5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)
一、 单项选择题
1 已知sin ＝，且<α<，则cos α的值为(　　)
A. B. C. D.
2 已知α，β为锐角，且4cos α＝5sin β＝3tan β，则cos (α－β)的值为(　　)
A. B. C. D.
3 在平面直角坐标系中，点P(x0，y0)在单位圆O上，设∠xOP＝α，且α∈.若sin (α＋)＝，则x0的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
4 (2024海南期末)已知α∈，且tan α＝－2，则cos 的值为(　　)
A. B.
C. － D. －
5 已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos (α－β)的值为(　　)
A. － B. －
C. D.
6 (2025河北示范性高中联考)已知角α的终边过点A(1，2)，则cos 的值为(　　)
A. B.
C. D.
7 (2025铜陵期末)已知α，β都是锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－，则cos β的值为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
8 满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　)
A. α＝，β＝ B. α＝，β＝
C. α＝，β＝ D. α＝，β＝
9 已知α，β∈，且sin α＝，sin (α＋β)＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. cos (α＋β)＝
B. cos (α＋β)＝－
C. cos β＝
D. cos β＝
三、 填空题
10 cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝________．
11 (2024九江月考)已知sin α＝－，α∈，则cos ＝________．
12 (2023佳木斯期末)已知sin ＝，θ∈，则cos θ＝________．
四、 解答题
13 已知sin ＝，α∈，求cos α的值．
14 若sin (π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin (＋φ)＝－，φ是第三象限角，求cos (θ－φ)的值．
15 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－2，1).
(1) 求sin (π＋α)的值；
(2) 若β∈且sin β＝，求cos (α－β)的值．
5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(2)
一、 单项选择题
1 (2025云南期末)cos 63°cos 53°＋sin 63°sin 53°等于(　　)
A. cos 10° B. cos 20°
C. cos 53° D. cos 63°
2 已知tan α＝3tan (α＋)，则sin (2α＋)的值为(　　)
A. －1 B. －
C. D.
3 (2024荆州月考)在平面直角坐标系中，角α与角β均以x轴非负半轴为始边．已知角α的终边上一点P的坐标为(－1，2)，角β的终边与角α的终边关于x轴对称，则tan 的值为(　　)
A. － B.
C. －3 D. 3
4 (2024长沙月考)已知sin (2α＋β)＝，cos αcos (α＋β)＝，则tan α＋tan (α＋β)的值为(　　)
A. B.
C. D.
5 (2024无锡月考)已知cos (α－β)＝－，tan αtan β＝3，则cos (α＋β)的值为(　　)
A. － B.
C. － D.
6 (2025邯郸期末)已知sin ＝－，且0A. B.
C. － D.
7 (2024雅安月考)若tan (α－2β)＝－2，tan (2α－β)＝3，则tan (α＋β)的值为(　　)
A. B. －1
C. － D.
二、 多项选择题
8 (2024佛山南海外国语高级中学月考)已知sin α＝，α∈，则下列结论中正确的是(　　)
A. cos α＝－
B. tan α＝－
C. cos ＝－
D. cos ＝
9 下列式子结果为的是(　　)
A. tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°
B. 2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)
C.
D.
三、 填空题
10 化简tan 10°＋tan 20°＋2tan 30°＋tan 10°·tan 20°tan 30°＝________．
11 (2024南昌月考)在△ABC中，若sin A sin B12 若α，β都是锐角，且cos α＝，sin (α－β)＝，则cos (2α－β)＝________，β＝________．
四、 解答题
13 (2025广州期末)
(1) 化简：f(α)＝；
(2) 已知sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝，β是第三象限角，求cos 的值．
14 已知＝－3.
(1) 求tan α的值；
(2) 若α，β∈，且cos β＝，求角α＋β的值．
15 如图，在平面直角坐标系中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.
(1) 求tan (α＋β)的值；
(2) 求α＋2β的值．
5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(3)
一、 单项选择题
1 (2025昆明期末)已知tan α＝2，则cos 2α的值为(　　)
A. － B. C. － D.
2 (2025九江一模)已知角α的终边在直线2x－y＝0上，则tan 2α的值为(　　)
