5.5.2 简单的三角恒等变换 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

5．5.2　简单的三角恒等变换(1)
一、 单项选择题
1 (2024云南期末)已知sin 2α＝，则cos2的值为(　　)
A． B. C. D.
2 (2024湖南模拟)计算sin cos cos 的结果为(　　)
A. B. C. D.
3 (2025烟台期末)若cos ＝，则sin 的值为(　　)
A. － B. C. － D.
4 (2024漳州月考)若锐角θ满足cos 2θ－sin ＝0，则cos 的值为(　　)
A. － B. C. － D.
5 在△ABC中，若sin B sin C＝cos2，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
6 (2024杭州源清中学月考)已知cos ＝3cos ，则sin 2θ的值为(　　)
A. B. C. － D. －
7 著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比t＝≈0.618，现给出三倍角公式cos 3α＝4cos3α－3cosα，则t与sin 18°的关系式中正确的为(　　)
A. 2t＝3sin 18° B. t＝2sin 18°
C. t＝3sin 18° D. t＝4sin 18°
二、 多项选择题
8 已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos (α＋β)＝－，则下列结论中正确的是(　　)
A. cos α＝－
B. sin α－cos α＝
C. β－α＝
D. cos αcos β＝－
9 下列各式中，与tan α相等的是(　　)
A. B.
C. D.
三、 填空题
10 已知角θ的终边经过点P(－4，3)，则＝________．
11 (2024重庆西南大附中月考)已知P(3，4)是角α的终边上一点，则tan ＝________．
12 (2024郴州期末)若＝4，则sin 2α＝________．
四、 解答题
13 (2024三明月考)已知π<α<，sin α＝－，求下列各式的值：
(1) ；
(2) cos .
14 (2024北京延庆期中)已知sin α＝，α∈.求：
(1) sin 的值；
(2) tan α和tan 2α的值；
(3) cos 的值．
15 求证：＝－2cos (α＋β).
5．5.2　简单的三角恒等变换(2)
一、 单项选择题
1 (2024武汉月考)已知cos α＋sin α＝，则cos 的值为(　　)
A. B. C. － D. －
2 (2024河北期中)已知a＝，b＝(sin 20°＋cos 20°)，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. aC. c3 (2024连云港高级中学月考)函数y＝sin ·的最大值是(　　)
A. 1＋ B. 1－ C. D. 1
4 在△ABC中，如果cos (2B＋C)＋cos C<0，那么△ABC的形状为(　　)
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 不能确定
5 (2025合肥期末)已知sin α＋cos α＝，则sin 的值为(　　)
A. － B. C. D. －
6 (2024北京丰台期末)函数f(x)＝sin x·cos (x－)，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)是最小正周期为2π的奇函数
B. f(x)是最小正周期为2π的偶函数
C. f(x)是最小正周期为π的奇函数
D. f(x)是最小正周期为π的偶函数
7 设0<θ<，若(sin θ＋cos θ)2＋cos 2θ＝3，则tan θ的值为(　　)
A. 2－ B. －
C. 2－ D. 3－2
二、 多项选择题
8 (2025莆田期末)下列四个等式中，正确的是(　　)
A. tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝
B. ＝
C．cos2－sin2＝
D．－＝2
9 已知函数f(x)＝sin2x＋2sin(π－x)cos (－x)－cos2x，x∈R，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π
B. f(x)在区间(0，π)上有2个零点
C. f＝0
D. 直线x＝为f(x)图象的一条对称轴
三、 填空题
10 (2024广州期中)函数f(x)＝2sin (＋4x)＋sin 的最大值为________．
11 已知函数f(x)＝sin －cos (ωx－)(ω>0)的图象关于点对称，则f(x)的最小正周期可能是________．(写出一个即可)
12 我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”. 如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，若在Rt△ABF中，AF＝a，BF＝b，较小的锐角∠FAB＝α. 若(a＋b)2＝196，正方形ABCD的面积为100，则cos 2α＝________，sin －cos ＝________．
四、 解答题
13 (2024荆州期末)已知函数f(x)＝2cos x·(sin x－cos x).
(1) 求函数f(x)的最小正周期及单调减区间；
(2) 当x∈时，求函数f(x)的值域．
14 (2025福州期末)已知函数f(x)＝4sin (ωx－)cos ωx＋1(ω>0)的最小正周期为π.
