第三章 函数的概念与性质 本章复习 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

第三章　函数的概念与性质 本 章 复 习
一、 单项选择题
1 (2024山西期中)已知f(3x＋1)＝4x＋3，则f(－2)的值为(　　)
A. －5 B. －1 C. 1 D. 7
2 (2025深圳期末)已知m是常数，幂函数f(x)＝(m2－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为(　　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
3 若函数f(x)(x∈R)是偶函数，函数g(x)(x∈R)是奇函数，则下列结论中正确的是(　　)
A. 函数f(x)＋g(x)是奇函数
B. 函数f(x)·g(x)是奇函数
C. 函数f(g(x))是奇函数
D. 函数g(f(x))是奇函数
4 (2024惠州阶段练习)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，若y＝f(2x＋1)的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是(　　)
①f＋f＝0　
②f＋f＝0
③f(x)的一个对称中心为(1，0)　
④f(x)的一条对称轴为x＝
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5 已知函数f(x)＝
若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为(　　)
A. (1，＋∞)
B. (2，＋∞)
C. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
D. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
6 已知函数f(x)＝x－m＋5，当1≤x≤9时，f(x)>1恒成立，则实数m的取值范围为(　　)
A. B. (－∞，5)
C. (－∞，4) D. (－∞，5]
7 (2024渭南期中)已知偶函数f(x)的定义域为R，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，均有<0，且f(1)＝0，则满足f(2x－3)>0的x的取值范围是(　　)
A. (2，＋∞)
B. (1，2)
C. (－∞，1)∪(2，＋∞)
D. [0，2)
二、 多项选择题
8 下列说法中，错误的是(　　)
A. 函数f(x)＝在定义域内是减函数
B. 若g(x)是奇函数，则一定有g(0)＝0
C. 已知函数f(x)＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是[－3，－1]
D. 若f(x)的定义域为[－2，2]，则f(2x－1)的定义域为
9 (2025南昌期末)已知定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，2]上单调递增，且f(x＋2)为偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增
B. f(x)的对称轴为直线x＝2
C. f(－1)D. 不等式f(x＋3)>f(4x)的解集为(－∞，)∪(1，＋∞)
三、 填空题
10 已知函数y＝f(x－1)的定义域为[－2，3)，值域是[－1，2]，则函数y＝f(x＋2)的定义域是________，值域是________．
11 (2024滨海期中)函数y＝x|x－4|的单调减区间是________．
12 已知f(x)在区间(0，2)上是增函数，f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f，f的大小关系为________．
四、 解答题
13 已知f(x)是定义在区间[－2，2]上的奇函数，且当x∈[－2，0)时，f(x)＝x2－x.
(1) 求函数f(x)在区间[－2，2]上的解析式；
(2) 若f(x)≥m2－2am－9对任意x∈[－2，2]，a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
14 (2025郑州期末)已知函数f(x)＝是定义在区间[－1，a＋b]上的奇函数．
(1) 求f(x)的表达式；
(2) 判断f(x)在区间[－1，a＋b]上的单调性，并证明你的结论；
(3) 解关于t的不等式f(1－2t2)＋f(3t－2)<0.
15 已知函数f(x)＝.
(1) 若g(x)＝f(x)－2，判断g(x)的奇偶性并加以证明；
(2) 当a＝时，先用定义法证明函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，再求函数f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值；
(3) 若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．
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1. B　由题意，得f(3x＋1)＝(3x＋1)＋，则f(t)＝t＋，故f(－2)＝×(－2)＋＝－1.
2. A　由题意，得所以m＝－2.
3. B　因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).对于A，f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)≠－[f(x)＋g(x)]，故A错误；对于B，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)·g(x)是奇函数，故B正确；对于C，f(g(－x))＝f(－g(x))＝f(g(x))，所以f(g(x))是偶函数，故C错误；对于D，g(f(－x))＝g(f(x))，所以g(f(x))是偶函数，故D错误．
4. B　因为y＝f(2x＋1)的最小正周期为1，所以f(2(x＋1)＋1)＝f(2x＋1)，即f(2x＋3)＝f(2x＋1)，所以2是f(x)的周期．因为f(x)为奇函数，所以f＋f＝f＋f＝0，故②正确；因为f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f(x)的一个对称中心为(1，0)，故③正确；f(x)为奇函数，有一个对称中心为(1，0)，周期为2，不妨设满足这三个条件且一个周期内的函数为当x∈(－1，1)时，f(x)＝x，当x＝±1时，f(x)＝0，此时f＋f＝＋＝1≠0，故①错误；此时f(x)的图象没有一条对称轴，故④错误．
5. D　当a＝0时，显然不成立；当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于a2－2a>0，可得a>2；当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等价于a2＋2a>0，可得a<－2.综上，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
6. C　令t＝，则由1≤x≤9，得t∈[1，3].由题意，得g(t)＝t2－mt＋5＝＋5－>1在区间[1，3]上恒成立，故g(t)min>1.①当≤1，即m≤2时，函数g(t)在区间[1，3]上单调递增，g(t)min＝g(1)＝6－m.由6－m>1，得m<5，所以m≤2；②当1<<3，即21，得－41，得m<，与m>6矛盾．综上，实数m的取值范围是(－∞，4).
