第五章 三角函数 本章复习 课时作业（含解析） 高一数学人教A版必修第一册

第五章　三角函数 本 章 复 习
一、 单项选择题
1 (2025淮安期末)已知角α的终边经过点P(1，y)，且sin α＝－，则tan α的值为(　　)
A. －2 B. － C. D. 2
2 (2025湖州期末)将函数y＝sin 2x图象上的每个点向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式是(　　)
A. y＝sin B. y＝sin
C. y＝sin D. y＝sin
3 已知函数f(x)＝sin x＋cos x的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
4 设偶函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f的值为(　　)
A. － B. －
C. D.
5 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是(　　)
A. y＝|sin x| B. y＝cos x
C. y＝tan x D. y＝cos
6 (2025昆明期末)已知sin ＝－，则sin 的值为(　　)
A. － B. C. D.
7 已知函数f(x)＝2cos2(ω>0)的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为(　　)
A． B. C. D.
二、 多项选择题
8 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论中正确的是(参考数据：≈2.236)(　　)
A. ＝
B. 若＝，扇形的半径R＝3，则S1＝2π
C. 若扇面为“美观扇面”，则θ≈138°
D. 若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R＝20，则此时的扇形面积为200(3－)
9 (2025内江期末)已知函数f(x)＝cos (3x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)在区间上单调递增
B. f(x)在区间内有4个零点
C. 点是曲线y＝f(x)图象的对称中心
D. f(x)在区间上的最大值为
三、 填空题
10 (2025广东期末)函数y＝tan 的定义域为________．
11 将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________．
12 设函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0，若f(x)在区间上单调，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
四、 解答题
13 (2025长春期末)已知函数f(x)＝sin x cos x－cos2x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调减区间；
(2) 求函数f(x)在区间上的最值．
14 如图，已知扇形OPQ的半径为1，圆心角为，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形，记∠POC＝α.
(1) 用角α表示AB，BC的长度；
(2) 当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
15 如图，点P在直径为AB＝1的半圆上移动(点P不与点A，B重合)，过点P作圆的切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α.过点B作BC⊥PT于点C.
(1) 当角α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
(2) 求PA＋PB＋PC的取值范围．
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1. A　因为角α的终边经过点P(1，y)，且sin α＝－＝<0，所以y<0，＝，解得y＝－2，所以tan α＝＝－2.
2. C　将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin [2]＝sin 的图象，再将y＝sin 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象．
3. D　由题意，得f(x)＝sin x＋cos x＝sin ，因为x∈[a，b]，所以x＋∈.因为－1≤sin (x＋)≤，所以－≤sin ≤1，所以(b－a)max＝，(b－a)min＝，所以b－a的取值范围是.
4. D　因为△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，所以A＝，T＝2，所以ω＝π.又函数f(x)是偶函数，0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝sin ＝cos πx，所以f＝cos ＝.
5. A　对于A，y＝|sin x|的最小正周期是π，在区间上单调递减，满足条件；对于B，y＝cos x的最小正周期是2π，在区间上单调递减，不满足条件；对于C，y＝tan x的最小正周期是π，在区间上单调递增，不满足条件；对于D，y＝cos 的最小正周期是4π，在区间上单调递减，不满足条件．
6. C　因为sin ＝－，所以sin ＝sin ＝cos ＝1－2sin2(α＋)＝1－2×2＝.
7. A　由题意，得f(x)＝2cos2(ωx－)＝1＋cos(2ωx－).因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2ω·－＝kπ(k∈Z)，即ω＝2k＋(k∈Z).因为ω>0，所以ω的最小值为.
8. AC　对于A，因为S1与S2所在扇形的圆心角分别为θ，2π－θ，扇形的半径为R，所以＝＝，故A正确；对于B，因为＝＝，所以θ＝，所以S1＝·θ·R2＝××9＝3π，故B错误；对于C，因为＝＝，所以θ＝(3－)π，所以θ≈(3－2.236)×180°≈138°，故C正确；对于D，S1＝·θ·R2＝×(3－)π×400＝200(3－)π，故D错误．故选AC.