(1) 若x∈，求f(x)的值域；
(2) 若f(x0)＝－，x0∈，求f(2x0＋)的值．
15 某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域(即△ABC区域)，地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角∠ACB＝，∠CBA为锐角，假设墙CA，CB的可利用长度(单位：m)足够长．
(1) 在△ABC中，若边BC上的高等于BC，求sin ∠CAB的值；
(2) 当AB的长度为6m时，求该活动区域面积的最大值．
5．5.2　简单的三角恒等变换(1)
1. B　因为sin 2α＝，所以cos2＝＝＝.
2. B　sin cos cos ＝cos ＝sin cos ＝×2＝.
3. A　sin ＝sin ＝cos [2(θ－)]＝2cos2－1＝－.
4. A　因为cos 2θ－sin (－θ)＝0，所以(cos2θ－sin2θ)－(cosθ＋sin θ)＝0，即[(cos θ－sin θ)－1](cos θ＋sin θ)＝0，解得cos θ－sin θ＝或cos θ＋sin θ＝0.又θ为锐角，所以cos θ－sin θ＝，则(cos θ－sin θ)2＝，即1－sin 2θ＝，解得sin 2θ＝，所以cos (＋2θ)＝－sin 2θ＝－.
5. B　由sin B sin C＝cos2，得sinB sin C＝，所以2sin B sin C＝1＋cos A，所以2sin B sin C＝1＋cos [π－(B＋C)]＝1－cos (B＋C)，所以2sin B sin C＝1－cos B cos C＋sin B sin C，所以cos B cos C＋sin B sin C＝1，所以cos (B－C)＝1.又因为－180°6. B　由cos ＝3cos ，得(cos θ＋sin θ)＝3×(cos θ－sin θ)，两边同时平方，得(cos θ＋sin θ)2＝(cos θ－sin θ)2，即(1＋sin 2θ)＝(1－sin 2θ)，解得sin 2θ＝.
7. B　由三倍角公式，得cos 54°＝4cos318°－3cos18°＝sin 36°＝2sin 18°cos 18°，化简，得4cos218°－3＝2sin18°，则4sin218°＋2sin18°－1＝0，解得sin 18°＝(负值舍去)，故t＝2sin 18°.
8. BC　因为≤α≤π，所以≤2α≤2π.又sin 2α＝>0，所以≤2α<π，≤α<，所以cos 2α＝－＝2cos2α－1，即cos2α＝，解得cosα＝，故A错误；(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝，又≤α<，所以sin α>cos α，所以sin α－cos α＝，故B正确；因为≤α<，π≤β≤，所以≤α＋β<2π.又cos (α＋β)＝－<0，所以≤α＋β<，所以sin (α＋β)＝－，所以cos (β－α)＝cos [(α＋β)－2α]＝－×＋×＝－.又因为≤α＋β<，－π<－2α≤－，所以<β－α<π，所以β－α＝，故C正确；由cos (α＋β)＝－，得cos αcos β－sin αsin β＝－，且cos (β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，故D错误．故选BC.
9. BC　对于A，＝＝tan，故A错误；对于B，＝＝tan α，故B正确；对于C，＝＝tanα，故C正确；对于D，＝＝，故D错误．故选BC.
10. 7　因为角θ的终边经过点P(－4，3)，所以tan θ＝－，所以＝＝＝7.
11. 　由题意，得sin α＝，cos α＝，所以tan ＝＝＝＝＝.
12. 　由＝4，得＝4，则tan α＝2，故sin 2α＝＝＝.
13. (1) 因为π<α<，sin α＝－，
所以cos α＝－＝－，tanα＝＝，
故＝
＝
＝＝＝－8.
(2) 由(1)可知cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝－cos αcos －sin αsin ＝×＋×＝.
14. (1) 因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以sin＝(sin α＋cos α)＝－.
(2) 由(1)得cos α＝－，所以tan α＝＝＝－，
所以tan 2α＝＝＝－.
(3)因为cos2＝
＝＝
＝＝，且α∈，
所以－∈，
所以cos ＝＝.
15. 右边＝
＝
＝＝＝左边．
5．5.2　简单的三角恒等变换(2)
1. B　由cos α＋sin α＝，得2cos ＝，所以cos ＝.
2. A　因为a＝＝sin 55°，b＝(sin 20°＋cos 20°)＝sin 65°，c＝＝＝tan 65°，且sin 55°3. C　y＝sin ＝sin2－sin·cos ＝－sin x＝－cos x－sin x＝－＝－sin ，所以函数的最大值为.
