5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

5．4.2　正弦函数、余弦函数的性质(1)
一、 单项选择题
1 (2025白城期末)y＝2sin 的最小正周期为(　　)
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
2 已知f(x)＝sin (πx－π)－1，则下列命题中正确的是(　　)
A. f(x)是周期为1的奇函数
B. f(x)是周期为2的偶函数
C. f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D. f(x)是周期为2的非奇非偶函数
3 已知函数f(x)是周期函数，最小正周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝.若x∈[－100，110]，则满足f(x)≥1的所有x取值的和为(　　)
A. 325 B. 425 C. 525 D. 625
4 函数y＝cos (sin x)的最小正周期是(　　)
A. B. π C. 2π D. 4π
5 (2024淮北期中)函数f(x)＝的大致图象为(　　)
A B C D
6 已知f(x)是周期为2π的偶函数，且当0≤x≤π时，f(x)＝sin x，则f的值为(　　)
A. 1 B. 0
C. －1 D.
7 (2024菏泽单县一中月考)设函数f(x)＝sin 2x＋sin x，则f(x)为(　　)
A. 周期函数，最小正周期为
B. 周期函数，最小正周期为π
C. 周期函数，最小正周期为2π
D. 非周期函数
二、 多项选择题
8 健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值. 记某人的血压满足函数式p(t)＝a＋b sin ωt，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，其函数图象如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A. ω＝80π
B. 收缩压为120mmHg
C. 舒张压为70mmHg
D. 每分钟心跳80次
9 下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(　　)
A. y＝sin ＋1
B. y＝|cos |
C. y＝sin |x|
D. y＝cos
三、 填空题
10 (2024云南期末)若函数f(x)＝3cos (ax－)的最小正周期为π，则常数a的值为________．
11 函数f(x)＝2cos －1的最小正周期不大于2，若k为正整数，则k的最小值为________．
12 写出一个最小正周期为1的奇函数f(x)＝________．
四、 解答题
13 (2024上海月考)求下列函数的最小正周期：
(1) y＝cos ；
(2) y＝2cos .
14 电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数解析式是I＝A sin ωt，t∈[0，＋∞)，其中ω＝10π rad/s，A＝5.
(1) 求电流I变化的周期；
(2) 当t＝0，，，，时，求电流I.
15 已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数．
(1) 求f(4)的值；
(2) 若当－25．4.2　正弦函数、余弦函数的性质(2)
一、 单项选择题
1 (2024宁德期末)设a＝50.2，b＝sin 2，c＝log50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. a>b>c B. b>a>c
C. b>c>a D. c>a>b
2 (2024怀化期中)下列函数中，在区间上单调递增，周期为π且是奇函数的是(　　)
A. y＝cos B. y＝sin 2x
C. y＝tan x D. y＝sin
3 (2024常州西夏墅高级中学学情调研)在△ABC中，“C>”是“sin C>”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4 已知函数f(x)＝sin (3x＋φ)(0<φ<2π)在区间上单调递增，则φ的值为(　　)
A. B. C. D. π
5 若函数y＝cos 2x与函数y＝sin (x＋φ)在区间上的单调性相同，则φ的一个值是(　　)
A. B. C. D.
6 已知ω>0，函数f(x)＝sin 在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D. (0，2]
7 (2025天津期末)已知点P(，1)在锐角φ的终边上，若函数f(x)＝sin (ωx－φ)(ω>0)在区间上存在最值，且在区间上单调，则ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
8 下列不等式中，成立的是(　　)
A. sin ＜sin
B. sin ＜sin
C. cos ＜cos
D. cos (－1 220°)＜cos 217°
9 (2024大理期末)设函数f(x)＝2sin ，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)的图象关于直线x＝对称
C. f(x)的一个零点为x＝－
D. f(x)的最大值为1
三、 填空题
10 已知函数y＝sin (2x＋φ)(－<φ<)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
11 函数f(x)＝2cos x－1，x∈的值域是________．
12 函数f(x)＝3sin (2x－)的减区间是________．
四、 解答题
13 已知f(x)＝cos2x＋a sinx＋1.
