5.3 诱导 公 式 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

5．3　诱导 公 式
5.3.1　诱导公式(1)
一、 单项选择题
1 (2025镇江期末)cos 2 025°等于(　　)
A. － B. －
C. D.
2 (2024济宁月考)sin 等于(　　)
A. － B.
C. － D.
3 (2024太原月考)下列三角函数值中，符号为负的是(　　)
A. sin 150° B. sin
C. cos (－200°) D. tan
4 cos (－300°)·sin 的值为(　　)
A. B. －
C. － D.
5 (2024忻州月考)设a＝cos 225°，b＝sin 120°，c＝－sin 750°，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. a>b>c B. b>c>a
C. a>c>b D. c>a>b
6 (2024海南期末)若角α，β的顶点在坐标原点，始边为x轴的非负半轴，则“角α，β的终边关于y轴对称”是“sin α＝sin β”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7 已知扇形OAB的面积为2，弧长AB＝4，则弦AB等于(　　)
A. 2sin 1 B. 2sin 2
C. 2 D. 4
二、 多项选择题
8 (2024无锡学情调研)下列说法中，正确的有(　　)
A. θ为第三象限角的充要条件为sin θtan θ<0
B. 若θ为第二象限角，则为第一或第三象限角
C. sin (π＋α)＝sin α
D. sin (－1 071°)sin 99°＋sin (－171°)sin (－261°)＝0
9 已知A＝＋(k∈Z)，则A的值是(　　)
A. －1 B. －2
C. 1 D. 2
三、 填空题
10 已知tan ＝，则tan ＝________．
11 (2025广东期末)已知cos (75°＋α)＝，α是第三象限角，则sin (α－105°)＝________．
12 代数式的化简结果是________．
四、 解答题
13 (2024北京顺义期末)已知cos α＝－，且角α的范围是________．
从①(0，)；②(，π)；③(π，)；④(，2π)这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：
(1) 求sin α，tan α的值；
(2) 化简求值：.
14 (2024上海月考)化简：
(1) sin (－α－5π)sin (－α)－cos (2 024π＋α)·cos (α－2π)；
(2) (n∈Z).
15 证明：＝.
5．3.2　诱导公式(2)
一、 单项选择题
1 设cos 70°＝a，则cos 340°的值是(　　)
A. －a B. a
C. － D.
2 已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点A(sin ，cos )，则cos 的值为(　　)
A. － B. C. D. －
3 (2025泉州期末)已知α∈，sin ＝，则tan 的值为(　　)
A. － B. － C. D.
4 (2025宁波期末)设A，B，C分别是△ABC的三个内角，则下列结论中正确的是(　　)
A. cos (A＋B)＝cos C
B. cos ＝cos
C. sin (A＋B)＝sin C
D. sin ＝sin
5 已知cos ＝，则sin cos (－α)的值为(　　)
A. － B.
C. － D.
6 (2025菏泽期末)已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(5，－12).若将角α的终边逆时针旋转得到角β，则cos β的值为(　　)
A. B. C. － D. －
7 (2024荆州月考)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为α，且满足＝，则tan α的值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
8 已知sin ＝－，且A. sin ＝－
B. cos ＝－
C. tan ＝
D. cos ＝
9 (2024哈尔滨期末)已知sin (π＋α)＝－，则下列等式中正确的是(　　)
A. sin (5π－α)＝ B. sin ＝
C. cos ＝－ D. tan ＝
三、 填空题
10 已知α为第二象限角，cos －2sin (π＋α)＝，则cos α＝________．
11 (2024山东实验中学月考)若tan α＝2，则的值为________．
12 (2024徐州铜山区棠张中学月考)已知cos (75°＋α)＝，α是第三象限角，则sin (195°－α)＋cos (105°－α)＝________．
四、 解答题
13 (2024淮安月考)已知sin (π－α)＝－，求sin ，tan 的值．
14 (2024荆州期末)已知f(α)＝.
(1) 化简f(α)；
(2) 若α是第三象限角，且f＝－，求tan α的值．
15 (2025桓台一中阶段性诊断)已知f(α)＝＋cos (2π－α).