A. － B. C. － D.
3 (2024湖南期中)已知角α的终边不在坐标轴上，且2sin 2α＝sin α，则cos 2α的值为(　　)
A. － B. C. －或1 D. －
4 (2025邢台期末)“cos 2α＝－”是“cos α＝”的(　　)
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5 已知θ为钝角，cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ，则tan2θ的值为(　　)
A. － B. C. － D. －
6 (2024哈尔滨月考)已知α∈，且3cos 2α＋sin α＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin ＝－
B. cos ＝－
C. sin (π－α)＝
D. cos (π－α)＝－
7 若cos α≠0，2(sin 2α＋cos α)＝1＋cos 2α，则tan 2α的值为(　　)
A. － B. － C. D.
二、 多项选择题
8 (2025浙江强基联盟期末)下列各式中，计算结果为的是(　　)
A. 2sin 30°cos 30°
B. 2cos230°－1
C．sin275°－cos275°
D．
9 (2025阜阳月考)若α为锐角，且sin2α＋sin(－2α)＝－，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin2α＝ B．sin 2α＝
C. cos 2α＝± D. tan α＝
三、 填空题
10 (2024上海期中)已知角x在第二象限，且sin ＝－，则tan 2x＝________．
11 cos 20°cos 40°cos 80°＝________．
12 已知0<α<，若tan ·tan α＝，则＝________．
四、 解答题
13 (2024上海月考)已知α∈，β∈，cos (α－β)＝，求sin (2α－2β)的值．
14 (1) 已知sin α＝，α∈，求sin 2α的值；
(2) 已知sin (π－α)＋sin (＋α)＝sin (α＋)，求sin αcos α＋cos2α的值．
15 (2024柳州期末)已知α是第二象限角，sin α＝.
(1) 求cos α和sin 的值；
(2) 求tan 2α的值．
5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(4)
一、 单项选择题
1 (2025扬州期末)已知sin ＝，则sin 的值为(　　)
A. － B. C. － D.
2 (2025广西开学考试)已知过原点的直线l的倾斜角为α，若点P(1，2)在直线l上，则cos 2α－2sin2α的值为(　　)
A． B. C. － D. －
3 (2025阜阳期末)已知sin αcos β＝，cos α·sin β＝，则cos [2(α－β)]的值为(　　)
A. B. C. － D. －
4 (2025河南期末)已知sin 2α＝，α∈，则cos α的值为(　　)
A. B. C. D.
5 在平面直角坐标系中，已知P(3，4)为角α终边上一点，若cos (α＋β)＝，β∈(0，π)，则sin β的值为(　　)
A. B.
C. D.
6 已知0<α<β<，且tan α，tan β是方程x2－kx＋2＝0的两个不等实根，则下列结论中不正确的是(　　)
A. tan α＋tan β＝k B. tan (α＋β)＝－k
C. k>2 D. k＋tan α>3
7 (2024宜宾月考)已知角α，β满足＝－5，sin (α＋β)＝，则sin (α－β)的值为(　　)
A. B. 　 C. D.
二、 多项选择题
8 已知θ∈，且tan θ＝m，则下列结论中正确的有(　　)
A. cos θ＝
B. tan (π－θ)＝m
C. tan ＝
D. tan 2θ＝
9 (2025吉林期末)下列结论中，正确的是(　　)
A. sin 15°cos 15°＝
B. 若sin α＝－，α是第四象限角，则cos (＋α)＝
C. 若角α的终边上有一点P(－12，5)，则cos α＝－
D. ＝
三、填空题
10 设α，β∈R，若tan α＝2，tan (2α＋β)＝3，则tan β 的值为________．
11 (2024滕州一中月考)已知cos ＝－，则sin ＝________．
12 若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝，则sin (α－β)的值为________．
四、 解答题
13 (2025重庆长寿中学期末)
(1) 已知sin ＝，求sin 的值；
(2) 已知sin α＝，求的值．
14 已知α，β为锐角，cos β＝，cos (α＋β)＝－.
(1) 求cos 2α的值；
(2) 求tan (α－β)的值．
15 (2023晋中期末)已知sin α＝，cos (β－α)＝，且α∈，β∈.
(1) 求cos 2α，sin 2α的值；
(2) 求α＋β的大小．
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)
1. A　因为<α<，所以<α＋<π，cos (α＋)＝－＝－，则cosα＝cos [(α＋)－]＝cos (α＋)cos ＋sin (α＋)sin ＝(－＋)×＝.
2. B　由5sin β＝3tan β且β是锐角，得sin β>0，cos β>0，5sin β＝，则cos β＝，所以sin β＝＝，故4cos α＝5sin β＝4，则cos α＝.由α是锐角，得sin α>0，故sin α＝＝，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
3. B　因为α∈，所以α＋∈.又sin (α＋)＝，所以cos ＝－，则x0＝cos α＝cos ＝cos (α＋)cos ＋sin (α＋)sin ＝－×＋×＝－.
4. A　因为α∈(，π)，且tan α＝＝－2，sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝，cos α＝－，所以cos (α－)＝－cos α＋sin α＝－×(－)＋×()＝.