(1) 若a＝，求f(x)在区间[，]上的值域；
(2) 若a＝，求f(x)的最大值．
14 (2025山东实验中学月考)已知f(x)＝sin .求：
(1) 函数f(x)的最小正周期：
(2) 函数f(x)在区间上的单调区间．
15 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1) 当x∈[－π，0]时，求函数f(x)的解析式；
(2) 画出函数f(x)在区间[－π，π]上的函数简图；
(3) 当f(x)≥时，求x的取值范围．
5．4.2　正弦函数、余弦函数的性质(3)
一、 单项选择题
1 (2024上海期中)函数f(x)＝2cos 是(　　)
A. 最小正周期为2π的奇函数
B. 最小正周期为2π的偶函数
C. 最小正周期为π的奇函数
D. 最小正周期为π的偶函数
2 (2024阜阳期中)函数f(x)＝的定义域为(　　)
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C. (k∈Z)
D. (k∈Z)
3 (2024淮南二中月考)设函数f(x)＝cos (x＋)，则下列说法中错误的是(　　)
A. f(x)的一个周期为－2π
B. f(x)在区间上单调递减
C. f(x＋π)的一个零点为x＝
D. y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
4 (2024深圳期末)若函数f(x)＝cos (ωx＋)(ω>0)在区间(0，)上有最小值，没有最大值，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5 已知ω>0，在函数y＝sin ωx与y＝cos ωx图象的交点中，距离最短的两个交点间的距离为，则ω的值为(　　)
A. 1 B. 2
C. π D. 2π
6 已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(－1)＝－1，当a，b∈[－1，1]且a＋b≠0时，>0，已知θ∈，若f(x)<4＋3sin θ－2cos2θ对任意x∈[－1，1]恒成立，则θ的取值范围是(　　)
A． B.
C. D.
7 (2025德州开学考试)函数f(x)＝sin (2ωx－)(ω>0)在区间上单调递增，且在区间[0，π]上恰有三个零点，则ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
8 下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是(　　)
A. y＝sin
B. y＝cos
C. y＝|sin x|
D. y＝|cos x|
9 (2025广州期末)设函数f(x)＝cos ，则下列说法中正确的是(　　)
A. 函数f(x)的值域为R
B. y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称
C. 函数f(x)的一个零点为x＝
D. 函数f(x)在区间上单调递减
三、 填空题
10 (2024上海徐汇期中)函数y＝＋lg 的定义域为________．
11 (2024吴忠期末)函数f(x)＝－2cos2x－3cosx＋1的最小值为________．
12 y＝cos x的定义域是____________，增区间是________________．
四、 解答题
13 已知函数f(x)＝2a sin ＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a，b的值．
14 (2025石家庄期末)已知函数f(x)＝sin (x－)＋1，x∈R.
(1) 求函数f(x)的单调增区间；
(2) 当x∈时，求函数f(x)的值域．
15 (2024广州期末)设函数f(x)＝sin2x＋cosx＋a.
(1) 若1≤f(x)≤对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2) 若关于x的方程f(x)＝0在区间[－，]上有实数解，求实数a的取值范围．
5．4.2　正弦函数、余弦函数的性质(1)
1. D　函数的最小正周期T＝＝4π.
2. D　因为f(x)＝sin (πx－π)－1，所以最小正周期为T＝＝2.f(x)＝sin (πx－π)－1＝－sin (π－πx)－1＝－sin πx－1，为非奇非偶函数，故选D.
3. C　因为x∈[－1，1]时，f(x)＝，所以若f(x)≥1，则≥1.又因为≤1，所以＝1，解得x＝±1.因为函数f(x)的最小正周期为2，所以当x∈[－100，110]时，满足f(x)≥1的所有x的取值为－99，－97，…，97，99，101，…，109，所以所有x取值的和为101＋103＋…＋109＝525.
