5.2.1　三角函数的概念 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

5．2　三角函数的概念
5.2.1　三角函数的概念(1)
一、 单项选择题
1 (2025滨州期末)已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(4，3)，则sin θ－cos θ的值为(　　)
A. － B. －
C. D.
2 (2025怀化期末)如图，角α的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则cos α的值为(　　)
A. － B.
C. － D.
3 已知函数f(x)＝x，g(x)＝x-1，角θ的终边经过f(x)与g(x)图象的交点，则tan θ的值为(　　)
A. 1 B. ±1
C. D. －
4 (2024南京月考)已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M(－3，4)，则cos2θ－sin2θ＋tanθ的值为(　　)
A. － B.
C. － D.
5 (2025镇江期末)已知单位圆上一点P从点(1，0)出发，逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　　)
A. (－，) B. (－，－)
C. (－，) D. (－，－)
6 (2024赤峰期中)已知p：角α的终边过点P(1，2)，q：sin α＝，则p是q的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7 (2024雅安月考)若角α的终边经过点(－，)，则角α的值可以为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
8 在平面直角坐标系xOy中，α为第二象限角，它的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则下列选项中正确的是(　　)
A. cos α＝－
B. cos α＝
C. tan α＝－
D. tan α＝
9 (2024昆明期末)已知角α的终边上有一点P(x，－1)，且cos α＝，则下列关于tan α的结论中正确的有(　　)
A. 若x≠0，则tan α>sin α
B. 当x＝0时，tan α不存在
C. 若α为第三象限角，则tan α＝
D. 若α为第四象限角，则tan α＝－
三、 填空题
10 如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且A＝90°，则tan ∠ABC＝________．
11 (2025天津双菱中学月考)已知角α的终边上有一点P(x，)，且cos α＝－，则x＝________．
12 (2024长春月考)点(－sin 60°，cos 60°)关于y轴对称的点的坐标是________．
四、 解答题
13 (2024邢台月考)如图，在平面直角坐标系中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，点P，Q的纵坐标分别为，.求sin α的值；
14 已知角α终边上的一点P的坐标为(4a，－3a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
15 如图，在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1，0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1) 若点B的横坐标为－，求sin α的值和与角α终边相同的角β的集合；
(2) 若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形，sin α＝2sin cos ).
5．2.1　三角函数的概念(2)
一、 单项选择题
1 计算 sin (－1 380°)的值为(　　)
A. － B.
C. － D.
2 (2024长沙月考)已知α是第四象限角，则下列不等式中成立的是(　　)
A. tan αsin α<0
B. sin αcos α<0
C. tan α>0
D. cos α<0
3 点P从点(0，－1)出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　　)
A. (，) B. (，)
C. (－，) D. (－，)
4 计算tan 405°－sin 450°＋cos 750°的值为(　　)
A. B.
C. 2＋ D.
5 (2024衡水月考)“角α，β的终边在同一条直线上”是“sin (α－β)＝0”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6 (2024上海奉贤期末)下列命题中，正确的是(　　)
A. 若α∈(0，π)，且x2>x1>0，则<1
B. 若α∈(0，π)，且x1>x2>0，则≥1
C. 若α∈(0，π)，且x2>x1>0，则>1
D. 若α∈(0，π)，且x1>x2>0，则≤1
7 (2024佛山三中月考)若α是第一象限角，则下列结论中一定成立的是(　　)
A. sin >0 B. cos >0
C. tan >0 D. sin cos <0
二、 多项选择题
8 下列说法中，正确的是(　　)
A. 角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件是sin θ·cos θ<0
B. 圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于
C. 经过4h，时针转了120°
D. 若角α和角β的终边关于y＝x对称，则有α＋β＝＋2kπ，k∈Z
9 (2025扬州期末)下列三角函数值中，符号为负的有(　　)
A. sin (－40°) B. sin 100°
C. cos 2 D. tan
三、 填空题
10 (2024上海浦东新区期中)若角α满足sin α>0，且tan α<0，则α是第________象限角．
11 已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2).若a＝3，则sin α＝________；若cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
12 已知角α＝2 022°，则＋＋＝________．
四、 解答题
13 求值：
(1) sin 390°＋cos (－660°)＋3tan 405°－cos 540°；
(2) sin cos ＋tan cos .
