5.7 三角函数的应用 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

5．7　三角函数的应用
5.7.1　三角函数的应用(1)
一、 单项选择题
1 简谐运动y＝4sin (5x－)的相位与初相分别是(　　)
A. 5x－，
B. 5x－，4
C. 5x－，－
D. 4，
2 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，当t∈[0，60]时，A，B两点间的距离为d(单位：cm)，则d表示成t(单位：s)的函数解析式为(　　)
A. d＝5sin B. d＝10sin
C. d＝5sin D. d＝10sin
3 如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)由关系式h＝2sin 确定，则下列结论中正确的是(　　)
A. 小球的最高点和最低点相距2 cm
B. 小球在t＝0 时的高度h＝1 cm
C. 每秒钟小球往复运动的次数为2π
D. 从t＝1 到t＝3，弹簧长度逐渐变长
4 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos (x＝1，2，3，…，12)来表示，其中A>0.已知6月份的月平均气温最高，为 28 ℃；12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温为(　　)
A. 21 ℃ B. 20.5 ℃
C. 20 ℃ D. 18.5 ℃
5 (2024石家庄月考)如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：m)(在水面下，则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t(单位：min)之间的关系为d＝4sin (2t－)＋2.某时刻t0(单位：min)时，盛水筒W在过点O(O为筒车的轴心)的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5 m，则再经过 min后，盛水筒W(　　)
A. 在水面下
B. 在水面上
C. 恰好开始入水
D. 恰好开始出水
6 一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式是s＝cos (t＋)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于(　　)
A. B. C. D.
7 (2025哈尔滨期末)随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等．如图，某地摩天轮最高点距离地面的高度为128 m，最低点距离地面的高度为8 m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，旋转一周的时间约为24 min.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面高度为h m，则下列说法中正确的是(　　)
A. 摩天轮的轮盘直径为60 m
B. h关于t的函数解析式为h＝60sin (t－)＋8
C. h关于t的函数解析式为h＝60cos (t＋)＋68
D. 在游客乘坐一周的过程中，游客有16 min时间距地面高度超过38 m
二、 多项选择题
8 如图为一简谐运动的图象，则下列判断中正确的是(　　)
A. 该质点的振动频率为 Hz
B. 该质点的振幅为5 cm
C. 该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D. 该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为0
9 如图，摩天轮的半径为50 m，摩天轮的中心O点距离地面的高度为55 m，摩天轮匀速逆时针旋转，每24 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则下列结论中正确的是(　　)
A. 经过12 min，点P首次到达最低点
B. 第16分钟和第32分钟点P距离地面一样高
C. 从第28分钟至第40分钟点P距离地面的高度一直在降低
D. 摩天轮在旋转一周的过程中，点P有8 min距离地面的高度不低于80 m
三、 填空题
10 弹簧振子以点O为平衡位置，在点B，C间做简谐振动，点B，C相距20 cm，某时刻振子处在点B，经0.5 s振子首次达到点C，则振子在5 s内通过的路程及5 s末相对平衡位置的位移大小分别为________cm，________cm.
11 电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数I＝A sin (ωt＋)(A>0，ω≠0)的图象如图所示，则当t＝ s时，电流强度是________A．
(第11题) (第12题)
12 如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin ，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________s.
四、 解答题
13 一个单摆如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为α rad，α与摆动时间t(单位：s)之间的函数解析式为α(t)＝sin .求：
(1) 最初(t＝0)时α的值；
(2) 单摆摆动的频率；
(3) 经过多长时间单摆完成5次完整摆动？
14 (2024绵阳期末)风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100 m，叶片长40 m．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5 s旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t s后离地面的距离为h m，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为h(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π).
(1) 求函数h(t)的解析式；
(2) 当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80 m的时长．
15 某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30 m，轮上最低点与地面的距离为2 m，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间T＝24 min.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12(可视为点)，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为 t min.