9. AD　由3×＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－.又因为－<φ<0，所以k＝1，φ＝－，所以f(x)＝cos .对于A，由2kπ－π≤3x－≤2kπ，k∈Z，得－≤x≤＋，k∈Z，所以函数的单调增区间为，k∈Z，所以函数在区间[－，]上单调递增．因为 ，所以函数f(x)在区间上单调递增，故A正确；对于B，由3x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋.又x∈，所以x的值可以为，，，即函数在区间上有3个零点，故B错误；对于C，因为f＝cos (－－)＝－1≠0，所以点不是曲线y＝f(x)图象的对称中心，故C错误；对于D，当≤x≤时，≤3x－≤，因为函数y＝cos x在区间上单调递减，在区间上单调递增，且cos ＝，cos ＝cos ＝sin 10. {x|x≠＋，k∈Z}　由4x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以函数y＝tan 的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
11. 　函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数f(x)＝sin (2ωx＋φ)的图象，再向右平移个单位长度得到f(x)＝sin [2ω(x－)＋φ]＝sin (2ωx＋φ－ω)＝sin x的图象，所以2ω＝1且φ－ω＝2kπ，k∈Z，所以ω＝，φ＝2kπ＋，k∈Z.又－<φ<，所以f(x)＝sin (＋)，故f()＝sin (×＋)＝sin ＝.
12. π　函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0，若f(x)在区间上单调，则＝≥－，所以0<ω≤3.因为f＝f＝－f，所以x＝＝为f(x)＝sin (ωx＋φ)图象的一条对称轴，且(，0)即为f(x)＝sin (ωx＋φ)图象的一个对称中心，所以＝·＝－＝，解得ω＝2∈(0，3]，所以T＝＝π.
13. (1) 由题意，得f(x)＝sin x cos x－cos2x＋
＝×2sinx cos x－(2cos2x－1)
＝sin2x－cos 2x＝sin ，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调减区间为(k∈Z).
(2) 由(1)知，函数的单调增区间为，k∈Z.
因为x∈，所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，且f＝－1，f＝1，f＝0，
所以f(x)min＝－1，f(x)max＝1，
即函数f(x)在区间[－，]上的最小值为－1，最大值为1.
14. (1) 在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α，
在Rt△OAD中，＝tan ＝1，
所以OA＝AD＝BC＝sin α，AB＝OB－OA＝cos α－sin α.
(2) 矩形ABCD的面积S＝AB·BC
＝(cos α－sin α)sin α＝cos αsin α－sin2α
＝sin2α－
＝(sin 2α＋cos 2α)－
＝－
＝sin －，
由0<α<，得<2α＋<，
所以当2α＋＝，即α＝时，Smax＝－.
15. (1) 因为AB为直径，且AB＝1，
所以∠APB＝90°，PA＝cos α，PB＝sin α.
因为PT切圆于点P，
所以∠TPB＝∠PAB＝α，
所以BC＝sin α·PB＝sin2α，
所以S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝PA·PB＋PT·BC＝sinαcos α＋sin2α＝sin2α＋(1－cos 2α)＝(sin 2α－cos 2α)＋＝sin (2α－)＋，0<α<.
因为0<α<，所以－<2α－<，
所以当2α－＝，即α＝时，四边形ABTP的面积最大．
(2) 由(1)知，PC＝PB cos α＝sin αcos α，
所以PA＋PB＋PC＝cos α＋sin α＋sin αcos α，0<α<.
设t＝cos α＋sin α，
则t2＝cos2α＋sin2α＋2cosαsin α＝1＋2cos αsin α，
所以cos αsin α＝，
则PA＋PB＋PC＝＋t＝＋t－.
令g(t)＝＋t－，
其中t＝cos α＋sin α＝sin (α＋)∈(1，]，
因为g(t)在t∈(1，]上单调递增，
所以g(t)∈(1，＋].
故PA＋PB＋PC的取值范围是(1，＋].