4. B　因为cos [sin (x＋π)]＝cos (－sin x)＝cos (sin x)，cos ＝cos (cos x)≠cos (sin x)，所以T＝π.
5. C　由f(x)＝可知cos x≠0，即x≠＋kπ，k∈Z，显然该函数定义域关于原点对称．又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除B，D；又f＝＝1>0，排除A，故C正确．
6. A　f＝f＝f＝sin ＝1.
7. C　f＝sin [2]＋sin ＝cos 2x＋sin ≠f(x)，故A错误；f(x＋π)＝sin [2(x＋π)]＋sin (x＋π)＝sin 2x－sin x≠f(x)，故B错误；f(x＋2π)＝sin [2(x＋2π)]＋sin (x＋2π)＝sin 2x＋sin x＝f(x)，故C正确；D错误．
8. BCD　对于A，由题可得T＝＝，所以ω＝160π，故A错误；对于B，由题可得收缩压为函数p(t)＝a＋b sin ωt的最大值，即为120 mmHg，故B正确；对于C，由题可得舒张压为函数p(t)＝a＋b sin ωt的最小值，即为70 mmHg，故C正确；对于D，由题可得T＝，即为每分钟心跳80次，故D正确．故选BCD.
9. AB　由y＝sin ＋1＝cos 2x＋1，得该函数为偶函数，且最小正周期为T＝＝π，故A正确；y＝|cos (x＋)|＝|－sin x|＝|sin x|，因为|sin (－x)|＝|－sin x|＝|sin x|，所以该函数为偶函数．又y＝|sin x|的最小正周期为y＝sin x最小正周期的一半，则T＝＝π，故B正确；因为sin |－x|＝sin |x|，所以y＝sin |x|是偶函数．又y＝sin |x|＝则该函数的最小正周期T≠π，故C错误；y＝cos 为非奇非偶函数，故D错误．故选AB.
10. ±2　因为函数f(x)＝3cos 的最小正周期为π，所以＝π，解得a＝±2.
11. 13　因为函数f(x)＝2cos －1的最小正周期不大于2，所以T＝＝≤2，所以k≥4π，从而正整数k的最小值为13.
12. sin 2πx(答案不唯一)　可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)＝A sin ωx(A≠0，ω>0)，满足定义域为R，且f(－x)＝－A sin ωx＝－f(x)，故f(x)是奇函数，根据最小正周期T＝＝1可得ω＝2π，故函数可以是f(x)＝A sin 2πx(A≠0)中任一个，可取f(x)＝sin 2πx.
13. (1) 由题意，得y＝cos 的最小正周期T＝＝6π.
(2) 由题意，得y＝2cos 的最小正周期T＝＝π.
14. (1) 由题意，得I＝5sin 10πt，
故电流I变化的周期T＝＝＝.
(2) 当t＝0时，I＝5sin 0＝0；
当t＝时，I＝5sin ()＝5sin ；
当t＝时，I＝5sin ()＝5sin ；
当t＝时，I＝5sin ()＝5sin ；
当t＝时，I＝5sin ＝5sin .
15. (1) 因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0.
又函数f(x)是周期为4的周期函数，
所以f(x＋4)＝f(x)恒成立．
令x＝0，可得f(4)＝f(0)＝0.
(2) 当2因为当－2所以f(x－4)＝sin ＋1＝sin ＋1.
因为f(x)是周期为4的周期函数，
所以f(x)＝f(x－4)＝sin ＋1，2又f(－2)＝－f(2)，且f(－2)＝f(2－4)＝f(2)，
所以f(2)＝0.
综上，f(x)＝
5．4.2　正弦函数、余弦函数的性质(2)
1. A　a＝50.2>50＝1，0b>c.
2. A　对于A，y＝cos ＝－sin 2x是周期为π的奇函数，且在区间上单调递增，故A正确；对于B，y＝sin 2x在区间上单调递减，故B错误；对于C，y＝tan x在x＝处没有意义，故C错误；对于D，y＝sin ＝cos 2x是偶函数，故D错误．
3. B　在△ABC中，C∈(0，π)，由sin C>，得”是“sin C>”的必要不充分条件．
4. D　当x∈[，]时，3x＋φ∈[＋φ，＋φ]，因为函数f(x)＝sin (3x＋φ)(0<φ<2π)在区间[，]上单调递增，所以k∈Z，即2kπ－π≤φ≤2kπ－π，k∈Z，即φ＝2kπ－π，k∈Z.又0<φ<2π，所以φ＝π.
5. D　函数y＝cos 2x在区间上单调递减．将各选项的值代入函数y＝sin (x＋φ)，得当φ＝时，满足题意．
6. B　由＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋≤x≤＋，k∈Z，所以＋≤，＋≥π，k∈Z，解得≤ω≤，k∈Z，所以≤，解得k≤.又ω>0，所以k＝0，故ω∈.
7. C　因为点P(，1)在锐角φ的终边上，所以r＝OP＝＝2，则sin φ＝，所以φ＝，所以f(x)＝sin (ω>0).当00，所以－<ωx－<－.因为函数f(x)在区间上存在最值，所以－>，解得ω>2.当0，所以k∈{0，1，2}．当k＝0时，0<ω≤；当k＝1时，1≤ω≤；当k＝2时，≤ω≤.又因为ω>2，所以ω的取值范围是.