14 (2024苏州月考)已知角α的终边上有一点P(m，－4)，m∈R.
(1) 若m＝2，求sin α，cos α和tan α的值；
(2) 若cos α＝，求m的值，并计算sin (α－6π)＋m·tan .
15 (1) 已知θ是第二象限角，试判断tan (sin θ)·tan (cos θ)的符号；
(2) 若sin (cos θ)cos (sin θ)<0，求角θ的终边的位置．
5.2.1　三角函数的概念(1)
1. B　因为终边过点P(4，3)，所以OP＝5，所以sin θ－cos θ＝－＝－.
2. B　因为角α的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，所以cos α＝.
3. A　因为幂函数f(x)＝x和g(x)＝x-1图象的交点为(1，1)，所以角θ的终边经过交点(1，1)，所以tan θ＝1.
4. A　由已知，得OM＝5，则cos θ＝－，sin θ＝，tan θ＝－，所以cos2θ－sin2θ＋tanθ＝－－＝－.
5. A　由三角函数定义，得点Q，所以点Q的坐标为.
6. A　若角α的终边经过点P(1，2)，则sin α＝＝，故充分性成立；若sin α＝，设角α的终边上一点为P(x，y)，则＝＝，不妨设y＝2t>0，则x2＋y2＝5t2，解得或显然当时，角α的终边不过点P(1，2)，故必要性不成立．综上，p是q的充分不必要条件．
7. A　由点(－，)位于第二象限，得α为第二象限角．又tan α＝＝－1，则当<α<π时，有α＝，所以与角α终边相同的角β的集合为{β|β＝＋2kπ，k∈Z}．满足；＝－不满足；＝＋π不满足；＝＋不满足，故选A.
8. AC　设点A的横坐标为x，则由＝1，解得 x＝±.因为α为第二象限角，所以x＝－，cos α＝－，tan α＝－.故选AC.
9. BC　由题意，得cos α＝＝，解得x＝0或x＝±；当x≠0时，若x＝，则tan α＝－，sin α＝－，此时tan αsin α，故A不正确；当x＝0时，tan α不存在，故B正确；若α为第三象限角，则x＝－，此时tan α＝，故C正确；若α为第四象限角，则x＝，此时tan α＝－，故D不正确．故选BC.
10. 或　在Rt△ABC中，A＝90°，则BC边上的中线长等于BC边长的；取AB的中点D，连接CD，不妨设AB边上的中线长CD＝AB，设AD＝BD＝m，则CD＝2m，所以AC＝＝m，故tan ∠ABC＝＝；若AC边上的中线长等于边AC的长，同理可得tan ∠ACB＝＝，则tan ∠ABC＝＝，故tan ∠ABC的值为或.
11. －　因为cos α＝＝－，所以x2＝5，解得x＝±.又因为cos α＝－<0，所以x<0，所以x＝－.
12. 　因为sin 60°＝，cos 60°＝，所以(－sin 60°，cos 60°)＝，其关于y轴对称的点的坐标是.
13. 因为P为角α的终边与单位圆的交点，且纵坐标为，
所以sin α＝.
14. 因为OP＝＝5|a|，
所以当a>0时，sin α＝＝－，
cos α＝＝，
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－；
当a<0时，sin α＝＝，cos α＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝.
综上，2sin α＋cos α＝
15. (1) 若点B的横坐标为－，
则点B的坐标为(－，)，
所以sin α＝，
所以α＝＋2kπ，k∈Z，
即与角α终边相同的角β的集合为{β|β＝＋2kπ，k∈Z}．
(2) 由题意可得△AOB的高为1×cos ，AB＝2sin ，
则S△AOB＝×2sin ×cos ＝sin α，
所以弓形AB的面积S＝×α×12－sin α＝(α－sin α)，α∈(0，].