(1) 化简f(α)；
(2) 若f(α)＝ ，求 ＋的值．
5．3.3　诱导公式(3)
一、 单项选择题
1 (2025牡丹江期末)已知sin ＝，且α∈，则cos 的值为(　　)
A. － B. －
C. D.
2 计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°的值为(　　)
A．89 B. 90
C. D. 45
3 (2025成都十二中月考)化简的结果是(　　)
A. sin 2＋cos 2 B. sin 2－cos 2
C. cos 2－sin 2 D. －sin 2－cos 2
4 若sin x＋sin ＝，则tan x＋的值为(　　)
A. －2 B. 2
C. － D.
5 已知cos (－x)＋sin (π－x)＝，则sin x·sin 的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
6 (2025无锡期末)已知tan α＝2，则的值为(　　)
A. －4 B. 0 C. D. 4
7 (2025昆明月考)十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值称为黄金分割比．黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).由此我们可得sin 162°的值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
8 (2024苏州吴江中学质量检测)若cos ·sin >0，则角α的终边可能在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
9 已知函数f(x)＝cos ，则下列等式恒成立的是(　　)
A. f(－x)＝f(x)
B. f(－x)＝－f(x)
C. f(2kπ＋x)＝f(x)(k∈Z)
D. f(2kπ－x)＝(－1)k f(x)(k∈Z)
三、 填空题
10 (2025淮南二中月考)若P(－4，3)是角α终边上的一点，则的值为________．
11 已知函数f(x)＝x3＋＋1，若f＝，则f＝________．
12 已知cos (－α)＝，则cos ＋cos2(＋α)＝________．
四、解答题
13 (2025湘潭期末)已知＝2，求：
(1) tan (3π－α)的值；
(2) sin2α－sinαcos α的值．
14 (2024长春期末)已知f(α)＝.
(1) 化简f(α)；
(2) 若θ是第三象限角，且f＝，求f的值．
15 已知角α的终边经过点P(m，2)，sin α＝，且α为第二象限角．
(1) 求实数m和tan α的值；
(2) 若tan β＝，求的值．
5．3　诱导 公 式
5.3.1　诱导公式(1)
1. A　cos 2 025°＝cos (45°＋5×360°＋180°)＝cos (45°＋180°)＝－cos 45°＝－.
2. D　sin ＝sin ＝sin ＝.
3. C　因为150°角是第二象限角，所以sin 150°>0，故A不符合题意；因为－角的终边在y轴正半轴上，所以sin ＝1>0，故B不符合题意；因为－200°角是第二象限角，所以cos (－200°)<0，故C符合题意；因为＝2π＋，所以角的终边在第一象限，所以tan >0，故D不符合题意．
4. A　cos (－300°)＝cos 60°＝，sin ＝sin (2π＋)＝sin ＝sin ＝，故cos (－300°)·sin ＝×＝.
5. B　由题意，得a＝cos 225°＝－cos 45°＝－，b＝sin 120°＝cos 30°＝，c＝－sin 750°＝－sin 30°＝－，所以b>c>a.
6. A　若角α，β的终边关于y轴对称，则β＝π－α＋2kπ，k∈Z，所以sin β＝sin (π－α＋2kπ)＝sin α；反过来，若sin α＝sin β，则β＝π－α＋2kπ或β＝α＋2kπ，即角α，β的终边关于y轴对称或重合，所以“角α，β的终边关于y轴对称”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件．
7. B　设扇形的半径为r，圆心角为θ.由扇形OAB的面积为2，弧长AB＝4，得×4×r＝2，解得r＝1，则θ＝＝4>π.如图，设C是AB的中点，所以圆O的周长为2πr＝2π，劣弧AB＝2π－4，所以∠AOB＝2π－4，∠AOC＝π－2，AB＝2AC＝2sin (π－2)＝2sin 2.
8. BD　对于A，当θ为第三象限角时，sin θ<0，tan θ>0，所以sin θtan θ<0，反之，当sin θtan θ<0时，则sin θ<0，tan θ>0或sin θ>0，tan θ<0.当sin θ<0，tan θ>0时，θ为第三象限角；当sin θ>0，tan θ<0时，θ为第二象限角，故A错误；对于B，若θ为第二象限角，即＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，则＋kπ<<＋kπ，k∈Z，所以为第一或第三象限角，故B正确；对于C，sin (π＋α)＝－sin α，故C错误；对于D，sin (－1 071°)sin 99°＋sin (－171°)sin (－261°)＝－sin 1 071°sin 99°＋sin 171°sin 261°＝－sin (1 080°－9°)·sin (180°－81°)＋sin (180°－9°)sin (180°＋81°)＝sin 9°sin 81°－sin 9°sin 81°＝0，故D正确．故选BD.
