专题提优特训6 利用二次函数的对称性解题 同步提优训练（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

专题提优特训6 利用二次函数的对称性解题
题型1 求对称轴或坐标
1.已知A，B是抛物线上的点，它们的坐标分别为(1，3)，(5，3)，则该抛物线的对称轴为直线
2.已知抛物线的对称轴为直线x=-3，与x轴的两个交点间的距离为8，则这两个交点坐标分别为 .
题型2 求函数值
3.已知二次函数 当x=1与x=2024时,函数值相等.则当x=2 025时,函数值等于 .
4.已知当x=2m+n+2和x=m+2n时,函数 的值相等,且m-n+2≠0,求当x=3(m+n+1)时的函数值.
题型3 比较函数值大小
5.设.A(-2,y ),B(1,y ),C(2,y ) 是抛物线 (m为常数)上的三点，则 的大小关系为（ ）.
6.设A(-3,y ),B(0,y ),C(4,y )是抛物线 上的三点,则 y ,y ,y 的大小关系为 .(用“<”连接)
题型4 求解析式
7.已知抛物线 的对称轴是直线x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),求这个抛物线的解析式.
8.已知一条抛物线的形状与开口方向和 y=2x 相同且对称轴为直线x=-1，并与 y轴交于一点(0，-1)，求该抛物线的解析式.
题型5 求面积
9.如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数 与 y= 图象，则阴影部分的面积是 .
如图,矩形 ABCD 的长AB=6cm,宽AD=3cm,O是AB 的中点,OP⊥AB,两半圆的直径分别为 AO与OB.抛物线 经过C,D两点，则图中阴影部分的面积是 cm .
专题提优特训6利用二次函数的对称性解题
1. x=3 [解析]∵两点(1,3),(5,3)的纵坐标相同,都是3,∴抛物线的对称轴为直线
2.(-7,0),(1,0) [解析]∵对称轴为直线x=-3,∴对称轴与x 轴的交点为(-3，0).又两个交点间的距离为8，∴左边的交点的横坐标为-3-4=-7，右边的交点的横坐标为-3+4=1.故两个交点的坐标为(-7,0),(1,0).
3.2 [解析]∵当x=1与x=2024时,函数值相等,
∴对称轴为直线
∴x=2025与x=0的函数值相等.
∵当x=0时,y=2,∴当x=2025时,y=2.
4.∵当x=2m+n+2和x=m+2n时,函数. 6的值相等，∴二次函数. 的对称轴为直线
又二次函数 的对称轴为直线
∴3m+3n+2=-4,∴m+n=-2,
∴当x=3(m+n+1)=3×(-2+1)=-3时,
5. A [解析]∵抛物线 (m为常数)的开口向上,对称轴为直线x=-1,而C(2,y )离直线x=-1的距离最远,A(-2,y )离直线x=-1的距离最近, 故选A.
[解析]∵抛物线 开口向下,对称轴为直线x=-2,而C(4,y )离直线x=-2的距离最远,故y 最小,A(-3,y )离直线x=-2的距离最近，故y 最大.故答案为.
7.由题意可设抛物线的解析式为
把(1,4),(5,0)代入,得 解得
∴这个抛物线的解析式为 即
8.根据题意设函数解析式为. 把(0,-1)代入,得2+k=-1,解得k=-3,∴该抛物线解析式为
9.8 [解析]∵函数 与 的图象关于x轴对称，∴题图阴影部分的面积是题图正方形面积的一半，而边长为4的正方形面积为16，所以题图中阴影部分的面积是8.