5．2.1　三角函数的概念(2)
1. D　sin (－1 380°)＝sin (－1 380°＋1 440°)＝sin 60°＝.
2. B　由题意，得tan α<0，cos α>0，sin α<0，所以tan αsin α>0，sin αcos α<0.
3. D　由题意，以x轴的非负半轴为始边，以点Q所在的射线OQ为终边的最小正角为.由任意角的三角函数的定义可得，点Q的坐标为(cos ，sin )，即(－，).
4. A　原式＝tan (360°＋45°)－sin (360°＋90°)＋cos (2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
5. C　由角α，β的终边在同一条直线上，得α＝β＋kπ，k∈Z，即α－β＝kπ，k∈Z，所以sin (α－β)＝sin kπ＝0，k∈Z，故充分性成立；由sin (α－β)＝0，得α－β＝mπ，m∈Z，当m为偶数时，角α，β的终边在同一条射线上；当m为奇数时，角α，β的终边在同一条直线上，故必要性成立．综上，“角α，β的终边在同一条直线上”是“sin (α－β)＝0”的充要条件．
6. C　对于A，C，因为x2>x1>0，所以>1.又α∈(0，π)，所以sin α>0，可得()sin α>1，故A错误，C正确；对于B，D，因为x1>x2>0，所以0<<1.又α∈(0，π)，当α∈(0，)时，cos α>0，此时()cos α<1，当α＝时，cos α＝0，此时()cos α＝1，当α∈(，π)时，cos α<0，此时()cos α>1，故B，D错误．
7. C　因为α在第一象限，所以2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，所以kπ<<＋kπ，k∈Z，所以是第一或第三象限角．当是第一象限角时，sin >0，cos >0，tan >0，sin cos >0；当是第三象限角时，sin <0，cos <0，tan >0，sin cos >0.综上，tan >0一定成立．
8. ABD　对于A，因为角θ终边在第二象限或第四象限，所以终边上的点(x，y)的横坐标和纵坐标异号，即sin θ·cos θ＝·<0，故必要性成立；因为sin θ·cos θ<0，所以或故或所以角θ终边在第二象限或第四象限，故充分性成立．综上，角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件是sin θ·cos θ<0，故A正确；对于B，圆的一条弦长等于半径，故弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为，故B正确；对于C，钟表上的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－＝－30°，所以经过4 h应旋转－120°，故C错误；对于D，角α和角β的终边关于直线y＝x对称，则α＋β＝2＝2kπ＋，k∈Z，故D正确．故选ABD.
9. AC　对于A，－40°角的终边在第四象限，所以sin (－40°)<0，故A正确；对于B，100°角的终边在第二象限，所以sin 100°>0，故B错误；对于C，2弧度的角的终边在第二象限，所以cos 2<0，故C正确；对于D，－角的终边在第三象限，所以tan >0，故D错误．故选AC.
10. 二　由sin α>0且tan α<0，得α是第二象限角．
11. 1　(－2，3]　若a＝3，则角α的终边经过点(0，5)，所以sin α＝1.若cos α≤0，sin α＞0，则角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上．因为角α的终边过点(3a－9，a＋2)，所以解得－2＜a≤3，即实数a的取值范围为(－2，3].
12. －1　由题意，得α＝2 022°＝5×360°＋222°，所以α＝2 022°是第三象限角，则sin α<0，cos α<0，tan α>0，故＋＋＝＋＋＝－1－1＋1＝－1.
13. (1) 原式＝sin (360°＋30°)＋cos (－2×360°＋60°)＋3tan (360°＋45°)－cos (360°＋180°)＝sin 30°＋cos 60°＋3tan 45°－cos 180°＝＋＋3×1－(－1)＝5.
(2) 原式＝sin cos ＋tan (－4π＋)cos ＝sin cos ＋tan cos ＝×＋1×＝.
14. (1) 由题意，得角α的终边上有一点P(2，－4)，
又点P到原点的距离OP＝＝2，
所以sin α＝＝－，cos α＝＝，
tan α＝＝－2.
(2) 因为已知角α的终边上有一点P(m，－4)，
所以点P到原点的距离OP＝＝，
所以cos α＝.
又cos α＝，所以＝，解得m＝3，
所以sin α＝＝－，
所以sin (α－6π)＋m·tan ＝sin α＋m tan ＝－＋3＝.
15. (1) 因为θ是第二象限角，
所以0所以tan (sin θ)>0，tan (cos θ)<0，
所以tan (sin θ)tan (cos θ)<0.
(2) 因为－<－1≤sin θ≤1<，所以cos (sin θ)>0.
又sin (cos θ)cos (sin θ)<0，所以sin (cos θ)<0.
因为－<－1≤cos θ≤1<，所以cos θ<0，
所以θ的终边在第二、三象限或在x轴的负半轴上．