5. D　因为sin α－sin β＝1－，所以sin2α－2sinα·sin β＋sin2β＝①.因为cosα－cos β＝，所以cos2α－2cosαcos β＋cos2β＝②.由①②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋＋，所以－2cos (α－β)＝－，所以cos (α－β)＝.
6. B　由题意，得sin α＝，cos α＝，所以cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.
7. D　因为α，β都是锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－，所以α，β∈(0，)，α＋β∈(，π)，所以sin α＝＝，sin(α＋β)＝＝，所以cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝.
8. BD　因为cos αcos β＝－sin αsin β，所以cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos (α－β)＝.当α＝，β＝时，得α－β＝，cos (α－β)＝，故A错误；当α＝，β＝时，得α－β＝，cos (α－β)＝，故B正确；当α＝，β＝时，得α－β＝，cos (α－β)＝，故C错误；当α＝，β＝时，得α－β＝－，cos (α－β)＝，故D正确．故选BD.
9. BD　因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π).又因为sin α＝，sin (α＋β)＝，且>，所以sin α>sin (α＋β)，由图象可知0<α<，<α＋β<π，故cos α＝＝，cos(α＋β)＝－＝－，cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝.故选BD.
10. 　原式＝cos (65°－20°)＝cos 45°＝.
11. 　由题意，得cos α＝，所以cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.
12. 　因为θ∈，所以θ＋∈(，).又sin ＝，所以cos ＝－，所以cos θ＝cos ＝－×＋×＝.
13. 因为α∈，所以＋α∈，
所以cos ＝－＝－，
所以cosα＝cos ＝cos (＋α)cos ＋sin sin ＝－×＋×＝.
14. 因为sin (π＋θ)＝－sin θ＝－，所以sin θ＝.
又θ是第二象限角，所以cos θ＝－.
因为sin ＝cos φ＝－，且φ是第三象限角，
所以sin φ＝－，
所以cos (θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝×＋×＝.
15. (1) 由角α的终边经过点P(－2，1)，
得sin α＝＝，
所以sin (π＋α)＝－sin α＝－.
(2) 由角α的终边经过点P(－2，1)，
得cos α＝＝－.
由β∈(0，)且sin β＝，得cos β＝，
所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－)×＋×＝－.
5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(2)
1. A　cos 63°cos 53°＋sin 63°sin 53°＝cos (63°－53°)＝cos 10°.
2. B　由题意，得tan α＝3tan ＝＝，解得tan α＝－，即α＝kπ＋(k∈Z)，所以sin ＝sin (2kπ＋)＝－sin ＝－.
3. C　由题意，得角β终边上一点的坐标为(－1，－2)，则tan β＝＝2，故tan (β＋)＝＝＝－3.
4. D　由题意，得sin (2α＋β)＝sin [α＋(α＋β)]＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)＝，两边同时除以cos αcos (α＋β)，得tan α＋tan (α＋β)＝÷＝.
5. B　由tan αtan β＝3，得sin αsin β＝3cos αcos β，则cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝4cos αcos β＝－，解得cos αcos β＝－，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－2cos αcos β＝.
6. C　由07. B　tan (α＋β)＝tan [(2α－β)－(α－2β)]＝＝＝－1.
8. ABC　因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，tan α＝＝＝－，所以cos ＝－×－×＝－，所以cos ＝－×＋×＝－.故选ABC.
9. ABC　对于A，因为tan (25°＋35°)＝＝，所以tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35°＝，故A正确；对于B，原式＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝，故B正确；对于C，原式＝＝tan 60°＝，故C正确；对于D，原式＝＝tan 30°＝，故D错误．故选ABC.
10. 　因为tan 30°＝tan (10°＋20°)＝，故tan 10°＋tan 20°＝tan 30°－tan 30°tan 10°tan 20°，所以tan 10°＋tan 20°＋2tan 30°＋tan 10°tan 20°tan 30°＝tan 30°－tan 30°tan 10°tan 20°＋2tan 30°＋tan 10°tan 20°tan 30°＝3tan 30°＝.
