1.2 反比例函数的图象与性质 同步练习（含解析）初中数学湘教版（2024）九年级上册

1.2反比例函数的图象与性质 同步练习
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1．已知反比例函数，则下列各点在该反比例函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
2．对于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A. 点在该函数的图象上
B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限
C. 当时，随的增大而增大
D. 当时，随的增大而减小
3．若点，在反比例函数图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数y=(m+1)是反比例函数,且图象在第二、四象限内,则m的值是 (　　)
A．2 B．－2 C．±2 D．-
5．如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于，两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
6．如图，已知双曲线经过等腰三角形顶角的顶点，过轴上一点作轴的垂线交双曲线于点，连接，若的面积为12，则的面积为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．21
7．如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点，不重合．给出下面四个结论：
与的面积一定相等；
②与的面积可能相等；
③一定是锐角三角形；
④可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A． ①③ B． ①④ C． ②③ D． ②④
二、填空题（
9．设函数与的图象的交点坐标为，则的值是 ．
10．反比例函数的图象过点、，则 ．
11．如图，函数与函数的图象交于点，，垂直于轴，垂足为点，连接，已知的面积为1，则的值为______.
12．如图，点P在函数的图象上，且横坐标为2．将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得点．若点在函数的图象上，则k的值为 ．
13．已知点和点均在反比例函数的图象上．若，则 0．（填“”“”或“”）
14．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C是点B关于原点O的对称点，连接，则的面积为 ．
15．如图，点A，D在反比例函数的图象上，垂直y轴，垂足为C，，垂足为B．若四边形的面积为8，，则k的值为 ．
三、解答题
16．已知y是x的反比例函数，且当时，．
（1）求这个函数的表达式；
（2）若点在这个函数图象上，求的值．
17．如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点，已知点A的坐标为．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）点C为x轴上任意一点．如果，求点C的坐标．
18．如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
19．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接．
（1）m，k，b；
（2）求的面积；
（3）若在平面内存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标．
20．如图，直线与双曲线为常数，）交于A，D两点，与x轴、y轴分别交于B，C两点，点A的坐标为（m，2）.
（1）求反比例函数的解析式.
（2）结合图象直接写出当时，x的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【分析】本题考查判断点坐标是否在反比例函数图象上．根据反比例函数图象上点的横纵坐标的乘积等于逐一分析即可．
【详解】解：∵反比例函数，即，
A选项：，即A选项符合题意，
B选项：，即B选项不符合题意，
C选项：，即C选项不符合题意，
D选项：，即D选项不符合题意，
故选A．
2．【答案】D
【详解】选项，当时，，所以点不在函数的图象上，故本选项不符合题意；选项，由可知，所以它的图象位于第一、第三象限，故本选项不符合题意；选项，当时，随的增大而减小，故本选项不符合题意；选项，当时，随的增大而减小，故本选项符合题意.故选.
3．【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的性质判断函数的增减性，熟练掌握概念是解题的关键．
先根据反比例函数的性质，判断函数的增减性，再根据点、的横坐标的大小关系，进而判断与的大小关系．
【详解】解：在反比例函数中，，
所以该函数的图象在第二、四象限，
且在每一象限内随的增大而增大．
已知点的横坐标，点的横坐标，
因为函数的图象在第二、四象限，
且第二象限的点横坐标小于，第四象限的点横坐标大于，
所以点，都在第四象限．
因为点、都在第四象限，
且在第四象限内随的增大而增大，
又因为，即，所以．
故选A．
4．【答案】B
【详解】
思路引导:
因为函数y=(m+1)是反比例函数,所以应满足m2-5=-1且m+1≠0,解得m=±2.又因为图象在第二、四象限内,所以系数m+1<0,即m<-1,所以m=-2(m的取值要同时满足三个条件.).故选B.
5．【答案】D
【详解】 反比例函数的图象过点，，.设直线的表达式为，解得 直线的表达式为.联立解得或,.设，解得或， 点的坐标为或，故选.
6．【答案】A
【分析】本题考查反比例函数、等腰三角形的性质等知识．证明，可得，再根据反比例函数k的几何意义得出答案．
【详解】解：如图，过点A作，垂足为D，
∵的面积为12，，
∴，
∴，
∵，
∴.
故选A．
7．【答案】B
【分析】过点A作轴于点C，轴于点D，与的延长线交于点E，则四边形是矩形，设点，其中，依题意得点，则，由此解出，进而得点，点，然后再分别求出，，，由此可得的面积．
【详解】解：过点A作轴于点C，轴于点D，与的延长线交于点E，如图所示：
，
∴四边形是矩形，
∵反比例函数的图象经过点A，
∴设点A的坐标为，其中，
又∵A在点B左侧，且A、B两点横、纵坐标都相差2，
∴点B的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点，
∵反比例函数的图象经过点B，
，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
∴点，点，
，
∵四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
故选．
8．【答案】B
【详解】设点坐标为．由矩形的性质和反比例函数中的几何意义可知，，，，故①正确．如图，
过点作轴，交于，连接点坐标为,点坐标为，点坐标为，直线的表达式为，点坐标为，轴， 易得四边形为矩形，．若，则,或，重合． 点在上，不可能平行于,，，不可能重合，故和不可能相等,故②错误．,，,,，，．,，，为动点，故可取,，依次代入可得,，．，为钝角三角形，故③错误．由题意可知，若为等边三角形，则，,即，解得或（舍去）．当时，，，解得或（不合题意,舍去），，故存在当时，为等边三角形，故④正确．故选．
【思路分析】
根据矩形的性质和反比例函数中的几何意义判断①②，根据三角形的边角关系判断③，根据等边三角形的性质判断④．
9．【答案】-2
【详解】解：根据函数的交点（a，b），可代入得到ab=3，b=-2a-6，即b+2a=-6，然后可通分得=-2.
10．【答案】0
【分析】根据反比例函数的定义计算出a，b的值，后求和即可．
【详解】∵ 反比例函数的图象过点、，
∴a=，b=，
∴a+b=+=0.
11．【答案】
【详解】如图，过点作轴于点 函数与函数的图象交于点，，，两点关于坐标原点对称.轴，，，即，，.故答案为.
12．【答案】
【分析】本题主要考查了点的平移及待定系数法求反比例函数的解析式，平面直角坐标平面内，点的平移与其坐标变化的关系是：“上加下减，右加左减”，即点向上(或下)平移a个单位，则纵坐标加a(或减a)；点向右(或左)平移b个单位，则横坐标加b(或减b).
由点P在反比例函数的图象上，且横坐标为2，可得点P的坐标，平移后得到的坐标，由的坐标即可求解．
【详解】解：由于P的横坐标为2，则点P的纵坐标为，
则P点坐标为；
将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得点．
设经过点的反比例函数图象的解析式是，
把点代入，
得：．
13．【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的性质是解题关键．由反比例函数图象的对称性可知，点在图象上，再结合反比例函数的增减性求解即可．
【详解】解：点和点均在反比例函数的图象上
由反比例函数图象的对称性可知，点在图象上，
，
反比例函数图象在二、四象限，且随的增大而增大，
，
，
.
14．【答案】10
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据题意先求出，再根据点，关于原点对称得到计算即可．熟练掌握值几何意义是关键．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点B，
∴，
∵点，关于原点对称，
∴，
∴．
15．【答案】
【分析】设点，可得，，从而得到，再得出轴，
可得点，从而得到，然后根据，即可求解．
【详解】解：设点，
轴，
，，
，
，
，
，轴，
轴，
点，
，
，四边形的面积为8，
，
解得：．
16．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）将点A坐标代入反比例函数解析式求出a值即可．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，
∵当时，．
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵点在反比例函数图象上，
∴，
解得：．
17．【答案】（1），
（2）点C的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求得两函数的解析式；
（2）设与x轴交点，解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，根据，求得的长度，进而即可求得点C的坐标．
【详解】（1）解：把点代入得，，
∴，
∴反比例函数为，
设直线为，
代入点，，得，
解得，
∴直线为；
（2）解：如图，设与x轴交点，
由，解得或，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点C的坐标为或．
18．【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
（2）或或
【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理求出得的长，再分两种情形讨论即可．
【详解】（1）解：把点代入一次函数得，
解得：，
故一次函数的解析式为，
把点代入，得，
，
把点代入，得，
故反比例函数的解析式为；
（2）解：，，，
当时，或，
当时，点关于直线对称，
，
综上所述：点的坐标为或或．
19．【答案】（1），，
（2）
（3）或或
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数综合、函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算、平行四边形性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题关键．
（1）把代入一次函数可求得b的值；把代入可求得k的值，把代入可求得m的值；
（2）先确定一次函数与y轴交点C的坐标，得长度，再根据三角形面积公式并结合A、B的坐标列式计算即可；
（3）分依据、为邻边，、为邻边和、为邻边三种情况，分别利用平行四边形的对角线相互平分即可解答．
【详解】（1）解：把代入一次函数，得，解得：；
把代入，得，解得：，
把代入，得：，解得．
（2）解：∵，当时，
∴，
又∵、，
∴．
（3）解：如图：设，
当、为邻边时，
则，解得：
∴；
当、为邻边时，、，
则，解得：，
∴；
当、为邻边时，．、，
则，解得：，
∴．
综上，点坐标可为或或．
20．【答案】见试题详解内容.
【详解】解：（1）把A（m，2）代入直线y=x+1，可得2=m+1，解得m=1，，把A（1，2）代入双曲线为常数，），可得k=2，双曲线的解析式为；
（2）解得或，，由图象可知，当时，x的取值范围x<-2或0第 page number 页，共 number of pages 页