为r，则r sin 1＝1，即r＝，所以扇形的面积为S＝×2×r2＝，故D正确．故选ACD.
10. β<α<θ　因为β＝×°＝30°，θ＝2×°≈2×57.3°＝114.6°，所以β<α<θ.
11. 15π　由题意知，小轮每秒转过的圈数为120÷60＝2，则每秒大轮转过的圈数为＝，所以大轮每秒转过的弧长为×2π×10＝15π(cm).
12. ，，　由题意，得α＝2kπ＋(k∈Z)，故＝＋(k∈Z)，则在区间[0，2π)内终边与角的终边相同的角有，，.
13. (1) 由题意，得α＝120°＝ rad，
所以弧长l＝αR＝×10＝(cm).
(2) 由题意，得
解得(舍去)或
故扇形的圆心角为 rad.
(3) 由题意，得l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝＝2 rad.
故当α＝2 rad时，这个扇形的面积最大．
14. (1) 设扇形的弧长为l，
则C＝2r＋l＝2×2＋l＝4＋，
所以l＝，
所以扇形的面积为S＝lr＝××2＝(cm2).
(2) 由(1)可知，圆心角α＝＝＝，
则与角α终边相同的角β的集合为{β|β＝＋2kπ，k∈Z}．
又0<β<3π，
所以β＝＋0×2π＝或β＝＋1×2π＝，
故在区间(0，3π)上与该扇形圆心角α终边相同的角为和.
15. (1) 设四个内角分别为α，3α，5α，6α，
则α＋3α＋5α＋6α＝2π，解得α＝，
所以四个内角分别为，，，.
(2) 设扇形的圆心角是θ rad.
因为扇形的弧长为rθ，
所以扇形的周长为2r＋rθ.
由题意，得2r＋rθ＝πr，
解得θ＝π－2.