11. 钝角三角形　在△ABC中，由sin A sin B0，即cos (A＋B)>0.又0，所以△ABC的形状为钝角三角形．
12. 　　因为α，β都是锐角，且cos α＝，sin (α－β)＝>0，所以sin α＝，cos (α－β)＝，则cos (2α－β)＝cos [α＋(α－β)]＝cos αcos (α－β)－sin αsin (α－β)＝，cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝，所以 β＝.
13. (1) f(α)＝＝＝tan α.
(2) 由sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝，
得sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝，
所以sin [(α－β)－α]＝sin (－β)＝，所以sin β＝－.
因为β是第三象限角，
所以cos β＝－＝－＝－，
所以cos＝cos βcos －sin βsin ＝－×－×＝.
14. (1) 因为＝＝－3，
所以tan α＝－.
(2) 因为β∈，且cos β＝，
所以sin β＝－＝－，tanβ＝－，
则tan (α＋β)＝＝＝－1.
又α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.
15. 由题意，得cos α＝，cos β＝.
因为α，β均为锐角，
所以sin α＝＝，sinβ＝＝，
所以tanα＝7，tan β＝.
(1) tan (α＋β)＝＝＝－3.
(2) tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝＝＝－1，
因为α，β为锐角，所以0＜α＋2β＜，
所以α＋2β＝.
5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(3)
1. A　cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.
2. A　由题意，得在直线上任取一点(m，2m)(m≠0)，则tan α＝2，所以tan 2α＝＝＝－.
3. A　因为2sin 2α＝sin α，所以4sin αcos α＝sin α.因为角α的终边不在坐标轴上，所以sin α≠0，所以cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－.
4. A　因为cos 2α＝－，所以2cos2α－1＝－，解得cosα＝±，所以“cos 2α＝－”不能推出“cos α＝”，“cos α＝”能推出“cos 2α＝－”，故“cos 2α＝－”是“cos α＝”的必要不充分条件．
5. B　由cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ，得cos2θ－sin2θ－2sinθcos θ＝cos2θ，则sin2θ＋2sinθcos θ＝0，得＝0，即＝0，解得tanθ＝－2或tan θ＝0.又因为θ为钝角，所以tan θ<0，所以tan θ＝－2，故tan 2θ＝＝＝.
6. C　因为3cos 2α＋sin α＝1，所以3(1－2sin2α)＋sinα＝1，即6sin2α－sinα－2＝0，解得sin α＝－或sin α＝.因为α∈，所以sin α＝，cos α＝.对于A，sin ＝cos α＝，故A错误；对于B，cos (＋α)＝－sin α＝－，故B错误；对于C，sin (π－α)＝sin α＝，故C正确；对于D，cos (π－α)＝－cos α＝－，故D错误．
7. D　由2(sin 2α＋cos α)＝1＋cos 2α，得2cos2α＝4sinαcos α＋2cos α.因为cos α≠0，所以2cos α＝4sin α＋2，所以2cos α－4sin α＝2，所以cos α－sin α＝1，则cos (α＋φ)＝1，其中tan φ＝2，所以α＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－α，k∈Z，所以tan (2kπ－α)＝2，即tan α＝－2，故tan 2α＝＝.
8. ACD　对于A，2sin 30°cos 30°＝sin 60°＝，故A正确；对于B，2cos230°－1＝cos60°＝，故B错误；对于C，sin275°－cos275°＝－cos150°＝－cos (180°－30°)＝cos 30°＝，故C正确；对于D，＝tan (20°＋40°)＝tan 60°＝，故D正确．故选ACD.
9. ABD　由题意，得sin2α＋sin＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－2sin2α)＝3sin2α－1＝－，所以sin2α＝，故A正确；因为α为锐角，所以sinα，cos α>0，所以sin α＝，cos α＝＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故B正确；cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，故C错误；tanα＝＝＝，故D正确．故选ABD.
10. －　因为sin ＝－，所以cos x＝－.因为角x在第二象限，所以sin x＝＝，所以tanx＝＝×＝－，所以tan 2x＝＝＝－.
11. 　原式＝＝＝＝＝.
12. 　由tan tan α＝，得＝，所以tan2＝.因为0<α<，所以0<<，tan>0，则tan ＝，所以sin ＝，cos ＝，所以sin (＋)＝(sin ＋cos )＝，sin α＝2sin cos ＝，所以＝.
13. 因为α∈，β∈，所以α－β∈(0，π)，
所以sin (α－β)＝＝，
所以sin(2α－2β)＝2sin (α－β)cos (α－β)＝2××＝.