(1) 当t＝6时，求1号座舱与地面的距离；
(2) 记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H m，若在0≤t≤t0这段时间内，H恰有三次取得最大值，求t0的取值范围．
5．7.2　三角函数的应用(2)
一、 单项选择题
1 在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波，若某两个声波随时间的变化规律分别为y1＝2sin (100πt)，y2＝2sin (100πt－)，则这两个声波合成后声波的振幅为(　　)
A. 6 B. 3
C. 3 D. 2
2 甲、乙两人从直径为2r的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数，l表示甲、乙两人的直线距离，则l＝f(θ)的大致图象是(　　)
A B C D
3 (2025长沙期末)某地区2024年全年的月平均温度y(单位：℃)与月份t之间近似满足y＝A sin ＋k(A>0，－π<φ<0).已知该地区2月份的月平均温度为－1 ℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32 ℃，则该地区12月份的平均温度为(　　)
A. －12 ℃ B. －10 ℃
C. －9 ℃ D. －6 ℃
4 (2024天津期末)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．由于受潮汐的影响，某港口一天中各时刻的水位高低相差很大．如图，已知该港口某天从8时至14时的水深y(单位：m)与时刻x的关系可用函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b近似刻画，其中A>0，ω>0，0<|φ|<，据此可估计该港口当天9时的水深y的值为(　　)
A. 8－ B. 8－
C. 8－ D. 8－
5 一种波的波形为函数y＝－sin x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是(　　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6 一个大风车的半径为8 m，匀速旋转的速度是每12分钟旋转一周．它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，点P离地面的距离h(单位：m)与时间t(单位：min)之间的函数关系式是(　　)
A. h(t)＝－8sin t＋10
B. h(t)＝8sin t＋10
C. h(t)＝－8cos t＋10
D. h(t)＝8cos t＋10
7 (2024北京质量检测)音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图，某一条葫芦曲线的方程为|y|＝|sin ωx|，x≥0，其中[x]表示不超过x的最大整数．若该条曲线还满足ω∈(1，3)，经过点M，则该条葫芦曲线与直线x＝π交点的纵坐标为(　　)
A. ± B. ±
C. ± D. ±1
二、 多项选择题
8 如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 该函数的周期是16
B. 该函数图象的一条对称轴是直线x＝14
C. 该函数的解析式是y＝10sin (x＋)＋20(6≤x≤14)
D. 该市这一天中午12时的温度大约是27℃
9 (2025淮安期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).若一半径为2 m的筒车水轮圆心O距离水面1 m(图3)，已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，点P距水面的高度(单位：m)与时间x(单位：s)满足函数关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<，B∈R)，则下列结论中正确的有(　　)
图1 图2 图3
A. 点P所满足的函数表达式为y＝2sin (－)＋1
B. 点P第一次到达最高点需用时5 s
C. 点P再次接触水面需用时10 s
D. 当点P运动2.5 s后，距水面的高度为1.5 m
三、 填空题
10 如图为一半径是3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(单位：m)与时间t(单位：s)满足函数关系式y＝A sin (ωt＋φ)＋2(ω>0，A>0)，则ω＝________．
11 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，某摩天轮最高点距离地面的高度为128m，转盘直径为120m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转tmin，当 t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处，若旋转tmin后，游客距离地面的高度为hm，则高度的解析式为h＝____________．
12 如图，游乐场中的摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈需要12 min，其中心O距离地面40.5 m，半径为40 m．如果你从最低处登上摩天轮并开始计时，当你第4次距离地面60.5 m时所用时间为________min.
四、 解答题
13 (2024广州期末)如图，有一块半径为R的扇形草地OMN，∠MON＝，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN.
(1) 设∠AOB＝2θ，用θ分别表示AB和AD；
(2) 当θ为何值时，矩形场地ABCD的面积S最大？最大值为多少？
14 如图，一公路隧道口截面为正弦曲线，已知隧道跨径为8.4 m，最高点离地面4.5 m.
