专题提优特训 9 用二次函数解决实际问题 同步提优训练（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

专题提优特训 9 用二次函数解决实际问题
题型1 用二次函数解决销售问题
1.(2025·山东济南莱芜区期末)网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗.已知板栗的成本价为6元/kg，每日销售量 y(kg)与销售单价x(元/kg)满足一次函数关系，表格记录的是有关数据，设公司销售板栗的日获利为w(元).
x/(元/ kg) 7 8 9
y/ kg 2700 2600 2500
(1)求日销售量 y 与销售单价x之间的函数关系式.(不用写自变量的取值范围)
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大 最大利润为多少元
题型2 用二次函数解决拱桥类问题
2.(2025·浙江嘉兴期末)如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽12 m，桥洞顶部离水面4m .
(1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式.
(2)若有一艘船的宽度为 4m ，高度为3m，则这艘船能否从该桥下通过
题型3 用二次函数解决喷水问题
3.(2025·浙江金华义乌期末)如图(1)，灌溉车为绿化带浇水，喷水口 H 离地竖直高度 OH 为1.2m，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象(如图(2))；把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG，其水平宽度DE=3m,竖直高度 EF=1m.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点 A 离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD 为d(单位:m).
(1)求上边缘抛物线的函数解析式；
(2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d 的取值范围.
题型4 用二次函数解决投(踢、打)球问题
4.(2025·河南郑州期末)某校羽毛球馆有一架高度可调的羽毛球发球机，如图(1)，发球机固定在地面点O处，其弹射出口记为点A，羽毛球的运动路径呈抛物线状，如图(2)，设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为x(米)，到地面的高度为y(米)，y与x的部分对应数据如表所示.
x/米 1.8 2 2.2 2.4 2.6 …
y/米 2.24 2.25 2.24 2.21 2.16
(1)求y与x 的函数解析式.
(2)求羽毛球的落地点 B 到点O 的水平距离.
(3)调整弹射出口 A 的高度可以改变球的落地点，为了训练学员的后场能力，需要使羽毛球落地点到点 O 的水平距离增加1米.若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，则发球机的弹射口高度OA 应调整为多少米
题型5 用二次函数解决图形问题
5.方程思想(2025·上海浦东新区期末)一经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租.已知铺面两面靠墙，墙长分别为 8 米和30米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门.经营者共用去板材45米(不计损耗).
(1)若三间商铺总面积为 180m ，求每间商铺的长和宽分别是多少
(2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大.已知商铺的租金为每月每平方米200元，请问小王每月需要付给经营者多少租金
1.(1)设y与x之间的函数关系式为y= kx+b(k≠0),把x=7,y=2700和x=8,y=2600代入,得
解得
∴日销售量 y与销售单价x 之间的函数关系式为y=-100x+3400.
(2)由题意,得ω=(x-6)(-100x+3400)
=-100x +4000x-20400=-100(x-20) +19600.
∵a=-100<0,对称轴为直线x=20,
∴当x=20时,ω有最大值为19600元.
∴当销售单价定为20元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为19600元.
2.(1)如图，以水面中心为坐标原点，以水面所在直线为x轴，垂直水面方向为y轴，建立平面直角坐标系，
则A(-6,0),B(6,0),顶点(0,4).
设抛物线的函数解析式为 ,把B(6,0)代入,得36a+4=0,解得
∴抛物线的函数解析式为
(2)∵船的宽度为4m,
∴令x=2,则
∴这艘船能从该桥下通过.
3.(1)由题意,知A(2,1.6),H(0,1.2),
设上边缘抛物线的函数解析式为 将H(0,1.2)代入, ,得1.2=4a+1.6,解得
(2)由题意,知H(0,1.2)关于直线x=2的对称点为(4,1.2),∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的.令y=0,得
解得x=6或x=-2(舍去)，∴上边缘抛物线与x轴交于点(6,0),∴B(2,0).
(3)将y=1代入 得 ，整理，得(
解得 或 (舍去).
∵当x>2时，y随x的增大而减小，
∴当0≤x≤6时,要使y≥1,则.
由下边缘抛物线，得d≤OB=2.
综上所述，d的取值范围为
4.(1)由表格信息可知,抛物线的顶点为(2,2.25),
∴可设抛物线的函数表达式为.
∵图象过点(2.2,2.24),
解得a=-0.25,
∴y关于x的函数表达式为
(2)当y=0时,
解得 (负值，舍去)，
∴羽毛球的落地点 B 到发球机点O的水平距离为5 米.
(3)∵抛物线的形状和对称轴位置都不变，
∴可设抛物线的函数表达式为
∵要使发射出的羽毛球落地点到O 点的水平距离增加1米,∴当y=0时,x=5+1=6,
,解得k=4,
当x=0时,
故发球机的弹射口高度 OA 应调整为3米.
5.(1)设垂直于30米墙的一边长x米,则GB=BD=DF= 米,由题意,得3x(16-x)=180,整理得. 解得.
由题意，得 解得6≤x≤8,∴x=6,∴16-x=10.
故每间商铺的长为10米，宽为6米.
(2)设三间商铺的总面积为 y平方米，则
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=8.
∵6≤x≤8,∴当x=8时,y最大,最大值为192,
∴总的租金为192×200=38400(元).
故小王每月需要付给经营者 38400元租金.
易错警示 本题考查二次函数的应用.用代数式表示出每个小矩形的长容易出错，应加以注意.