8. AC　因为0<<<，且y＝sin x在区间上单调递增，所以sin －sin ，即sin >sin ，故A正确；因为sin ＝－sin ，sin ＝－ sin ，又y＝sin x在区间上单调递增，所以sin －sin ，即sin ＞sin ，故B错误；因为cos ＝cos ＝cos ，cos ＝cos (4π＋)＝cos ，又函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，所以cos 9. AC　T＝＝π，故A正确；f＝2sin ＝，所以直线x＝不是f(x)图象的对称轴，故B错误；f＝2sin 0＝0，所以x＝－是f(x)的一个零点，故C正确；因为振幅A＝2，所以f(x)的最大值为2，故D错误．故选AC.
10. －　因为y＝sin (2x＋φ)(－<φ<)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.因为－<φ<，所以当k＝0时，φ＝－.
11. [－2，－1]　因为函数f(x)＝2cos x－1在区间上单调递减，所以f(x)＝2cos x－1，x∈的值域是，即[－2，－1].
12. (k∈Z)　由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，可得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z).
13. (1) 由题意可知f(x)＝cos2x＋sinx＋1＝1－sin2x＋sinx＋1＝－sin2x＋sinx＋2，
令t＝sin x，当x∈[，]时，
由y＝sin x在区间(，)上单调递增，在区间(，)上单调递减，得t∈[，1].
令g(t)＝－t2＋t＋2＝－(t－)2＋，
由g(t)在区间(，)上单调递增，在区间(，1)上单调递减，
得f(x)min＝g()＝g(1)＝，f(x)max＝g()＝，
所以f(x)在区间[，]上的值域为[，].
(2) 由(1)可知，f(x)＝－sin2x＋sinx＋2，
令m＝sin x，则m∈[－1，1]，
令g(m)＝－m2＋m＋2＝－(m－)2＋，
因为g(m)在区间[－1，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，
所以f(x)max＝g()＝.
14. (1) 由题意，得f(x)的最小正周期为T＝＝＝π.
(2) 令－＋2kπ<2x＋<＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ又x∈，所以f(x)的单调增区间为；
令＋2kπ<2x＋<＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ又x∈，所以f(x)的单调减区间为.
综上，f(x)的单调增区间为，单调减区间为.
15. (1) 若x∈，则－x∈.
因为f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝sin (－x)＝－sin x.
若x∈，则π＋x∈.
因为f(x)是最小正周期为π的周期函数，
所以f(x)＝f(π＋x)＝sin (π＋x)＝－sin x，
所以当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.
(2) 函数f(x)在区间[－π，π]上的函数图象如图所示．
(3) 由x∈[0，π]，sin x≥，可得≤x≤.
因为函数f(x)的最小正周期为π，
所以x的取值范围是{x|kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z}．
5．4.2　正弦函数、余弦函数的性质(3)
1. C　因为f(x)＝2cos ＝－2sin 2x，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，且为奇函数．
2. B　由题意，得2sin －1≥0，即sin ≥，所以∈[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，则x∈[＋4k，＋4k](k∈Z).
3. B　对于A，f(x－2π)＝cos (x－2π＋)＝cos (x＋)＝f(x)，所以－2π是f(x)的一个周期，故A正确；对于B，当x∈时，x＋∈，由x＋∈，得x∈，由x＋∈，得x∈，结合余弦函数的单调性，可得函数f(x)＝cos 在区间上单调递减，在区间上单调递增，故B错误；对于C，f(x＋π)＝cos ＝－cos ，当x＝时，f(x＋π)＝－cos ＝0，所以x＝是f(x＋π)的一个零点，故C正确；对于D，易知f(x)＝cos 图象的对称轴方程为x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋kπ，k∈Z，当k＝3时，x＝－＋3π＝，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，故D正确．