9. BD　当k＝2n(n∈Z)时，A＝＋＝＋＝2；当k＝2n＋1(n∈Z)时，A＝＋＝＋＝＋＝－2.故选BD.
10. －　tan ＝tan ＝tan [π－(－α)]＝－tan ＝－.
11. 　因为cos (75°＋α)＝，所以cos (α－105°)＝cos (105°－α)＝cos [180°－(75°＋α)]＝－cos (75°＋α)＝－.又α是第三象限角，即180°＋360°k≤α≤270°＋360°k，k∈Z，所以75°＋360°k≤α－105°≤165°＋360°k，k∈Z，由cos (α－105°)＝－<0，得90°＋360°k≤α－105°≤165°＋360°k，k∈Z，所以sin (α－105°)＝＝.
12. －1　＝＝＝＝－1.
13. (1) 因为cos α＝－<0，所以α为第二或第三象限角，则①④不能选择．
若选②：因为α∈(，π)，cos α＝－，
所以sin α＝＝＝，
tanα＝＝＝－.
若选③：因为α∈(π，)，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－＝－，
tanα＝＝＝.
(2) ＝＝－，
若选②：＝－＝－.
若选③：＝－＝.
14. (1) 原式＝sin (－α－π)(－sin α)－cos αcos [－(2π－α)]
＝sin [－(α＋π)](－sin α)－cos αcos (2π－α)
＝sin α(－sin α)－cos αcos α
＝－(sin2α＋cos2α)＝－1.
(2)当n＝2k，k∈Z时，
原式＝＝；
当n＝2k＋1，k∈Z时，
原式＝＝－.
综上，原式＝
15. 左边＝
＝＝
＝＝＝右边，故原等式成立．
5．3.2　诱导公式(2)
1. D　因为cos 70°＝a，所以cos 340°＝cos (270°＋70°)＝sin 70°＝.
2. D　由题意可得sin θ＝＝cos＝－cos ＝－，所以cos ＝cos ＝sin θ＝－.
3. D　由α∈，得α－∈，所以cos (α－)＝－＝－，所以sin ＝sin [(α－)＋]＝cos ＝－，cos ＝cos [(α－)＋]＝－sin ＝－，所以tan ＝＝.
4. C　对于A，cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，故A错误；对于B，cos ＝cos ＝cos ＝sin ，故B错误；对于C，sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，故C正确；对于D，sin ＝sin ＝sin (－)＝cos ，故D错误．
5. A　因为sin (＋α)＝sin [π－(－α)]＝sin (－α)，cos (－α)＝cos [＋(－α)]＝－sin (－α)，所以sin (＋α)cos (－α)＝－sin2(－α)＝cos2(－α)－1＝－1＝－，即sin(＋α)cos (－α)＝－.
6. A　将角α的终边逆时针旋转得到角β，则β＝α＋，所以cos β＝cos ＝－sin α.因为角α的终边经过点P(5，－12)，点P(5，－12)到原点的距离r＝＝13，所以sin α＝－，所以cos β＝.
7. A　由题意，得＝＝＝，所以－8tan α＋8＝－2tan α，解得tan α＝.
8. BCD　由9. AC　由sin (π＋α)＝－sin α＝－，得sin α＝，所以cos α＝±＝±，所以sin(5π－α)＝sin α＝，故A正确；sin ＝cos α＝±，故B错误；cos ＝－sin α＝－，故C正确；tan ＝＝＝±，故D错误．故选AC.
10. －　因为cos －2sin (π＋α)＝sin α＋2sin α＝3sin α＝，所以sin α＝.因为α为第二象限角，所以cos α＝－＝－.
11. －3　由tan α＝2，得＝＝－＝－＝－3.
12. －　因为cos (75°＋α)＝，所以sin (195°－α)＋cos (105°－α)＝sin [270°－(75°＋α)]＋cos [180°－(75°＋α)]＝－cos (75°＋α)－cos (75°＋α)＝－2×＝－.
13. 因为sin (π－α)＝sin α＝－，
所以cos α＝±＝±＝±.
