5.2.2 同角三角函数的基本关系 课时作业（含答案） 高一数学人教A版必修第一册

5．2.2　同角三角函数的基本关系(1)
一、 单项选择题
1 (2025许昌期末)已知角α满足＝，则tan α的值为(　　)
A. 2 B. －2 C. D. －
2 化简的结果为(　　)
A．sin 220° B. cos 220°
C. －cos 220° D. －sin 220°
3 已知θ为第四象限角，且tan θ＝－，则sin θ＋cos θ的值为(　　)
A. － B.
C. － D.
4 (2025武汉期末)“cos x＝0”是“sin x＝1”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5 (2024德化二中月考)已知sin α＋cos α＝，0<α<π，则sin α－cos α的值为(　　)
A. － B.
C. － D.
6 (2025甘肃期末)已知tan α＝5，则的值为(　　)
A. B. 1 C. D.
7 若θ为第三象限角，且tan θ＝2，则－的值是(　　)
A. 4 B. －4
C. D. －
二、 多项选择题
8 (2024南阳期中)＋＋的值可能为(　　)
A．－3 B. －1
C. 1 D. 3
9 已知角α的终边经过点P(sin 120°，tan 120°)，则下列结论中正确的是(　　)
A. cos α＝
B. sin α＝
C. tan α＝－2
D. sin α＋cos α＝－
三、 填空题
10 已知角A为△ABC的内角，cos A＝－，则sin A＝________．
11 已知sin α＝，则sin4α－cos4α＝________．
12 (2025临沂期末)已知θ∈，则的最大值为________．
四、解答题
13 (2024南昌期中)在平面直角坐标系xOy中，点P(3，－4)在角α的终边上．
(1) 求tan α的值：
(2) 求的值．
14 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
15 (2024达州期末)
(1) 已知α是第一象限角，sin α＝，求cos α，tan α的值；
(2) 已知tan α＝，求2sin αcos α－sin2α的值．
5．2.2　同角三角函数的基本关系(2)
一、单项选择题
1 已知＝，则的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
2 (2024如东一中、宿迁一中、徐州中学联考)化简的结果是(　　)
A. sin 44°＋cos 44° B. sin 44°－cos 44°
C. cos 44°－sin 44° D. －cos 44°－sin 44°
3 设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则甲是乙的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4 (2025广东期末)已知tan θ＝4，则sin2θ－3sinθcos θ的值为(　　)
A. B. C. D.
5 (2024三明永沙田一中三校联考)《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．如图，记圆心角∠AOB＝2α，若“弦”为2，“矢”为1，则＋tan α等于(　　)
A. 1 B. C. D.
6 如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，已知以直角边AC，AB为直径的半圆的面积之比为，记∠ABC＝θ，则的值为(　　)
A. －1 B. －2 C. 0 D. 1
7 (2024重庆杨家坪中学月考)已知sin θ与cos θ是方程4x2－(2＋2)x＋＝0的两个根(θ∈(0，2π))，则θ的值为(　　)
A. B.
C. 或 D. 或
二、 多项选择题
8 (2025广州期末)已知α∈(0，π)，sin α＋cos α＝m，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若m＝1，则cos α＝0
B. 若m＝，则cos α＝－
C. 若m＝，则sin α－cos α＝
D. m∈(－，)
9 若＋＝－成立，则角α一定不是(　　)
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
三、 填空题
10 若cos α＋2sin α＝cos α，则tan α的值为________．
11 (2025天津期末)已知α∈，且sin α－3cos α＝，则cos α＝________．
12 已知函数f(tan x)＝2cos2x＋3cosx sin x－3sin2x，则f(2)＝________，f(x)＝________．
四、解答题
13 (2024南通期末)已知x∈.
(1) 化简：cos x；
(2)若sin x＋cos x＝，求－tan x的值．
14 (2025佛山期末)已知3sin2θ－5sinθcos θ－2cos2θ＝0.
(1)求tan θ；
(2) 若θ是第一象限角，求＋的值．
15 化简：.
5．2.2　同角三角函数的基本关系(1)
1. C　由题意，得＝＝，解得tan α＝.
2. D　＝|sin220°|.因为220°为第三象限角，所以sin 220°<0，所以＝－sin220°.　
3. B　由题可知sin θ<0，cos θ>0，tan θ＝＝－，则sin θ＝－cos θ.又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以cosθ＝，所以sin θ＋cos θ＝cos θ＝.
4. B　由sin x＝1，得cos x＝0；反之，若cos x＝0，则sin x＝1或sin x＝－1，所以“cos x＝0”是“sin x＝1”的必要不充分条件．
5. B　因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝，即sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，所以2sinαcos α＝－.因为0<α<π，所以cos α<00.因为(sin α－cos α)2＝sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝1＋＝，所以sinα－cos α＝.
6. B　由题意，得＝＝1.
7. B　由题意，得－＝－＝－.又θ为第三象限角，所以cosθ<0，1＋sin θ>0，1－sin θ>0，可得－＝－＋＝－2tan θ＝－4.
8. BD　因为＋＋＝＋＋，所以x≠kπ且x≠kπ＋(k∈Z).若x为第一象限角，则sin x>0，tan x>0，cos x>0，所以原式＝1＋1＋1＝3；若x为第二象限角，则sin x>0，tan x<0，cos x<0，所以原式＝－1＋1－1＝－1；若x为第三象限角，则sin x<0，tan x>0，cos x<0，所以原式＝1－1－1＝－1；若x为第四象限角，则sin x<0，tan x<0，cos x>0，原式＝－1－1＋1＝－1.故选BD.