7. B　由题意，得函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．又函数f(x)为偶函数，且f(1)＝0，由f(2x－3)>0，得f(2x－3)>f(1)，即f(|2x－3|)>f(1)，所以|2x－3|<1，即－1<2x－3<1，解得18. ABC　函数f(x)＝在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上都单调递减，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是减函数，故A错误；当g(x)是奇函数时，g(0)可能无意义，比如g(x)＝，故B错误；因为f(x)是增函数，所以解得－3≤a≤－2，故C错误；因为f(x)的定义域为[－2，2]，所以－2≤2x－1≤2，解得－≤x≤，即f(2x－1)的定义域为[－，]，故D正确．故选ABC.
9. BCD　因为f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．又函数f(x)在区间(－∞，2]上单调递增，所以f(x)在区间(2，＋∞)上单调递减，故A错误，B正确；因为f(x)在区间[2，＋∞)上单调递减，所以f(－1)＝f(5)f(4x)，得|x＋3－2|<|4x－2|，即(x＋3－2)2<(4x－2)2，即(5x－1)(3x－3)>0，解得x<或x>1，所以不等式f(x＋3)>f(4x)的解集为∪(1，＋∞)，故D正确．故选BCD.
10. [－5，0)　[－1，2]　函数f(x＋2)的图象可由函数y＝f(x－1)的图象向左平移3个单位长度后得到，所以定义域为[－5，0)，值域没有改变．
11. (2，4)　当x<4时，y＝－x(x－4)＝－(x－2)2＋4，所以函数在区间(－∞，2)上单调递增，在区间(2，4)上单调递减；当x>4时，y＝x(x－4)＝(x－2)2－4，即函数在区间(4，＋∞)上单调递增．综上，函数的单调减区间为(2，4).
12. f＜f(1)＜f　因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即f(x)＝f(4－x)，所以f＝f＝f，f＝f＝f.又f(x)在区间(0，2)上是增函数，且<1<，故f＜f(1)＜f.
13. (1) 因为函数f(x)为区间[－2，2]上的奇函数，
所以f(0)＝0，满足f(0)＝02－0＝0.
当x∈(0，2]时，－x∈[－2，0)，
所以f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x.
因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)＝x2＋x，
所以f(x)＝－x2－x，
所以f(x)＝
(2) 如图，作出f(x)在区间[－2，2]上的图象，
可得函数f(x)在区间[－2，2]上单调递减，
所以f(x)的最小值为f(2)＝－6.
要使f(x)≥m2－2am－9对任意x∈[－2，2]，a∈[－1，1]恒成立，即－6≥m2－2am－9对任意a∈[－1，1]恒成立．
令g(a)＝－2ma＋m2－3，a∈[－1，1]，
则即
可得－1≤m≤1，
所以实数m的取值范围是[－1，1].
14. (1) 因为函数f(x)＝是定义在区间[－1，a＋b]上的奇函数，
所以a＋b＝1且f(0)＝＝0，
所以a＝1，b＝0，则f(x)＝，
此时f(－x)＝＝－f(x)恒成立．
(2) f(x)在区间[－1，1]上单调递增，证明如下：
任取－1≤x1则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
又x1x2<1，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，
故f(x)在区间[－1，1]上单调递增．
(3) 因为f(x)为奇函数，
所以f(1－2t2)<－f(3t－2)＝f(2－3t).
又f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
所以解得≤t<，
综上，t∈.
15. (1) 因为g(x)＝f(x)－2＝x＋(x≠0)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
且g(－x)＝－x－＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数．
(2) 当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝<0，
所以函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(3) 若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，
则>0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，
即a>－(x2＋2x)对任意x∈[1，＋∞)恒成立，
所以问题转化为a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在区间[1，＋∞)上的最大值，且函数φ(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，
所以φ(x)的最大值为φ(1)＝－3，
故实数a的取值范围是(－3，＋∞).