(1) 若设正弦曲线的左端为原点O，试求出该正弦曲线的函数解析式；
(2) 如果路面宽度为4.2 m，试求出公路边缘距隧道顶端的高度．
15 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间和水深关系表：
时刻 2：00 5：00 8：00 11：00
水深/m 7.0 5.0 3.0 5.0
时刻 14：00 17：00 20：00 23：00
水深/m 7.0 5.0 3.0 5.0
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)来描述．
(1) 根据以上数据，求出函数f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B的表达式；
(2) 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.0m，安全条例规定至少要有2m的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内(0：00～24：00)何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？
5．7　三角函数的应用
5.7.1　三角函数的应用(1)
1. C　相位是5x－.当x＝0时的相位为初相，即－.
2. D　由题意可知，圆心角为，过点O作AB的垂线，可得AB＝2×5×sin ＝10sin .
3. D　由题意，得小球的最高点和最低点相距平衡位置都是2 cm，故小球的最高点和最低点相距4 cm，故A错误；小球在t＝0 时的高度h＝2sin ＝，故B错误；由h＝2sin 知，最小正周期T＝2π，则频率为，则每秒钟小球往复运动的次数为，故C错误；由题意知当t∈时，h＝2sin 单调递减，当t＝时，小球在平衡位置，因为(1，3) ，所以h＝2sin (t＋)单调递减，t＝1时，小球在平衡位置的上方，t＝3时，小球在平衡位置的下方，即小球此时从平衡位置以上位置逐渐向平衡位置以下位置运动，故弹簧长度逐渐变长，故D正确．
4. B　由题意，知所以所以y＝23＋5cos .当x＝10时，y＝23＋5×＝20.5.
5. B　由题意，得5＝4sin (2t0－)＋2，则sin (2t0－)＝，所以cos (2t0－)＝－或cos (2t0－)＝(舍去)，所以sin [2(t0＋)－]＝sin [(2t0－)＋]＝×＋(－)×＝，所以再经过 min，可得d＝4×＋2＝>0，所以盛水筒在水面上．
6. D　因为T＝＝1，所以＝＝2π，所以l＝.
7. D　对于A，因为摩天轮最高点距离地面的高度为128 m，最低点距离地面的高度为8 m，所以摩天轮的轮盘直径为128－8＝120(m)，故A错误；对于B，设h＝A sin (ωt＋φ)＋B，则ω＝＝，令t＝0，则sin φ＝－1，所以φ＝－.由解得所以h＝60sin ＋68＝－60cos ＋68，t∈[0，24]，故B，C错误；对于D，h＝－60cos ＋68，t∈[0，24]，令－60cos ＋68>38，得cos <，所以＋2kπ<<＋2kπ，k∈Z，解得4＋24k8. BD　该质点的振动周期为0.8s，则振动频率为 Hz，振幅为5cm，故A错误，B正确；该质点在0.1s和0.5s时的速度为零，故C错误；该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零，故D正确．故选BD.
9. ABD　设t(单位：min)为摩天轮匀速逆时针旋转的时间，则h(t)＝50sin ＋55＝50cos ＋55，t≥0.对于A，令＝π，解得t＝12，所以经过12 min，点P首次到达最低点，故A正确；对于B，因为h(16)＝50cos π＋55＝30，h(32)＝h(8)＝50cos π＋55＝30，即h(16)＝h(32)，所以第16分钟和第32分钟点P距离地面一样高，故B正确；对于C，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每24 min转一圈，所以第28分钟至第40分钟，相当于第4分钟至第16分钟，由A可知经过12 min，点P首次到达最低点，所以第4分钟至第12分钟，摩天轮高度降低，第12分钟至第16分钟，摩天轮高度上升，故C错误；对于D，由h(t)＝50cos t＋55≥80，得cos t≥，其中0≤t≤24，即0≤t≤2π，所以0≤t≤或≤t≤2π，解得0≤t≤4或20≤t≤24，故摩天轮在旋转一周的过程中点P有4＋4＝8(min)距离地面不低于80 m，故 D正确．故选ABD.
10. 200　10　由题意，得振幅A＝10 cm，T＝0.5×2＝1(s)，每个周期通过的路程为40 cm，5 s共5个周期，所以5 s内通过的路程为200 cm.经过5个周期仍回到初始位置B，故相对平衡位置的位移为10 cm.
11. 5　由题图可知A＝10，T＝2×＝.又因为T＝，所以ω＝100π，故I＝10sin (100πt＋).当t＝时，I＝10sin (100π×＋)＝10sin ＝10×＝5.
12. 1　因为函数关系式为s＝6sin ，所以T＝＝1(s)，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s.
13. (1) 代入t＝0，得α(0)＝sin ＝.