当cosα＝时，sin ＝－cos α＝－，
tan α＝＝－，所以tan ＝－＝2；
当cos α＝－时，sin ＝－cos α＝，
tan α＝＝，所以tan ＝－＝－2.
综上，sin ＝－，tan ＝2或sin (－α)＝，tan ＝－2.
14. (1) f(α)＝＝＝cos α.
(2) 由(1)可得f(－α)＝sin α＝－，
若α是第三象限角，
则cos α＝－＝－，
所以tanα＝＝.
15. (1) f(α)＝＋cos (2π－α)
＝＋cos α＝sin α＋cos α，
所以f(α)＝sin α＋cos α.
(2) 因为f(α)＝，
所以sin α＋cos α＝，
两边平方，得(sin α＋cos α)2＝，
所以sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝，
所以1＋2sin αcos α＝，
所以sin αcos α＝－，
所以＋＝＝＝－.
5．3.3　诱导公式(3)
1. D　cos ＝cos ＝sin (＋α)＝.
2. C　原式＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋sin2(90°－44°)＋…＋sin2(90°－3°)＋sin2(90°－2°)＋sin2(90°－1°)＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋(sin23°＋cos23°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＝44＋＝.
3. A　因为<2<，所以sin 2>－cos 2>0，所以sin 2＋cos 2>0，所以＝＝＝|sin2＋cos 2|＝sin 2＋cos 2.
4. A　由sin x＋sin ＝，得sin x－cos x＝，所以1－2sin x cos x＝2，所以sin x cos x＝－，所以tan x＋＝tan x＋＝＋＝＝＝－2.
5. D　由cos (－x)＋sin (π－x)＝，得cos x＋sin x＝，两边平方得1＋2sin x cos x＝，解得sin x cos x＝－，所以sin x·sin (＋x)＝sin x cos x＝－.
6. A　因为tan α＝2，所以＝＝＝＝＝－4.
7. A　如图，在△ABC中，A＝36°，AB＝AC，D为BC的中点，则∠BAD＝18°，＝，所以sin ∠BAD＝＝＝×＝＝sin 18°，所以sin 162°＝sin (180°－18°)＝sin 18°＝.
8. AC　因为cos ·sin >0，所以sin α·cos α>0，所以角α的终边可能在第一象限或第三象限．故选AC.
9. AD　因为f(－x)＝cos ＝cos ＝f(x)，故A正确，B错误；f(2kπ＋x)＝cos ＝cos ，当k为奇数时，cos ＝－cos ，故C错误；f(2kπ－x)＝cos ＝cos ，当k为奇数时，cos (kπ－)＝－cos ；当k为偶数时，cos ＝cos ，所以f(2kπ－x)＝(－1)k f(x)(k∈Z)，故D正确. 故选AD.
10. －　由题意，得点P(－4，3)到原点的距离是＝5，所以sin α＝，所以＝＝＝－＝－.
11. 　因为函数f(x)＝x3＋＋1，所以f(－x)＋f(x)＝(－x)3＋x3＋＋＋2＝＋2＝1.又因为cos ＝cos ＝cos (＋－α)＝－sin (－α)，所以f＋f(cos (α－))＝f＋f＝1, 则f(cos (α－))＝1－f＝1－＝.
12. 　 因为cos ＝，所以cos ＋cos2＝cos[π－(－α)]＋cos2＝－cos＋cos2[－(－α)]＝－＋sin2(－α)＝－＋1－cos2＝－＋＝.
13. 由＝＝＝＝2，得tan α＝.
(1) tan (3π－α)＝－tan α＝－.
(2) sin2α－sinαcos α＝＝＝＝－.
14. (1) f(α)＝＝－cos α.
(2) 因为f(α)＝－cos α，f(θ＋)＝，
所以cos (θ＋)＝－.
又因为θ是第三象限角，所以θ＋为第三象限角，
所以sin (θ＋)＝－＝－，
故f(θ－)＝－cos(θ－)＝－cos (－θ)＝－cos [－(θ＋)]＝－sin (θ＋)＝.
15. (1) 由三角函数定义可知sin α＝＝，
解得m＝±1.
因为α为第二象限角，所以m＝－1，
所以tan α＝＝＝－2.
(2) 由(1)知，tan α＝－2，
所以原式＝－
＝－＝－＝.