14. (1) 因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以sin2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
(2) 由sin (π－α)＋sin ＝sin ，
得sin α－cos α＝cos α，即sin α＝2cos α，则tan α＝2，
所以sin αcos α＋cos2α＝＝＝＝.
15. (1) 因为α是第二象限角，sin α＝，
所以cos α＝－＝－＝－，
所以sin(α＋)＝sin α＋cos α＝×＋×(－)＝.
(2) 因为sin α＝，cos α＝－，
所以tan α＝＝－2，
故tan 2α＝＝＝.
5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式(4)
1. A　令α＋＝t，则α＝t－，sin t＝，所以2α－＝2－＝2t－，所以sin ＝－cos 2t＝－(1－2sin2t)＝2sin2t－1＝2×2－1＝－，即sin＝－.
2. D　由题意，得点P(1，2)到原点的距离为，所以sin α＝，cos α＝，所以cos 2α－2sin2α＝cos2α－3sin2α＝－.
3. B　由题意，得sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝，所以cos [2(α－β)]＝1－2sin2(α－β)＝.
4. A　因为α∈，所以05. D　由P(3，4)为角α终边上一点，得sin α＝＝，cos α＝＝，α∈.又β∈(0，π)，则α＋β∈.又cos (α＋β)＝>0，所以α＋β∈，所以sin (α＋β)＝＝，所以sin β＝sin (α＋β－α)＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝×－×＝.
6. D　因为tan α，tan β是方程x2－kx＋2＝0的两个不等实根，所以tan α＋tan β＝k，tan α·tan β＝2，故A正确；tan (α＋β)＝＝＝－k，故B正确；由0<α<β<，得tan α，tan β均为正数，则tan α＋tan β＝k≥2＝2，当且仅当tan α＝tan β时取等号．由0<α<β<，得tan α2，故C正确；k＋tan α＝2tan α＋tan β≥2＝4，当且仅当2tan α＝tan β时取等号，故D错误．
7. B　由＝·＝－5，得sin αcos β＝－5cos αsin β.由sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－4cos αsin β＝，得cos αsin β＝－，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－6cos αsin β＝－6×(－)＝.
8. AD　对于A，由三角函数的定义及θ∈(－，)，得cos θ＝，故A正确；对于B，tan (π－θ)＝－tan θ＝－m，故B错误；对于C，tan ＝＝，故C错误；对于D，tan 2θ＝＝，故D正确．故选AD.
9. BCD　对于A，sin 15°cos 15°＝(2sin 15°cos 15°)＝sin 30°＝，故A错误；对于B，因为sin α＝－，α是第四象限角，所以cos α＝，所以cos ＝cos cos α－sin sin α＝，故B正确；对于C，若角α的终边上有一点P(－12，5)，则cos α＝＝－，故C正确；对于D，＝＝tan45°＝，故D正确．故选BCD.
10. －　因为tan α＝2，所以tan 2α＝＝－.又tan(2α＋β)＝3，所以tan β＝tan [(2α＋β)－2α]＝＝＝－.
11. 　由题意，得cos ＝2cos2－1＝2×2－1＝，所以sin＝sin (2x－＋)＝cos ＝.
12. －　因为tan β＝2tan α，所以＝，即cos αsin β＝2sin αcos β.又因为cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝－.
13. (1) 因为sin ＝，所以cos ＝±，
所以sin ＝sin ＝－cos (α＋)＝±.
(2) 因为sin α＝，所以cos α＝±，tan α＝±2，
所以＝
＝＝.
当tanα＝2时，原式＝－；
当tan α＝－2时，原式＝－.
综上，＝－或＝－.
14. (1) cos α＝cos [(α＋β)－β]＝cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β.
因为α，β为锐角，且cos β＝，cos (α＋β)＝－，
所以sin β＝＝，sin(α＋β)＝＝，
所以cosα＝－×＋×＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.
(2)由(1)可得cos β＝，sin β＝，cos α＝，sin α＝，
所以tan β＝2，tan α＝，
所以tan (α－β)＝＝＝－.
15. (1) 由题意，得cos 2α＝1－2sin2α＝.
因为α∈(0，)，所以2α∈(0，π)，所以sin2α>0，
所以sin 2α＝＝.
(2)由α∈(0，)，β∈(，π)，
得β－α∈(0，π)，α＋β∈(，)，
所以sin (β－α)＝＝，
则sin(α＋β)＝sin [2α＋(β－α)]＝sin 2αcos (β－α)＋cos 2αsin (β－α)＝×＋×＝.
因为α＋β∈(，)，所以α＋β＝.