(2) 由解析式可知T＝＝π，则f＝＝，
故单摆摆动的频率为f＝.
(3) 由(2)知，该函数的周期为T＝π，
故完成5次完整摆动需要5π s.
14. (1) 由题意，得风机的角速度ω＝ rad/s，
当t＝0时，h＝60，
则解得
所以h(t)＝40sin ＋100(0≤t≤5).
(2) 令h(t)≥80，得h(t)＝40sin ＋100≥80，即cos t≤，
所以≤t≤，解得≤t≤.
因为－＝，
所以当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80 m的时长为 s.
15. (1) 设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系式为h(t)＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，t≥0)，
则A＝30，b＝32，h(t)＝30sin (ωt＋φ)＋32(ω>0).
由题意，得T＝24，ω＝＝.
当t＝0时，h(t)＝30sin φ＋32＝32，即sin φ＝0，
取φ＝0，则h(t)＝30sin ＋32(t≥0)，
所以h(6)＝30sin ＋32＝62，
故当t＝6时，1号舱与地面的距离为62m.
(2) 由(1)知h1＝30sin ＋32，h5＝30sin []＋32，
则H＝|30sin ＋32－30sin []－32|
＝30|sin －sin (＋)|
＝30|sin －cos |
＝30|sin (－)|.
令－＝＋kπ，k∈Z，解得t＝8＋12k，k∈Z，
则有8＋12×2≤t0<8＋12×3，
解得32≤t0<44，即t0的取值范围是[32，44).
5．7.2　三角函数的应用(2)
1. D　因为y1＝2sin (100πt)，y2＝2sin (100πt－)，所以y＝y1＋y2＝2sin (100πt)＋2[sin (100πt)－cos (100πt)]＝3sin (100πt)－cos (100πt)＝2sin (100πt－θ)，其中tan θ＝，所以两个声波合成后声波的振幅为2.
2. B　因为甲的速度是乙的速度的两倍，所以当θ＝π时，两人相遇，排除A，C；两人的直线距离大于等于零，排除D，故选B.
3. A　由题意可知，直线t＝6是曲线y＝A sin ＋k的一条对称轴，所以6×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z.又－π<φ<0，所以φ＝－，所以y＝A sin ＋k＝－A cos ＋k.因为全年月平均温度的最大值为32 ℃，所以A＋k＝32①.又当t＝2时，y＝－1，所以－A cos ＋k＝－1，所以A－2k＝2②.由①②，解得A＝22，k＝10，所以y＝－22cos ＋10，则当t＝12时，y＝－22cos ＋10＝－12(℃).
4. C　由图象，得解得A＝3，b＝8，ω＝，故y＝3sin (x＋φ)＋8.当x＝14时，y＝3sin (×14＋φ)＋8＝11，则×14＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z.因为0<|φ|<，所以φ＝，故y＝3sin (x＋)＋8.当x＝9时，则y＝3sin (×9＋)＋8＝3sin ＋8＝8－.
5. C　函数y＝－sin x的周期T＝4，且x＝3时，y＝1取得最大值，所以t≥7，所以正整数t的最小值是7.
6. C　以过风车中心垂直于地面的竖直向上的直线为y轴，该直线与地面的交点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，设函数解析式为h(t)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，显然h(t)min＝2，h(t)max＝18，则A＝＝8，B＝＝10，函数f(x)的周期T＝12，则ω＝＝.因为当t＝0时，f(t)min＝2，即sin φ＝－1，则φ＝2kπ－，k∈Z，所以h(t)＝8sin ＋10＝－8cos t＋10，k∈Z，所以点P离地面的距离h(单位：m)与时间t(单位：min)之间的函数关系式是h(t)＝－8cos t＋10.
7. C　将点M代入葫芦曲线的方程可得|sin |＝，即|sin |＝1，所以＝＋kπ，解得ω＝＋k.又ω∈(1，3)，所以ω＝2，所以曲线方程为|y|＝|sin 2x|.当x＝时，|y|＝(2－×)＝(2－×[])＝＝，所以交点的纵坐标为±.