4. D　由题意，得cos (2B＋C)＋cos C＝cos [π＋(B－A)]＋cos [π－(B＋A)]＝－cos (B－A)－cos (B＋A)＝－cos B cos A－sin B sin A－cos B cos A＋sin B sin A＝－2cos B cos A<0，故cos B cos A>0，即A，B均为锐角，但C无法确定大小，故△ABC的形状不能确定．
5. A　由sin α＋cos α＝，得sin α＋cos α＝，即sin ＝，则cos ＝1－2sin2＝，所以sin＝－sin ＝－cos (2α＋)＝－.
6. D　由题意，得f(x)＝sin x cos (x－)＝sin2x＝(1－cos2x)，定义域为R，又f(－x)＝[1－cos 2(－x)]＝(1－cos 2x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A，C错误；函数f(x)的最小正周期为＝π，故B错误，D正确．
7. C　因为(sin θ＋cos θ)2＋cos 2θ＝3，所以1＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝3，即sin 2θ＋cos 2θ＝2，所以sin (2θ＋)＝1.又因为0<θ<，所以<2θ＋<，则2θ＋＝，解得θ＝，所以tan θ＝tan ＝tan (－)＝＝＝＝2－.
8. AB　对于A，因为tan 60°＝tan (25°＋35°)＝＝，所以tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝，故A正确；对于B，因为sin 45°＝2sin 22.5°cos 22.5°＝＝＝，所以＝，故B正确；对于C，cos2－sin2＝cos＝，故C错误；对于D，－＝＝＝＝＝4，故D错误．故选AB.
9. BCD　由题意，得f(x)＝sin2x＋2sinx cos x－cos2x＝sin2x－cos 2x＝2sin (2x－)，x∈R.对于A，f(x)的最小正周期为π，故A错误；对于B，令f(x)＝0，得2x－＝kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z.因为x∈(0，π)，所以当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝，所以f(x)在区间(0，π)上有2个零点，故B正确；对于C，由B可知f＝0，故C正确；对于D，当x＝时， f＝2sin (2×－)＝2，所以直线x＝为f(x)图象的一条对称轴，故D正确．故选BCD.
10. 　由题意，得f(x)＝2sin ＋sin (4x－)＝2sin －cos ＝2sin －cos ＝sin ，其中tan φ＝，易知当4x＋－φ＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋＋，k∈Z时，f(x)取到最大值.
11. (答案不唯一)　由题意，得f(x)＝2sin ，则－＝kπ，k∈Z，故ω＝6k＋4，k∈Z，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝，k∈Z且k≥0.当k＝0时，T＝，即f(x)的最小正周期T的可能取值为.
12. 　－　由题意，得b13. (1) 因为f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＝2sin x cos x－2cos2x＝sin2x－cos 2x－1＝2sin (2x－)－1，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即函数f(x)的单调减区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z).
(2) 因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，
则sin (2x－)∈[－，1]，
故f(x)＝2sin (2x－)－1∈[－2，1]，
即函数f(x)的值域为[－2，1].
14. (1) 由题意，得f(x)＝(2sin ωx－2cos ωx)cos ωx＋1＝2sin ωx cos ωx－2cos2ωx＋1
＝sin2ωx－cos 2ωx＝2sin .
因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
所以＝π，解得ω＝1，
所以f(x)＝2sin .
由x∈，得2x－∈，
所以sin ∈，
所以函数f(x)的值域是[－1，2].
(2) 由(1)得f(x)＝2sin ，
所以f(x0)＝2sin ＝－.
设2x0－＝t，则x0∈，t∈，
又sin t＝－<0，所以cos t＝－，
所以sin 2t＝2sin t cos t＝，cos 2t＝2cos2t－1＝，
所以f＝2sin4x0＝2sin ＝sin 2t＋cos 2t＝.
15. (1) 过点A作AD⊥BC交BC于点D.
设AD＝x，则CD＝x，BD＝BC＝3x.
在△ABC中，sin ∠CBA＝＝，
cos ∠CBA＝＝，
故sin ∠CAB＝sin (∠CBA＋∠ACB)＝(sin ∠CBA＋cos ∠CBA)＝×(＋)＝.
(2) 设∠CBA＝θ，
则BD＝6cos θ，CD＝AD＝6sin θ，
S△ABC＝×6sin θ×(6cos θ＋6sin θ)＝9(2sin θcos θ＋2sin2θ)＝9(sin2θ＋1－cos 2θ)＝9＋9sin .
因为θ∈，所以2θ－∈，
所以当2θ－＝，即θ＝时，该活动区域的面积取得最大值，最大值为(9＋9)m2.