9. ACD　由题意，得点P，所以cos α＝＝，sin α＝＝－，tan α＝＝－2，sin α＋cos α＝－.故选ACD.
10. 　因为角A为△ABC的内角，所以A∈(0，π).因为cos A＝－，所以sin A＝＝.
11. －　因为sin α＝，所以sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－1＝－.
12. 　＝，令t＝tanθ∈(0，＋∞)，则原式＝≤＝，当且仅当t2＝16，即t＝4时，等号成立，所以的最大值为.
13. (1) 因为点P(3，－4)在角α的终边上，
所以tan α＝＝－.
(2) ＝＝＝＝.
14. 因为cos α＝－<0，且cos α≠－1，
所以α是第二或第三象限角．
①当α是第二象限角时，
sin α＝＝＝，
tanα＝＝＝－；
②当α是第三象限角时，
sin α＝－＝－，tanα＝.
15. (1) 因为α是第一象限角，sin α＝，
所以cos α＝＝，tanα＝＝＝.
(2) 因为tan α＝，
所以2sin αcos α－sin2α＝＝＝＝.
5．2.2　同角三角函数的基本关系(2)
1. A　由＝，得cos x≠0，所以sin x≠±1，则＝＝＝＝.
2. C　由0°<44°<45°，得sin 44°3. B　当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0，但sinα＋cos β≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cos β＝0，故充分性不成立；当sin α＋cos β＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1，故必要性成立．综上，甲是乙的必要不充分条件．
4. B　因为tan θ＝4，所以sin2θ－3sinθcos θ＝＝＝＝.
5. D　设半径长OB＝r>0，则cos α＝，sin α＝.又cos2α＋sin2α＝2＋2＝1，解得r＝2，所以cosα＝，sin α＝，所以tan α＝＝，所以＋tan α＝＋＝.
6. A　以直角边AC，AB为直径的半圆的面积分别为×π×＝，×π×＝，由面积之比为，得＝，即＝.在Rt△ABC中，tan θ＝tan ∠ABC＝＝，则＝＝＝－1.
7. C　由题意，得sin θ＋cos θ＝，sin θ·cos θ＝，所以(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcos θ＝1－，所以sin θ－cos θ＝±.当sin θ－cos θ＝－时，与方程sin θ＋cos θ＝联立，解得又θ∈(0，2π)，所以θ＝；当sin θ－cos θ＝－时，与方程sin θ＋cos θ＝联立，解得又θ∈(0，2π)，所以θ＝.
8. ABC　对于sin α＋cos α＝m，两边平方并整理，得sin αcos α＝，又α∈(0，π)，所以sin α>0.对于A，若m＝1，则sin αcos α＝0，所以cos α＝0，故A正确；对于B，若m＝，则sin α＋cos α＝，sin αcos α＝－，所以sin α，cos α为方程x2－x－＝0的根．又因为x2－x－＝0的根为，－，所以sin α＝，cos α＝－，故B正确；对于C，若m＝，则sin αcos α＝－，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，且sin α>0，cos α<0，可知sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝，故C正确；对于D，例如α＝，则m＝sin α＋cos α＝，故D错误.故选ABC.
9. AD　左边＝＋
＝＋＝＋＝＋＝＝，右边＝－，所以cos α＜0，故角α可以是第二、第三象限角，但一定不是第一、第四象限角．故选AD.
10. 　由已知得当cos α＝0时，sin α＝0，与cos2α＋sin2α＝1矛盾，故cosα≠0，从而原等式化简为1＋2tan α＝，故tan α＝.
11. －　由sin α－3cos α＝，得sin α＝3cos α＋，结合sin2α＋cos2α＝1，可得(3cosα＋)2＋cos2α＝1，化简，得5cos2α＋3cosα＋2＝0，解得或(舍去).
12. －　　令tan x＝2，则2cos2x＋3cosx sin x－3sin2x＝＝＝＝－，所以f(2)＝－，f(x)＝.
13. (1) 原式＝cos x
＝cosx·
＝cosx，
因为x∈(，π)，所以cosx<0，
所以原式＝cos x·(－)＝－1.
(2) 因为sin x＋cos x＝，所以(sin x＋cos x)2＝，
即1＋2sin x cos x＝，所以sin x cos x＝－，
所以(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝.
因为x∈(，π)，所以sin x>0，cos x<0，
所以sin x－cos x>0，可得sin x－cos x＝，
所以－tan x＝－
＝
＝＝.
14. (1) 因为3sin2θ－5sinθcos θ－2cos2θ＝＝＝0，
所以3tan2θ－5tanθ－2＝(3tan θ＋1)(tan θ－2)＝0，
解得tan θ＝－或tan θ＝2.
(2) ＋＝＋＝＋＝＋，
因为θ是第一象限角，所以sin θ>0，tan θ>0.
由(1)知，tan θ＝2，由?＝2，
sin2θ＋cos2θ＝1，?得sin θ＝，
所以＋＝＋＝＝＝.
15. 原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝.