22.1.3 二次函数 的图象和性质 (2) 同步提优训练（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.1.3二次函数 的图象和性质 (2)
基础巩固提优
1.下列抛物线顶点坐标为(1，0)的是（ ）.
D. y=(x-1)
2.教材P35思考·变式将抛物线 平移得到抛物线 ，则这个平移过程正确的是( ).
A.向左平移3个单位 B.向右平移3 个单位
C.向上平移3个单位 D.向下平移3个单位
3.(2024·上海虹口区二模)已知二次函数 y=-(x-4) ，如果函数值y随自变量x 的增大而减小，那么x 的取值范围是（ ）.
A. x≥4 B. x≤4
C. x≥-4 D. x≤-4
4.如果一个二次函数图象的顶点在x 轴上，且在直线x=2的右侧部分是上升的.请写出一个符合条件的函数解析式： .
5.按下列要求求出二次函数的解析式.
(1)已知抛物线 y=a(x-h) 经过点(-3,2),(-1,0),求该抛物线的解析式;
(2)与 的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是(1，0)的抛物线解析式.
思维拓展提优
(2025·山东潍坊期末)在同一平面直角坐标系中，一次函数 y= ax+c 和二次函数 y=a(x+c) 的图象大致为（ ）.
7.(2023·南充中考)若点 P(m,n)在抛物线 (a≠0)上,则下列各点在抛物线 y=a(x+1) 上的是( ).
A. (m,n+1) B. (m+1,n)
C. (m,n-1) D. (m-1,n)
8.(2025·浙江温州期中)在平面直角坐标系中，两个二次函数图象的顶点 P，Q皆在x 轴上，直线AD 平行于x 轴，且与两图象相交于A，C，B，D 四点,且 AB>CD>BC,各点位置如图所示,若AB=10,PQ=8,则CD 的长度为( ).
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
9.(2025·安徽六安金安区期中)已知二次函数 y= 的图象上，当x>2时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是 .
10. 中考新考法满足结论的条件开放(2025·江苏南通通州区育才中学月考)已知抛物线 经过点A(n,y ),B(n+2,y ),若 则n的值可以为 .(写出一个符合条件的值即可)
11.(2025·安徽六安金安区期中)如图是二次函数 y= 的图象,其中OA=OC,求抛物线的解析式.
12.(2025·江苏苏州吴江实验中学教育集团期中)如图，抛物线 与y轴交于点 A，过点A 作与x轴平行的直线，交抛物线 于点B,C(点 B 在点C 的左面),若BC=4,求m 的值.
13.(2024·河北邯郸旭日中学期中)已知点 P(m,a)是抛物线 上的点，且点 P 在第一象限内.
(1)求 m 的值;
(2)过点 P 作 PQ∥x轴交抛物线 于点 Q，若a 的值为3，试求点 P，点Q 及原点O围成的三角形的面积.
延伸探究提优
14.如图，已知抛物线 的顶点C 在x轴正半轴上，直线y=x+3与抛物线交于A,B 两点,与x轴,y 轴交于D,E两点.
(1)求m 的值;
(2)求A,B 两点的坐标;
(3)点P(a,b)(-31. D 2. B 3. A
(答案不唯一)[解析]∵二次函数图象的顶点在x轴上，在直线x=2的右侧部分是上升的，∴二次函数图象的顶点为(2，0)，对称轴是直线x=2，且开口向上，∴符合条件的函数解析式为y=(x-2) (答案不唯一).
归纳总结 形如y=a(x-h) 的二次函数图象的显著特征是顶点在x 轴上.
5.(1)根据题意,得 解得 所以抛物线的解析式为
(2)由抛物线的顶点坐标、开口方向和形状，可知所求抛物线的解析式为y=2(x-1) .
6. B [解析]A.函数y= ax+c中,a>0,c>0,y=a(x+c) 中,a<0,c<0,故A错误;B.函数y= ax+c中,a<0,c>0,y=a(x+c) 中,a<0,c>0,故B正确;C.函数y=ax+c中,a>0,c<0,y=a(x+c) 中,a>0,c>0,故C错误;D.函数y= ax+c中,a<0,c>0,y=a(x+c) 中，a>0,c<0,故D错误.故选B.
7. D [解析]∵点 P(m,n)在抛物线 上， .把x=m代入y=a(x+1) ,得( n+1,故点(m,n+1)不在抛物线. 上,故 A不合题意;把x=m+1代入y=a(x+1) ,得a(m+ ,故点(m+1,n)不在抛物线. 上，故B不合题意;把x=m代入y=a(x+1) ,得( n-1,故点(m,n-1)不在抛物线 上，故C不合题意;把x=m-1代入y=a(x+1) ,得a(m-1+ ,故点(m-1,n)在抛物线 上，故D符合题意.故选 D.
8. B [解析]∵AB=10,∴设点A 的横坐标为m,则点B 的横坐标为m+10,点C 的横坐标为m+10+BC,点 D 的横坐标为m+10+BC+CD.∵点 P,Q分别为两条抛物线的顶点，A，B，C，D四点的纵坐标相同，∴点 P 的横坐标为 点 Q 的横坐标为
∴CD=6.故选 B.
9. a≤2[解析]二次函数 的对称轴为直线x=a.∵当x>a 时,y的值随x 值的增大而增大,∴a≤2.
10.2(答案不唯一)[解析]由条件可知当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大，∴当n0,综上,当n>0时,y 11.∵抛物线的解析式为 ∴C(h,0).
当x=0时,
解得 舍去)，(
∴抛物线的解析式为
12.∵抛物线. 与y轴交于点A，
∴A(0,m),∴点B,C的纵坐标为m.
令 化简，得
设B(x ,m),C(x ,m),则.
=4,∴m=2.
13.(1)∵点P(m,a)是抛物线. 上的点，∴a=a(m-1) ,解得m=2或m=0.
∵点 P 在第一象限内,∴m=2.
(2)∵a的值为3，∴二次函数的解析式为 点 P 的坐标为(2,3).
∵PQ∥x轴交抛物线 于点 Q,
,解得x=2或x=0,
∴点 Q 的坐标为(0,3),∴PQ=2,
14.(1)∵抛物线. 的顶点C在x轴正半轴上， 可以写成 的形式，即 为完全平方式,则-(m+3)=±6,解得m=3或m=-9(舍去).
(2)由(1)，知抛物线的解析式为
联立 解得 或
∴A(1,4),B(6,9).
如图，分别过A，B，P三点作x轴的垂线，垂足分别为R,S,T.
∵A(1,4),B(6,9),C(3,0),P(a,b),
∴AR=4,BS=9,RC=3-1=2,CS=6-3=3,RS=6-1=5,PT=b,RT=1-a,ST=6-a,
又
∴b-a=15,∴b=15+a.
∵点P 在抛物线上，
解得
思路引导 在(1)中由顶点在x 轴的正半轴上可求出m的值，在(2)中注意函数图象交点的求法，在(3)中用点P 坐标表示出△PAB 的面积是解题的关键.