8. ABD　由题意以及函数的图象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10，所以A＝10，B＝20.因为＝14－6，所以T＝16，故A正确；因为T＝，所以ω＝，所以y＝10sin (x＋φ)＋20.因为图象经过点(14，30)，所以该函数图象的一条对称轴是直线x＝14，且30＝10sin (×14＋φ)＋20，所以sin (×14＋φ)＝1，所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ－.又0<φ<π，所以φ＝，所以y＝10sin (x＋)＋20(0≤x≤24)，故B正确，C错误；当x＝12时，y＝10sin (×12＋)＋20＝10×＋20≈27，故D正确．故选ABD.
9. BC　由题意，得A＝2，B＝1，T＝＝15，所以ω＝＝.当x＝0时，y＝2sin φ＋1＝0，解得sin φ＝－.因为|φ|<，所以φ＝－，所以y＝2sin ＋1，故A错误；令y＝3，得sin ＝1，则x－＝＋2kπ，k∈N，解得x＝5＋15k，k∈N，所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5 s，故B正确；由题意知，点P再次接触水面需用时T＝×15＝10(s)，故C正确；当x＝2.5时，y＝2sin ＋1＝2，即点P距水面的高度为2 m，故D错误．故选BC.
10. 　由水轮每分钟旋转4圈，得水轮转一圈需要15 s，所以T＝15＝，所以ω＝.
11. －60cos ＋68(t≥0)　以摩天轮的中心在底面的射影为直角坐标系的原点， 以摩天轮的中心与射影的连线为纵轴，以地面经过射影与纵轴垂直的直线为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系，当t＝0时，游客位于点P(0，8)，由题意，设h＝A sin (ωt＋φ)＋B，显然A＝60，B＝68，φ＝－，又当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处，所以周期为15×2＝30，角速度ω＝＝，所以h＝A sin (ωt＋φ)＋B＝60sin ＋68，即h＝－60cos ＋68(t≥0).
12. 20　设从最低处登上摩天轮后逆时针匀速转动的时间为t min，因为每转一圈需要12 min，所以匀速转动t min所转动的角度为，则距离地面的距离(单位：m)为f(t)＝40.5－40cos .由f(t)＝60.5，得cos ＝－，则＝2kπ＋(k∈Z)或t＝2kπ＋(k∈Z)，即t＝12k＋4(k∈Z)或t＝12k＋8(k∈Z)，故第1次距离地面60.5 m时所用时间为4 min，第2次距离地面60.5 m时所用时间为8 min，第3次距离地面60.5 m时所用时间为16 min，第4次距离地面60.5 m时所用时间为20 min.
13. (1) 如图，过点O作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝θ，
所以AH＝R sin θ，所以AB＝2R sin θ，
所以AD＝R(cos θ－sin θ).
(2) 由题意，得S＝AB·AD＝2R2sin θ(cos θ－sin θ)，θ∈(0，)
则S＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ)＝R2(sin2θ＋cos 2θ－1)
＝R2[sin －1]≤(－1)R2，
当且仅当2θ＋＝，即θ＝时取等号．
故当θ＝时，矩形场地的面积最大且最大为(－1)R2.
14. (1) 根据题意，设该正弦曲线的解析式为y＝A sin ωx，
则A＝4.5，T＝2×8.4＝，
所以ω＝，
故该正弦曲线的函数解析式为y＝4.5sin .
(2) 根据题意，将x＝＝2.1代入函数解析式，
得y＝4.5sin (×2.1)＝4.5sin ＝，
即公路边缘距隧道顶端的高度为 m.
15. (1) 由表格可知，f(t)max＝7，f(t)min＝3，
所以A＝＝2，B＝＝5.
又周期为12，所以ω＝＝，
故f(t)＝2sin ＋5.
当t＝2时，有×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝＋2kπ，k∈Z.
又因为|φ|<，所以φ＝，
故f(t)＝2sin (t＋)＋5.
(2) 因为货船需要的安全水深为4＋2＝6(m)，
所以当f(t)≥6时就可以进港，
令2sin ＋5≥6，
得sin (＋)≥，
则2kπ＋≤t＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k≤t≤4＋12k，k∈Z.
又t∈[0，24)，故k＝0时，t∈[0，4]，
当k＝1时，t∈[12，16]，
故货船可以在0时进港，4时出港；或在12时进港，16时出港，每次可以在港口停留4h.