4. D　当x∈(0，)时，ωx＋∈(，＋).由函数f(x)＝cos (ωx＋)在区间(0，)上有最小值，没有最大值，得π<＋≤2π，解得<ω≤，即ω的取值范围是(，].
5. C　由三角函数的图象可得出交点坐标为((2k1π＋)，)，(，－)，k1，k2都是整数．因为距离最短的两个交点间的距离为，所以这两个交点在同一个周期内，故()2＝＋，且ω>0，解得ω＝π.
6. A　设－1≤x10.因为x2＋(－x1)＝x2－x1>0，所以f(x2)＋f(－x1)>0，即f(x1)0，即(2sin θ＋1)(sin θ＋1)>0.又因为θ∈，所以2sin θ＋1>0，解得－<θ<.
7. D　由2kπ－≤2ωx－≤2kπ＋，k∈Z，ω>0，得－≤x≤＋，所以函数f(x)＝sin (2ωx－)(ω>0)的单调增区间为，k∈Z.因为函数f(x)＝sin 在区间上单调递增，所以 ，所以≤，解得ω≤.由2ωx－＝kπ，k∈Z，ω>0，可得x＝＋，k∈Z，所以函数f(x)＝sin (ω>0)的零点的集合为{x|x＝＋，k∈Z}，k∈Z.因为函数f(x)＝sin 在区间[0，π]上恰有三个零点，所以解得≤ω<.综上，≤ω≤，即ω的取值范围为.
8. ABD　易知四个函数的周期都是π.y＝sin (2x＋)＝cos 2x在区间上单调递增，y＝cos (2x＋)＝－sin 2x在区间上单调递增，故A，B正确；画出y＝|sin x|与y＝|cos x|的图象(图略)，由图象可知C错误，D正确．故选ABD.
9. BCD　对于A，由余弦函数值域可知，函数f(x)的值域为[－1，1]，故A错误；对于B，因为f＝cos (－－)＝cos (－π)＝－1，为最小值，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，故B正确；对于C，因为f＝cos ＝cos ＝0，所以函数f(x)的一个零点为x＝，故C正确；对于D，由x∈，得x－∈(0，π).易知函数y＝cos x在区间(0，π)上单调递减，所以f(x)在区间上单调递减，故D正确．故选BCD.
10. ∪　由题意，得解得11. －4　因为f(x)＝－2cos2x－3cosx＋1＝－2(cos x＋)2＋，－1≤cos x≤1，所以当cos x＝1时，f(x)min＝－4，故函数f(x)的最小值为－4.
12. (k∈Z)　[2kπ，＋2kπ)(k∈Z)
由cos x>0，得－＋2kπ13. 因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，
所以－≤sin ≤1.
若a>0，则解得
若a<0，则解得
综上，或
14. (1) 由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋≤x≤＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2) 当x∈时，－≤x－≤，
所以－≤sin ≤1，
所以－≤f(x)≤＋1，
故函数f(x)的值域为.
15. (1) 由函数f(x)＝sin2x＋cosx＋a＝－cos2x＋cosx＋a＋1，
令t＝cos x∈[－1，1]，g(t)＝－t2＋t＋a＋1.
因为1≤f(x)≤对一切实数x恒成立，
即对任意的t∈[－1，1]，1≤g(t)≤恒成立．
又函数g(t)＝－t2＋t＋a＋1图象的开口向下，对称轴为直线t＝，
当t＝时，g(t)max＝a＋；当t＝－1时，g(t)min＝a－1，
则解得2≤a≤3，
所以实数a的取值范围是[2，3].
(2) 由x∈[－，]，令b＝cos x∈[0，1]，
若关于x的方程f(x)＝0在区间[－，]上有实数解，即h(b)＝－b2＋b＋a＋1＝0在区间[0，1]上有实数解，
即a＋1＝b2－b在b∈[0，1]上有实数解．
令m(b)＝b2－b，b∈[0，1]，由m(b)＝(b－)2－，
可知y＝m(b)在区间[0，]上单调递减，在区间[，1]单调递增，
当b＝时，m(b)min＝－；当t＝0或t＝1时，m(b)max＝0，
则－≤a＋1≤0，解得－≤a≤－1，
即实数a的取值范围是[－，－1].