22.3 实际问题与二次函数 阶段巩固提优同步训练（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.3阶段巩固提优
基础综合
题型1 求几何图形面积的最值
1.如图(1)，放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC 与DEF(∠B=∠E=30°).若将三角板ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C 与点 E 重合时移动终止)，移动过程中始终保持点 B，F，C，E在同一条直线上，如图(2),AB 与DF,DE 分别交于点 P,M,AC与DE 交于点Q，其中. ，设三角板ABC 的移动时间为x秒.
(1)在移动过程中，试用含 x 的代数式表示△AMQ 的面积.
(2)当x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值 最大值是多少
题型2 求最大利润
2.中考新考法 利润最大化问题 综合与实践：
[问题情境]小莹妈妈的花卉超市以 15 元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价/(元/盆) 日销售量/盆 A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38
[数据整理](1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价/(元/盆)
日销售量/盆
[模型建立](2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系.
[拓广应用](3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润
题型3 根据自变量的取值范围求最值
3.已知关于x 的函数y，当t≤x≤t+1时，函数 y的最大值为 P，最小值为Q，令函数 则称函数g为函数y的“关联函数”.
(1)若y=x+1,t=0,求函数y的“关联函数”g的值.
(2)若
①当k=1,t≤0时,求函数y 的“关联函数” g的最小值；
②当函数y 的“关联函数”g 的值为 时，求t的值.
思维拓展
4.已知函数 (b,c为常数)的图象经过点(0,3),(6,3).
(1)求b,c 的值;
(2)当0≤x≤4时，求 y的最大值与最小值之差.
5.一题多问 (2024·深圳模拟)综合实践
设计“脚手架”支杆的长度
材料1 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地.如图(1)是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线AED 和矩形ABCD 构成.已知矩形的长 BC=12 米,宽AB=3米，抛物线最高点 E 到地面BC 的距离为7 米.
材料2 冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱PQ和MN，如图(2)所示.
材料3 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁 PN.搭建成一个矩形“脚手架”PQMN，如图(2)所示.
问题解决
任务1 确定大棚形状 按如图(1)所示建立平面直角坐标系，求抛物线 AED 的解析式.
任务2 尝试计算间距 若两根支撑柱 PQ，MN 的高度均为6 米，求两根支撑柱PQ，MN 之间的水平距离.
任务3 探索最优方案 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁 PN.搭建成一个矩形“脚手架”PQMN，求出“脚手架”三根支杆 PQ，PN，MN 的长度之和的最大值.
阶段巩固提优(22.3)
1.(1)∵在 Rt△ABC中,∠B=30°,∴∠A=60°.
∵∠E=30°,∴∠EQC=∠AQM=60°,
∴△AMQ为等边三角形.
如图,过点 M 作MN⊥AQ,垂足为 N.
在 Rt△ABC 中,∠B=30°,AC= ,则BC=3,
∴EF=BC=3.
根据题意,知CF=x,
∴CE=EF-CF=3-x,则
(2)由(1),知 设两个三角板重叠部分的面积为 S重叠，
∴当x=2时，重叠部分面积有最大值，最大值是
2.(1)根据销售单价从小到大排列得下表：
售价/(元/盆) 18 20 22 26 30
日销售量/盆 54 50 46 38 30
(2)观察表格可知日销售量是售价的一次函数.
设日销售量为y盆，售价为x元/盆，y=kx+b，把(18,54),(20,50)代入,得 解得 ∴y=-2x+90.
(3)①∵每天获得400元的利润,
∴(x-15)(-2x+90)=400,
解得x=25或x=35，∴要想每天获得400元的利润，应定价为25元/盆或35元/盆.
②设每天获得的利润为w元，
根据题意,得ω=(x-15)(-2x+90)=-2x +120x-
∵-2<0,∴当x=30时,ω取最大值450,
∴售价定为30元/盆时，每天能够获得最大利润450元.
3.(1)∵y=x+1,t=0,∴当0≤x≤1时,P=1+1=2,Q=
(2)①当k=1时,
当x>1时，y随x的增大而增大；
当x≤1时，y随x的增大而减小.
∵t≤0,∴t+1≤1,
∴当x=t+1时, 当x=t时,P=
∵t≤0,∴当t=0时,g有最小值,是
即函数y的“关联函数”g的最小值是
∴该函数图象的对称轴是直线x=1，分三种情况：
存在多种情况时，应分类讨论，避免漏解
i)当t+1≤1,即t≤0时,
t≤x≤t+1时,y随x的增大而减小,
∴y的最大值 y的最小值Q=(t+1-
解得 (不符合题意，舍去)；
ii)当t≥1时,t≤x≤t+1时,y随x的增大而增大,
∴y的最小值( ,y的最大值P=(t+1-
解得 (舍去);
iii)当t<1若 则
解得 负值已舍去)；(
若 则
解得 (不符合题意，舍去)
综上所述，t的值是
4.(1)∵函数 ，c为常数)的图象经过点(0，3),(6,3),.
将点(6,3)代入,得 解得b=-6,∴b=-6,c=3.
∴当x=3时，y取得最小值，此时. 当x=0时，y取得最大值，此时.
又3-(-6)=9,
∴当0≤x≤4时，y的最大值与最小值之差为9.
5.任务1:∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD=BC=12米,AB=CD=3米,
∴点A(-6,3),点 D(6,3).
根据题意和图象，得顶点 E 的坐标为(0，7)，
∴可设抛物线AED 的解析式为.
把点A(-6,3)代入解析式,得36a+7=3,
解得 ∴抛物线AED的解析式为
任务2:当y=6时, 解得x=±3.
∵3-(-3)=3+3=6(米),
∴两根支撑柱之间的水平距离为6米.
任务3：设点 N 坐标为( PN,MN的长度之和为ω米,则 PN=2m,PQ=MN=
当 时，ω有最大值，最大值为
故“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN 的长度之和的最大值为 米.